1、3.1导数的概念及运算导数的概念及运算 最新考纲考情考向分析 1.了解导数概念的实际背景 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义 3.能根据导数定义求函数 yc(c 为常数)， y x，yx2，yx3，y1 x，y x的导数 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的 四则运算法则求简单函数的导数，(理)能求简 单的复合函数(仅限于形如 f(axb)的复合函 数)的导数. 导数的概念和运算是高考的必考 内容，一般渗透在导数的应用中 考查；导数的几何意义常与解析 几何中的直线交汇考查；题型为 选择题或解答题的第(1)问，低档 难度. 1导数与导函数的概念 (1)一般地，函数 yf(x)在 xx0处
2、的瞬时变化率是 lim x0 y x lim x0 fx0 xfx0 x ，我 们称它为函数 yf(x)在 xx0处的导数，记作 f(x0)或 0 x x y ，即 f(x0) lim x0 y x lim x0 fx0 xfx0 x . (2)如果函数 yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新 函数，这个函数称为函数 yf(x)在开区(a，b)间内的导函数记作 f(x)或 y. 2导数的几何意义 函数 yf(x)在点 x0处的导数的几何意义， 就是曲线 yf(x)在点 P(x0， f(x0)处的切线的斜率 k， 即 kf(x0) 3基本初等函数的导数
3、公式 基本初等函数导函数 f(x)c(c 为常数)f(x)0 f(x)x(Q*)f(x)x 1 f(x)sin xf(x)cos x f(x)cos xf(x)sin x f(x)exf(x)ex f(x)ax(a0，a1)f(x)axln a f(x)ln xf(x)1 x f(x)logax(a0，a1)f(x) 1 xln a 4.导数的运算法则 若 f(x)，g(x)存在，则有 (1)f(x)g(x)f(x)g(x)； (2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)； (3) fx gx fxgxfxgx gx2 (g(x)0) 5复合函数的导数 复合函数 yf(g(x)的导数
4、和函数 yf(u)，ug(x)的导数间的关系为 yxyuux，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 知识拓展 1奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数 2af(x)bg(x)af(x)bg(x) 3函数 yf(x)的导数 f(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向， 其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡” 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)f(x0)是函数 yf(x)在 xx0附近的平均变化率() (2)f(x0)与f(
5、x0)表示的意义相同() (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线() (4)函数 f(x)sin(x)的导数是 f(x)cos x() 题组二教材改编 2P85A 组 T5若 f(x)xex，则 f(1). 答案2e 解析f(x)exxex，f(1)2e. 3P18A 组 T6曲线 y1 2 x2在点(1，1)处的切线方程为 答案2xy10 解析y 2 x22，y| x12. 故所求切线方程为 2xy10. 题组三易错自纠 4 如图所示为函数 yf(x)， yg(x)的导函数的图象， 那么 yf(x)， yg(x)的图象可能是() 答案D 解析由 yf(x)的图象知，yf(x)在(0
6、，)上单调递减，说明函数 yf(x)的切线的斜 率在(0，)上也单调递减，故可排除 A，C. 又由图象知 yf(x)与 yg(x)的图象在 xx0处相交，说明 yf(x)与 yg(x)的图象在 x x0处的切线的斜率相同，故可排除 B.故选 D. 5有一机器人的运动方程为 st23 t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻 t2 时的瞬时 速度为() A.19 4 B.17 4 C.15 4 D.13 4 答案D 6设函数 f(x)的导数为 f(x)，且 f(x)f 2 sin xcos x，则 f 4 . 答案 2 解析因为 f(x)f 2 sin xcos x， 所以 f(x)f 2
7、 cos xsin x， 所以 f 2 f 2 cos 2sin 2， 即 f 2 1，所以 f(x)sin xcos x， f(x)cos xsin x. 故 f 4 cos 4sin 4 2. 7已知函数 f(x)ax3x1 的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则 a. 答案1 解析f(x)3ax21，f(1)3a1， 又 f(1)a2， 切线方程为 y(a2)(3a1)(x1)， 又点(2,7)在切线上，可得 a1. 题型一题型一导数的计算导数的计算 1f(x)x(2 018ln x)，若 f(x0)2 019，则 x0等于() Ae2B1 Cln 2De 答案B 解析f(x
8、)2 018ln xx1 x2 019ln x，故由 f(x 0)2 019，得 2 019ln x02 019， 则 ln x00，解得 x01. 2若函数 f(x)ax4bx2c 满足 f(1)2，则 f(1)等于() A1B2 C2D0 答案B 解析f(x)4ax32bx， f(x)为奇函数且 f(1)2， f(1)2. 3已知 f(x)x22xf(1)，则 f(0). 答案4 解析f(x)2x2f(1)， f(1)22f(1)，即 f(1)2. f(x)2x4，f(0)4. 思维升华 导数计算的技巧 (1)求导之前，应对函数进行化简，然后求导，减少运算量 (2)复合函数求导时，先确定复
9、合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元 题型二题型二导数的几何意义导数的几何意义 命题点 1求切线方程 典例 (1)曲线 f(x) ex x1在 x0 处的切线方程为 答案2xy10 解析根据题意可知切点坐标为(0，1)， f(x)x1e xexx1 x12 x2e x x12 ， 故切线的斜率 kf(0)02e 0 012 2， 则直线的方程为 y(1)2(x0)， 即 2xy10. (2)已知函数 f(x)xln x，若直线 l 过点(0，1)，并且与曲线 yf(x)相切，则直线 l 的方程 为 答案xy10 解析点(0，1)不在曲线 f(x)xln x 上， 设切点为(x0，y0) 又f
10、(x)1ln x， 直线 l 的方程为 y1(1ln x0)x. 由 y0 x0ln x0， y011ln x0 x0， 解得 x01，y00. 直线 l 的方程为 yx1，即 xy10. 引申探究 本例(2)中， 若曲线 yxln x 上点P 的切线平行于直线 2xy10， 则点 P 的坐标是 答案(e，e) 解析y1ln x，令 y2，即 1ln x2， xe，点 P 的坐标为(e，e) 命题点 2求参数的值 典例 (1)直线 ykx1 与曲线 yx3axb 相切于点 A(1,3)，则 2ab. 答案1 解析由题意知，yx3axb 的导数 y3x2a， 则 13ab3， 312ak， k1
11、3， 由此解得 k2，a1，b3，2ab1. (2)已知 f(x)ln x，g(x)1 2x 2mx7 2(m0)，直线 l 与函数 f(x)，g(x)的图象都相切，与 f(x)图 象的切点为(1，f(1)，则 m. 答案2 解析f(x)1 x， 直线 l 的斜率 kf(1)1. 又 f(1)0，切线 l 的方程为 yx1. g(x)xm， 设直线 l 与 g(x)的图象的切点为(x0，y0)， 则有 x0m1，y0 x01，y01 2x 2 0mx07 2，m0， m2. 命题点 3导数与函数图象 典例 (1)已知函数 yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数 y f(x)的图象如图所
12、示，则该函数的图象是() 答案B 解析由yf(x)的图象是先上升后下降可知， 函数yf(x)图象的切线的斜率先增大后减小， 故选 B. (2)已知 yf(x)是可导函数，如图，直线 ykx2 是曲线 yf(x)在 x3 处的切线，令 g(x) xf(x)，g(x)是 g(x)的导函数，则 g(3). 答案0 解析由题图可知曲线 yf(x)在 x3 处切线的斜率等于1 3，f(3) 1 3. g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)， g(3)f(3)3f(3)， 又由题图可知 f(3)1， g(3)13 1 3 0. 思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方
13、面： (1)已知切点 A(x0，f(x0)求斜率 k，即求该点处的导数值 kf(x0) (2)若求过点 P(x0， y0)的切线方程， 可设切点为(x1， y1)， 由 y1fx1， y0y1fx1x0 x1 求解即可 (3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况 跟踪训练 (1)(2017山西孝义模拟)已知 f(x)x2，则曲线 yf(x)过点 P(1,0)的切线方程 是 答案y0 或 4xy40 解析设切点坐标为(x0，x20)， f(x)2x，切线方程为 y02x0(x1)， x202x0(x01)， 解得 x00 或 x02， 所求切线方程为 y0 或
14、y4(x1)， 即 y0 或 4xy40. (2)设曲线 y1cos x sin x 在点 2，1处的切线与直线 xay10 平行，则实数 a. 答案1 解析y1cos x sin2x ， 2 |1. x y 由条件知1 a1，a1. 求曲线的切线方程 典例 若存在过点 O(0,0)的直线 l 与曲线 yx33x22x 和 yx2a 都相切，求 a 的值 错解展示： 现场纠错 解易知点 O(0,0)在曲线 yx33x22x 上 (1)当 O(0,0)是切点时， 由 y3x26x2，得 y|x02， 即直线 l 的斜率为 2，故直线 l 的方程为 y2x. 由 y2x， yx2a， 得 x22x
15、a0， 依题意44a0，得 a1. (2)当 O(0,0)不是切点时， 设直线 l 与曲线 yx33x22x 相切于点 P(x0， y0)， 则 y0 x303x20 2x0， 0 |x xky 3x206x02， 又 ky0 x0 x 2 03x02， 联立，得 x03 2(x 00 舍去)，所以 k1 4， 故直线 l 的方程为 y1 4x. 由 y1 4x， yx2a， 得 x21 4xa0， 依题意知 1 164a0，得 a 1 64. 综上，a1 或 a 1 64. 纠错心得求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况. 1函数 f(x)(x2a)(xa)2的导
16、数为() A2(x2a2)B2(x2a2) C3(x2a2)D3(x2a2) 答案C 解析f(x)(xa)2(x2a)(2x2a) (xa)(xa2x4a)3(x2a2) 2设函数 f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数 f(x)的图象可能是() 答案C 解析原函数的单调性是当 x0 时，f(x)的单调性变化依次为增、减、增， 故当 x0；当 x0 时，f(x)的符号变化依次为，.故选 C. 3 (2017西安质检)曲线 f(x)x3x3 在点 P 处的切线平行于直线 y2x1， 则 P 点的坐标 为() A(1,3)B(1,3) C(1,3)或(1,3)D(1，3) 答案
17、C 解析f(x)3x21，令 f(x)2，则 3x212，解得 x1 或 x1，P(1,3)或(1,3)， 经检验，点(1,3)，(1,3)均不在直线 y2x1 上，故选 C. 4设曲线 yeaxln(x1)在 x0 处的切线方程为 2xy10，则 a 等于() A0B1 C2D3 答案D 解析yeaxln(x1)，yaeax 1 x1，当 x0 时，ya1.曲线 ye axln(x 1)在 x0 处的切线方程为 2xy10，a12，即 a3.故选 D. 5(2018广州调研)已知曲线 yln x 的切线过原点，则此切线的斜率为() AeBeC.1 e D1 e 答案C 解析yln x 的定义
18、域为(0，)，且 y1 x， 设切点为(x0，ln x0)，则 0 0 1 |, x x y x 切线方程为 yln x01 x0(xx 0)， 因为切线过点(0,0)，所以ln x01， 解得 x0e，故此切线的斜率为1 e. 6一质点沿直线运动，如果由始点起经过 t 秒后的位移为 s1 3t 33t28t，那么速度为零的 时刻是() A1 秒末B1 秒末和 2 秒末 C4 秒末D2 秒末和 4 秒末 答案D 解析s(t)t26t8，由导数的定义知 vs(t)， 令 s(t)0，得 t2 或 4， 即 2 秒末和 4 秒末的速度为零 7(2017西安模拟)设曲线 yaxln(x1)在点(0,
19、0)处的切线方程为 y2x，则 a. 答案3 解析ya 1 x1，由题意得 y| x02，即 a12，所以 a3. 8 (2018 届云南红河州检测)已知曲线 f(x)xln x 在点(e， f(e)处的切线与曲线 yx2a 相切， 则 a. 答案1e 解析因为 f(x)ln x1， 所以曲线 f(x)xln x 在 xe 处的切线斜率为 k2， 则曲线 f(x)xln x 在点(e，f(e)处的切线方程为 y2xe. 由于切线与曲线 yx2a 相切， 故 yx2a 可联立 y2xe， 得 x22xae0， 所以由44(ae)0，解得 a1e. 9已知曲线 y 1 ex1，则曲线的切线斜率取得
20、最小值时的直线方程为 答案x4y20 解析y ex ex12 1 ex1 ex2 ，因为 ex0，所以 ex1 ex2 ex1 ex2(当且仅当 e x1 ex， 即 x0 时取等号)， 则 ex1 ex24， 故 y 1 ex1 ex2 1 4(当 x0 时取等号) 当 x0 时， 曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为 0，1 2 ，切线的方程为 y1 2 1 4(x0)，即 x4y20. 10(2018成都质检)已知 f(x)，g(x)分别是二次函数 f(x)和三次函 数 g(x)的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示 (1)若 f(1)1，则 f(1)； (2)设函数
21、 h(x)f(x)g(x)，则 h(1)，h(0)，h(1)的大小关系 为(用“”连接) 答案(1)1(2)h(0)h(1)h(1) 解析(1)由图可得 f(x)x，g(x)x2， 设 f(x)ax2bxc(a0)， g(x)dx3ex2mxn(d0)， 则 f(x)2axbx， g(x)3dx22exmx2， 故 a1 2，b0，d 1 3，em0， 所以 f(x)1 2x 2c，g(x)1 3x 3n， 由 f(1)1，得 c1 2， 则 f(x)1 2x 21 2，故 f(1)1. (2)h(x)f(x)g(x)1 2x 21 3x 3cn， 则有 h(1)5 6cn，h(0)cn， h
22、(1)1 6cn，故 h(0)h(1)h(1) 11已知函数 f(x)x34x25x4. (1)求曲线 f(x)在点(2，f(2)处的切线方程； (2)求经过点 A(2，2)的曲线 f(x)的切线方程 解(1)f(x)3x28x5，f(2)1， 又 f(2)2， 曲线在点(2，f(2)处的切线方程为 y2x2， 即 xy40. (2)设曲线与经过点 A(2，2)的切线相切于点 P(x0，x304x205x04)， f(x0)3x208x05， 切线方程为 y(2)(3x208x05)(x2)， 又切线过点 P(x0，x304x205x04)， x304x205x02(3x208x05)(x02
23、)， 整理得(x02)2(x01)0， 解得 x02 或 1， 经过点 A(2，2)的曲线 f(x)的切线方程为 xy40 或 y20. 12 已知曲线 yx3x2 在点 P0处的切线 l1平行于直线 4xy10， 且点 P0在第三象限 (1)求 P0的坐标； (2)若直线 ll1，且 l 也过切点 P0，求直线 l 的方程 解(1)由 yx3x2，得 y3x21， 由已知令 3x214，解得 x1. 当 x1 时，y0；当 x1 时，y4. 又点 P0在第三象限，切点 P0的坐标为(1，4) (2)直线 ll1，l1的斜率为 4， 直线 l 的斜率为1 4. l 过切点 P0，点 P0的坐标
24、为(1，4)， 直线 l 的方程为 y41 4(x1)， 即 x4y170. 13已知函数 f(x) x1，g(x)aln x，若在 x1 4处函数 f(x)与 g(x)的图象的切线平行，则实 数 a 的值为() A.1 4 B.1 2 C1D4 答案A 解析由题意可知 f(x) 1 2 1 2 x ，g(x)a x， 由 f 1 4 g 1 4 ，得1 2 1 2 1 ( ) 4 a 1 4 ， 可得 a1 4，经检验，a 1 4满足题意 14(2017上饶模拟)若点 P 是曲线 yx2ln x 上任意一点，则点 P 到直线 yx2 距离的最 小值为 答案2 解析由题意知 yx2ln x 的
25、定义域为(0， )， 当点 P 是曲线的切 线中与直线 yx2 平行的直线的切点时，点 P 到直线 yx2 的距 离最小，如图所示故令 y2x1 x1，解得 x1，故点 P 的坐标 为(1,1)故点 P 到直线 yx2 的最小值 dmin|112| 2 2. 15若函数 f(x)1 2x 2axln x 存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 的取值范围是 答案2，) 解析f(x)1 2x 2axln x，定义域为(0，)， f(x)xa1 x. f(x)存在垂直于 y 轴的切线，f(x)存在零点， 即 x1 xa0 有解，ax 1 x2(当且仅当 x1 时取等号) 16(2018福州质检)设函
26、数 f(x)axb x，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 7x4y 120. (1)求 f(x)的解析式； (2)证明：曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形的面积为定 值，并求此定值 解(1)方程 7x4y120 可化为 y7 4x3. 当 x2 时，y1 2.又 f(x)a b x2， 于是 2ab 2 1 2， ab 4 7 4， 解得 a1， b3. 故 f(x)x3 x. (2)设 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 y13 x2，知曲线在点 P(x 0，y0)处的切线方程为 yy0 13 x20(xx0)， 即 y x03 x0 13 x20(xx0) 令 x0，得 y6 x0， 从而得切线与直线 x0 的交点坐标为 0，6 x0. 令 yx，得 yx2x0， 从而得切线与直线 yx 的交点坐标为(2x0，2x0) 所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形的面积为 S1 2| 6 x0|2x0|6. 故曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0， yx 所围成的三角形的面积为定值， 且此定值 为 6.
