1、1.1集合及其运算集合及其运算 最新考纲考情考向分析 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系. 2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同 的具体问题. 3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 4.在具体情境中，了解全集与空集的含义. 5.理解两个集合的并集与交集的含义， 会求两个简单集合的并集与 交集. 6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义， 会求给定子集的补集. 7.能使用韦恩(Venn)图表达集合的基本关系及集合的基本运算. 集合的交、并、补运算 及两集合间的包含关系 是考查的重点，在集合 的运算中经常与不等 式、函数相结合，解题 时常用到
2、数轴和韦恩 (Venn)图， 考查学生的数 形结合思想和计算推理 能力，题型以选择题为 主，低档难度. 1集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性 (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号或表示 (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法 (4)常见数集的记法 集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集 符号NN*(或 N)ZQR 2.集合间的基本关系 关系自然语言符号语言Venn 图 子集 集合 A 中所有元素都在集合 B 中(即若 xA，则 xB) AB(或 BA) 真子集 集合 A 是集合 B 的子集，且集 合 B 中至少有一个元素不在集 合 A 中 AB(或 B
3、A) 集合相等 集合 A，B 中的元素相同或集 合 A，B 互为子集 AB 3.集合的基本运算 运算自然语言符号语言Venn 图 交集 由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合 ABx|xA 且 xB 并集 由所有属于集合 A 或属于集 合 B 的元素组成的集合 ABx|xA 或 xB 补集 由全集 U 中不属于集合 A 的 所有元素组成的集合 UAx|xU 且 xA 知识拓展 1若有限集合 A 中有 n 个元素，则集合 A 的子集个数为 2n，真子集的个数为 2n1. 2ABABAABB. 3A(UA)；A(UA)U；U(UA)A. 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括
4、号中打“”或“”) (1)任何一个集合都至少有两个子集() (2)x|yx21y|yx21(x，y)|yx21() (3)若x2,10,1，则 x0,1.() (4)x|x1t|t1() (5)对于任意两个集合 A，B，关系(AB)(AB)恒成立() (6)若 ABAC，则 BC.() 题组二教材改编 2P11 例 9已知 U|0180，Ax|x 是锐角，Bx|x 是钝角，则U(AB) _. 答案x|x 是直角 3P44A 组 T5已知集合 A(x，y)|x2y21，B(x，y)|yx，则 AB 中元素的个数 为_ 答案2 解析集合 A 表示以(0,0)为圆心，1 为半径的单位圆，集合 B 表
5、示直线 yx，圆 x2y21 与直线 yx 相交于两点 2 2 ， 2 2 ， 2 2 ， 2 2 ，则 AB 中有两个元素 题组三易错自纠 4若集合 A1,1，B0,2，则集合z|zxy，xA，yB中的元素的个数为() A5B4C3D2 答案C 解析当 x1，y0 时，z1；当 x1，y2 时，z1；当 x1，y0 时，z1； 当 x1，y2 时，z3，故集合z|zxy，xA，yB中的元素个数为 3，故选 C. 5 已知集合Ax|x22x30， Bx|xa， 若AB， 则实数a的取值范围是_ 答案(3，) 解析Ax|x22x30 x|1x3， AB，Bx|x3. 6若集合 AxR|ax23x
6、20中只有一个元素，则 a_. 答案0 或9 8 解析若 a0，则 A 2 3 ，符合题意； 若 a0，则由题意得98a0，解得 a9 8. 综上，a 的值为 0 或9 8. 题型一题型一集合的含义集合的含义 1若集合 Aa3,2a1，a24，且3A，则实数 a_. 答案0 或 1 解析若 a33，则 a0，此时集合 A 中含有元素3，1，4，满足题意； 若 2a13，则 a1，此时集合 A 中的三个元素为4，3，3，不满足集合中元素 的互异性； 若 a243，则 a1，当 a1 时，集合 A 中的三个元素为2,1，3，满足题意； 当 a1 时，不符合题意 综上可知，a0 或 a1. 2设 P
7、，Q 为两个非空实数集合，定义集合 PQab|aP，bQ，若 P0,2,5，Q 1,2,6，则 PQ 中元素的个数是() A9B8C7D6 答案B 解析当 a0 时，ab1,2,6； 当 a2 时，ab3,4,8； 当 a5 时，ab6,7,11. 由集合中元素的互异性知，PQ 中有 1,2,3,4,6,7,8,11，共 8 个元素 思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条 件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合 (2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意分类讨论的思想方法常用于 解决集合问题 题型二题型二集合的基本关系集
8、合的基本关系 典例 (1)设 A， B 是全集 I1,2,3,4的子集， A1,2， 则满足 AB 的集合 B 的个数是() A5B4C3D2 答案B 解析1,2B，I1,2,3,4， 满足条件的集合 B 有1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4，共 4 个 (2)已知集合 Ax|x22 019x2 0180，Bx|xa，若 AB，则实数 a 的取值范围是 _ 答案2 018，) 解析由 x22 019x2 0180，解得 1x2 018， 故 Ax|1x2 018 又 Bx|xa，AB，如图所示， 可得 a2 018. 引申探究 本例(2)中，若将集合 B 改为x|xa，其他条件不变
9、，则实数 a 的取值范围是_ 答案(，1 解析Ax|1x2 018，Bx|xa，AB，如图所示，可得 a1. 思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则 会造成漏解 (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转 化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题 跟踪训练 (1)已知集合 AxR|x2x60，BxR|ax10，若 BA，则实数 a 的值为() A.1 3或 1 2 B1 3或 1 2 C.1 3或 1 2或 0 D1 3或 1 2或 0 答案D 解析由题意知，A2，3 当 a0 时，
10、B，满足 BA； 当 a0 时，ax10 的解为 x1 a， 由 BA，可得1 a3 或 1 a2， a1 3或 a 1 2. 综上可知，a 的值为1 3或 1 2或 0. (2)已知集合 A y|yx 23 2x1，x 3 4，2 ，Bx|xm21，若 AB，则实数 m 的 取值范围是_ 答案 ，3 4 3 4， 解析因为 y x3 4 27 16，x 3 4，2， 所以 y 7 16，2.又因为 AB，所以 1m2 7 16， 解得 m3 4或 m 3 4. 题型三题型三集合的基本运算集合的基本运算 命题点 1集合的运算 典例 (1)(2017全国)已知集合 Ax|x1，Bx|3x1，则(
11、) AABx|x1DAB 答案A 解析Bx|3x1，Bx|x0 又 Ax|x1，ABx|x0，ABx|x1 故选 A. (2)(2016山东)设集合 Ay|y2x，xR，Bx|x210，Bx|1x1， AB(1，)，故选 C. 命题点 2利用集合的运算求参数 典例 (1)设集合 Ax|1x2，Bx|xa，若 AB，则 a 的取值范围是() A12 Ca1Da1 答案D 解析因为 AB，所以集合 A，B 有公共元素，作出数轴，如图所示，易知 a1. (2)集合 A0,2，a，B1，a2，若 AB0,1,2,4,16，则 a 的值为() A0B1C2D4 答案D 解析由题意可得a，a24,16，a
12、4. (3)设集合 A0，4，Bx|x22(a1)xa210，xR若 ABB，则实数 a 的 取值范围是_ 答案(，11 解析因为 A0，4，所以 BA 分以下三种情况： 当 BA 时，B0，4，由此可知，0 和4 是方程 x22(a1)xa210 的两个根， 由根与系数的关系，得 4a124a210， 2a14， a210， 解得 a1； 当 B且 BA 时，B0或 B4， 并且4(a1)24(a21)0， 解得 a1，此时 B0满足题意； 当 B时，4(a1)24(a21)0， 解得 a1. 综上所述，所求实数 a 的取值范围是(，11 思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则
13、用 Venn 图表示；集合中的元素若是连 续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况 (2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化 跟踪训练 (1)(2017天津)设集合 A1,2,6，B2,4，CxR|1x5，则(AB)C 等于() A2B1,2,4 C1,2,4,6DxR|1x5 答案B 解析AB1,2,4,6 又 CxR|1x5，则(AB)C1,2,4， 故选 B. (2)已知集合 Ax|x2x120，Bx|2m1xm1，且 ABB，则实数 m 的取值范 围为() A1,2)B1,3 C2，)D1，) 答案D 解析由 x2x120，得(x3)(x4)0，即3
14、x4，所以 Ax|3x4又 AB B，所以 BA. 当 B时，有 m12m1，解得 m2； 当 B时，有 32m1， m14， 2m1m1， 解得1m2. 综上，m 的取值范围为1，) 题型四题型四集合的新定义问题集合的新定义问题 典例 已知集合 A(x，y)|x2y21，x，yZ，B(x，y)|x|2，|y|2，x，yZ，定义 集合 AB(x1x2，y1y2)|(x1，y1)A，(x2，y2)B，则 AB 中元素的个数为() A77B49 C45D30 答案C 解析如图， 集合 A 表示如图所示的所有圆点“ ”， 集合 B 表示如图所示的所有圆点“ ” 所有圆点“ ”， 集合 AB 显然是集
15、合(x， y)|x|3， |y|3， x， yZ中除去四个点( 3，3)，(3,3)，(3，3)，(3,3)之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集 合 AB 表示如图所示的所有圆点“ ”所有圆点“ ”所有圆点“ ”，共 45 个故 A B 中元素的个数为 45.故选 C. 思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义首先分析新定义 的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中(2)用好集合的 性质解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素 跟踪训练 定义一种新的集合运算：ABx|xA，且 xB若集合 Ax|x24x30， Bx
16、|2x4，则按运算，BA 等于() Ax|3x4Bx|3x4 Cx|3x4Dx|2x4 答案B 解析Ax|1x3，Bx|2x4，由题意知，BAx|xB，且 xAx|3x4. 1已知集合 Ay|y|x|1，xR，Bx|x2，则下列结论正确的是() A3AB3B CABBDABB 答案C 解析由题意知 Ay|y1，因此 ABx|x2B，故选 C. 2(2017浙江)已知集合 Px|1x1，Qx|0 x2，则 PQ 等于() A(1,2)B(0,1) C(1,0)D(1,2) 答案A 解析Px|1x1，Qx|0 x2， PQx|1x2 故选 A. 3(2018 届齐鲁名校协作体联考)已知集合 A x
17、| x4 x10，By|y2x，则 AB 等于 () A(0,4B(0,1) C(0,1D4,1 答案B 解析Ax|4x0，AB(0,1)，故选 B. 4设集合 Ax|x25x40，则 AB 等于() A. 4，3 2B. 4，3 2 C. 1，3 2D. 3 2，4 答案D 解析由 Ax|x25x40 x|1x0 x|x 3 2， 得 AB x| 3 2x4 3 2，4，故选 D. 5(2017潍坊调研)已知全集 UR，集合 A1,2,3,4,5，BxR|x2，则图中阴影部分 所表示的集合为() A0,1B1 C1,2D0,1,2 答案B 解析因为 AB2,3,4,5，而图中阴影部分为集合
18、A 去掉 AB 部分，所以阴影部分所表 示的集合为1 6(2017郑州平顶山二模)已知复数 f(n)in(nN*)，则集合z|zf(n)中元素的个数是() A4B3 C2D无数 答案A 解析复数 f(n)in(nN*)， 可得 f(n) i，n4k1， 1，n4k2， i，n4k3， 1，n4k4， kN. 集合z|zf(n)中元素的个数是 4. 7(2017全国)设集合 A1,2,4，Bx|x24xm0若 AB1，则 B 等于() A1，3B1,0C1,3D1,5 答案C 解析AB1，1B. 14m0，即 m3. Bx|x24x301,3故选 C. 8已知集合 Ax|1x0，Bx|xa，若
19、AB，则 a 的取值范围为() A(，0B0，) C(，0)D(0，) 答案B 解析用数轴表示集合 A，B(如图)， 由 AB，得 a0. 9(2017广东、广西、福建十校联考)若全集 UR，集合 Ax|x2x20，Bx|log3(2 x)1，则 A(UB)_. 答案x|x1 或 x2 解析集合 Ax|x2x20 x|x1 或 x2， log3(2x)1log33，02x3， 1x2，Bx|1x2， UBx|x1 或 x2， A(UB)x|x1， 所以 ABx|x1 或 x1 12已知集合 Ax|ylg(xx2)，Bx|x2cx0，若 AB，则实数 c 的取值范围是 _ 答案1，) 解析由题意
20、知，Ax|ylg(xx2)x|xx20(0,1)，Bx|x2cx0(0，c)由 AB，画出数轴，如图所示，得 c1. 13 已知集合 Ax|1x3， Bx|2mx1m， 若 AB， 则实数 m 的取值范围是() A. 1 3，B. 0，1 3 C(，0D0，) 答案D 解析AB， 若当 2m1m，即 m1 3时，B，符合题意； 若当 2m1m，即 m1 3时， 需满足 m1 3， 1m1 或 m1 3， 2m3， 解得 0m1 3或，即 0m 1 3. 综上，实数 m 的取值范围是0，) 14已知集合 AxR|x2|3，集合 BxR|(xm)(x2)0，且 AB(1，n)，则 m_，n_. 答
21、案11 解析AxR|x2|3xR|5x1， 由 AB(1，n)，可知 m1， 则 Bx|mx2，画出数轴，可得 m1，n1. 15设 A 是整数集的一个非空子集，对于 kA，如果 k1A，且 k1A，那么称 k 是 A 的 一个“孤立元”给定 S1,2,3,4,5,6,7,8，由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不含“孤立 元”的集合共有_个 答案6 解析依题意可知，由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一 定是连续的三个自然数故这样的集合共有 6 个 16设集合 M x|mxm 3 4，N x|n 1 3xn，且 M，N 都是集合x|0 x1 的子集，如果把 ba 叫做集合x|axb的“长度”，那么集合 MN 的“长度”的最小 值是_ 答案 1 12 解析由已知，可得 m0， m3 41， 即 0m1 4； n1 30， n1， 即1 3n1， 当集合 MN 的长度取最小值时， M 与 N 应分别在区间0,1的左、 右两端 取 m 的最小值 0，n 的最大值 1，可得 M 0，3 4 ，N 2 3，1，所以 MN 0，3 4 2 3，1 2 3， 3 4 ，此时集合 MN 的“长度”的最小值为3 4 2 3 1 12.
