1、2.6对数与对数函数对数与对数函数 最新考纲考情考向分析 1.理解对数的概念及其运算性质， 知道用换底 公式将一般对数转化成自然对数或常用对 数；了解对数在简化运算中的作用 2.理解对数函数的概念及其单调性， 掌握对数 函数图象通过的特殊点，会画底数为 2,3,10， 1 2， 1 3的对数函数的图象 3.体会对数函数是一类重要的函数模型 4.了解指数函数 yax(a0， 且 a1)与对数函 数 ylogax(a0，且 a1)互为反函数. 以比较对数函数值大小的形式考查函 数的单调性； 以复合函数的形式考查对 数函数的图象与性质，题型一般为选 择、填空题，中低档难度. 1对数的概念 一般地，如
2、果 axN(a0，且 a1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 xlogaN，其中 _a_叫做对数的底数，_N_叫做真数 2对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果 a0，且 a1，M0，N0，那么： loga(MN)logaMlogaN； logaM Nlog aMlogaN； logaMnnlogaM (nR) (2)对数的性质 logaN a_N_；logaaN_N_(a0，且 a1) (3)对数的换底公式 logablogcb logca(a0，且 a1；c0，且 c1；b0) 3对数函数的图象与性质 ylogaxa10a1 时， y0； 当 0 x1 时， y1
3、 时， y0； 当 0 x0 (6)在(0，)上是增函数(7)在(0，)上是减函数 4.反函数 指数函数 yax(a0 且 a1)与对数函数 ylogax(a0 且 a1)互为反函数，它们的图象关于 直线 yx 对称 知识拓展 1换底公式的两个重要结论 (1)logab 1 logba； (2)log m n a bn mlog ab. 其中 a0 且 a1，b0 且 b1，m，nR. 2对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线 y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故 0cd1a0，则 loga(MN)logaMlogaN.() (2)对数函数 ylogax(a0 且 a
4、1)在(0，)上是增函数() (3)函数 yln 1x 1x与 yln(1x)ln(1x)的定义域相同( ) (4)对数函数 ylogax(a0 且 a1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)， 1 a，1，函数图象只在第 一、四象限() 题组二教材改编 2P68T4log29log34log45log52_. 答案2 3P82A 组 T6已知 a 1 3 2 ，blog21 3，c 1 2 1 log 3 ，则 a，b，c 的大小关系为_ 答案cab 解析0a1，b1. cab. 4P74A 组 T7函数 y 2 3 log (21)x的定义域是_ 答案 1 2，1 解析由 2 3 log
5、 (21)x0，得 02x11. 1 20，log5ba，lg bc,5d10，则下列等式一定成立的是() AdacBacd CcadDdac 答案B 6已知函数 yloga(xc)(a，c 为常数，其中 a0，a1)的图象如图，则下列结论成立的是 () Aa1，c1Ba1,0c1 C0a1D0a1,0c1 答案D 解析由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，0a1，图象与 x 轴 的交点在区间(0,1)之间，该函数的图象是由函数 ylogax 的图象向左平移不到 1 个单位后 得到的，0c1. 7若 loga3 40 且 a1)，则实数 a 的取值范围是_ 答案 0，3 4 (1
6、，) 解析当 0a1 时，loga3 4log aa1，0a1 时，loga3 41. 实数 a 的取值范围是 0，3 4 (1，). 题型一题型一对数的运算对数的运算 1设 2a5bm，且1 a 1 b2，则 m 等于( ) A. 10B10 C20D100 答案A 解析由已知，得 alog2m，blog5m， 则1 a 1 b 1 log2m 1 log5mlog m2logm5logm102. 解得 m 10. 2计算： lg 1 4lg 25 1 2 100 _. 答案20 解析原式(lg 2 2lg 52) 1 2 100lg 1 225210 lg 10 21021020. 3计算
7、：1log63 2log62log618 log64 _. 答案1 解析原式 12log63log632log66 3log 663 log64 12log63log63 21log632 log64 21log63 2log62 log66log63 log62 log62 log621. 思维升华 对数运算的一般思路 (1)拆： 首先利用幂的运算把底数或真数进行变形， 化成分数指数幂的形式， 使幂的底数最简， 然后利用对数运算性质化简合并 (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对 数真数的积、商、幂的运算 题型二题型二对数函数的图象及应用对数函数
8、的图象及应用 典例 (1)若函数 ylogax(a0 且 a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是() 答案B 解析由题意 ylogax(a0 且 a1)的图象过(3,1)点，可解得 a3.选项 A 中，y3 x 1 3 x， 显然图象错误；选项 B 中，yx3，由幂函数图象性质可知正确；选项 C 中，y(x)3x3， 显然与所画图象不符；选项 D 中，ylog3(x)的图象与 ylog3x 的图象关于 y 轴对称，显然 不符，故选 B. (2)当 0 x1 2时，4 xlogax，则 a 的取值范围是( ) A. 0， 2 2B. 2 2 ，1 C(1， 2)D( 2，2) 答案B 解析
9、由题意得，当 0a1 时，要使得 4xlogax 0 x1 2 ，即当 0 x1 2时，函数 y4 x的图象 在函数 ylogax 图象的下方 又当 x1 2时， 1 2 42， 即函数 y4x的图象过点 1 2，2.把点 1 2，2 代入 ylogax，得 a 2 2 .若函数 y4x的图象在函数 ylogax 图象的下方，则需 2 2 a1 时，不符合题意，舍去 所以实数 a 的取值范围是 2 2 ，1 . 引申探究 若本例(2)变为方程 4xlogax 在 0，1 2 上有解，则实数 a 的取值范围为_ 答案 0， 2 2 解析若方程 4xlogax 在 0，1 2 上有解，则函数 y4
10、x和函数 ylogax 在 0，1 2 上有交点， 由图象知 0a1， loga1 22， 解得 00， 3x，x0， 且关于 x 的方程 f(x)xa0 有且只有一 个实根，则实数 a 的取值范围是_ 答案(1，) 解析如图，在同一坐标系中分别作出 yf(x)与 yxa 的图象，其中 a 表示直线在 y 轴 上的截距 由图可知，当 a1 时，直线 yxa 与 ylog2x 只有一个交点 题型三题型三对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用 命题点 1对数函数的单调性 典例 (1)(2018 届河南信阳高中大考)设 alog412，blog515，clog618，则() AabcBbca Ca
11、cbDcba 答案A 解析a1log43，b1log53，c1log63， log43log53log63，abc. (2)(2017江西九江七校联考)若函数 f(x)log2(x2ax3a)在区间(，2上是减函数，则 实数 a 的取值范围是() A(，4)B(4,4 C(，4)2，)D4,4) 答案D 解析由题意得 x2ax3a0 在区间(，2上恒成立且函数 yx2ax3a 在(， 2上单调递减，则a 22 且(2) 2(2)a3a0，解得实数 a 的取值范围是4,4)， 故选 D. 命题点 2和对数函数有关的复合函数 典例 已知函数 f(x)loga(3ax)(a0 且 a1) (1)当
12、x0,2时，函数 f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围； (2)是否存在这样的实数 a， 使得函数 f(x)在区间1,2上为减函数， 并且最大值为 1？如果存在， 试求出 a 的值；如果不存在，请说明理由 解(1)a0 且 a1，设 t(x)3ax， 则 t(x)3ax 为减函数， x0,2时，t(x)的最小值为 32a， 当 x0,2时，f(x)恒有意义， 即 x0,2时，3ax0 恒成立 32a0.a0 且 a1，a 的取值范围为(0,1) 1，3 2 . (2)假设存在这样的实数 a. t(x)3ax，a0，函数 t(x)为减函数 f(x)在区间1,2上为减函数，ylogat 为增函
13、数， a1，x1,2时，t(x)的最小值为 32a，f(x)的最大值为 f(1)loga(3a)， 32a0， loga3a1， 即 acbBbca CcbaDcab 答案D 解析alog32log331，blog52log221，所以 c 最大 由 1log23 1 log25，即 ab， 所以 cab. (2)已知函数 f(x)loga(8ax)(a0，且 a1)，若 f(x)1 在区间1,2上恒成立，则实数 a 的取 值范围是_ 答案 1，8 3 解析当 a1 时，f(x)loga(8ax)在1,2上是减函数，由 f(x)1 在区间1,2上恒成立， 则 f(x)minloga(82a)1
14、，且 82a0， 解得 1a8 3. 当 0a1 在区间1,2上恒成立， 则 f(x)minloga(8a)1，且 82a0. a4，且 abcBacb CbacDbca 答案A 解析因为 alog3log331， blog23b， 又b c 1 2log 23 1 2log 32 (log23)21， c0， 所以 bc，故 abc. (2)(2017新乡二模)设 a60.4，blog0.40.5，clog80.4，则 a，b，c 的大小关系是() AabcBcba CcabDbc1，blog0.40.5(0,1)， clog80.4bc.故选 B. (3)若实数 a，b，c 满足 loga
15、2logb2logc2，则下列关系中不可能成立的是() AabcBbac CcbaDacb 答案A 解析由 loga2logb2logc2 的大小关系，可知 a，b，c 有如下四种可能：1cba； 0a1cb；0ba1c；0cbabcBbac CcabDacb 答案B 解析易知 yf(x)是偶函数当 x(0，)时，f(x)f 1 x |log2x|，且当 x1，)时， f(x)log2x 单调递增，又 af(3)f(3)，bf 1 4 f(4)，所以 bac. 1设 alog37，b21.1，c0.83.1，则() AbacBcab CcbaDacb 答案B 解析alog37，1a2. c0.
16、83.1，0c1. 即 cab，故选 B. 2(2017孝义模拟)函数 yln sin x(0 x)的大致图象是() 答案C 解析因为 0 x，所以 00， 3 x1，x0， 则 f(f(1)f log31 2 的值是() A5B3 C1D.7 2 答案A 解析由题意可知 f(1)log210， f(f(1)f(0)3012， f log31 2 3 1 log 2 3 1 3 log 2 31213， 所以 f(f(1)f log31 2 5. 4(2017北京)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普 通物质的原子总数 N 约为 1080.则下列各数中与
17、M N最接近的是( )(参考数据：lg 30.48) A1033B1053 C1073D1093 答案D 解析由题意，lg M Nlg 3361 1080lg 3 361lg 1080 361lg 380lg 103610.4880193.28. 又 lg 103333，lg 105353，lg 107373，lg 109393， 故与M N最接近的是 10 93. 故选 D. 5(2017江西红色七校二模)已知函数 f(x)ln ex ex，若 f e 2 013 f 2e 2 013 f 2 012e 2 013 503(ab)，则 a2b2的最小值为() A6B8 C9D12 答案B 解
18、析f(x)f(ex)2， f e 2 013 f 2e 2 013 f 2 012e 2 013 2 012， 503(ab)2 012，ab4. a2b2ab 2 2 8， 当且仅当 ab2 时取等号 6若函数 f(x)loga x23 2x(a0，a1)在区间 1 2， 内恒有 f(x)0，则 f(x)的单调递增 区间为() A(0，)B(2，) C(1，)D. 1 2， 答案A 解析令 Mx23 2x，当 x 1 2，时，M(1，)，f(x)0，所以 a1，所以函数 y logaM 为增函数，又 M x3 4 29 16， 因此 M 的单调递增区间为 3 4，. 又 x23 2x0，所以
19、 x0 或 x0) 因为 ylog5t 在(0，)上为增函数， t2x1 在 1 2，上为增函数， 所以函数 ylog5(2x1)的单调递增区间是 1 2，. 8设函数 f(x) 21 x，x1， 1log2x，x1， 则满足 f(x)2 的 x 的取值范围是_ 答案0，) 解析当 x1 时，由 21 x2，解得 x0，所以 0 x1； 当 x1 时，1log2x2，解得 x1 2，所以 x1. 综上可知 x0. 9(2017南昌模拟)设实数 a，b 是关于 x 的方程|lg x|c 的两个不同实数根，且 ab10，则 abc 的取值范围是_ 答案(0,1) 解析由题意知，在(0,10)上，函
20、数 y|lg x|的图象和直线 yc 有两个不同交点，ab 1,0cb1.若 logablogba5 2，a bba，则 a_，b_. 答案42 解析令 logabt，ab1，0t0，则实数 a 的取值范围是_ 答案 1 3，1 解析当 0a0，即 04 3a0，解得 1 3a 4 3，且 a1，故 1 3a1 时，函数 f(x)在区间 1 2， 2 3 上是增函数， 所以 loga(1a)0，即 1a1，且 21 2a0， 解得 a0，且 a0 时， f(x) 1 2 log x. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)解不等式 f(x21)2. 解(1)当 x0， 则 f(x) 1 2
21、log () x 因为函数 f(x)是偶函数，所以 f(x)f(x) 所以 x0， 0，x0， 1 2 log () x ，x2 可化为 f(|x21|)f(4) 又因为函数 f(x)在(0，)上是减函数， 所以 0|x21|4，解得 5x2， 所以 5x0 时，f(x)lg x21 |x| lg x21 x lg x1 x ，令 t(x)x1 x，x0，则 t(x)1 1 x2，可知 当 x(0,1)时，t(x)0，t(x)单调递增，即 f(x) 在 x1 处取得最小值 lg 2.由偶函数的图象关于 y 轴对称及复合函数的单调性可知错误， 正确，正确，故答案为. 16(2017厦门月考)已知
22、函数 f(x)ln x1 x1. (1)求函数 f(x)的定义域，并判断函数 f(x)的奇偶性； (2)对于 x2,6，f(x)ln x1 x1ln m x17x恒成立，求实数 m 的取值范围 解(1)由x1 x10，解得 x1， 函数 f(x)的定义域为(，1)(1，)， 当 x(，1)(1，)时， f(x)ln x1 x1ln x1 x1 ln x1 x1 1lnx1 x1f(x)， f(x)ln x1 x1是奇函数 (2)x2,6时，f(x)ln x1 x1ln m x17x恒成立， x1 x1 m x17x0， x2,6，0m(x1)(7x)在2,6上恒成立 令 g(x)(x1)(7x)(x3)216，x2,6， 由二次函数的性质可知，x2,3时函数 g(x)单调递增，x3,6时函数 g(x)单调递减， 当 x2,6时，g(x)ming(6)7， 0m7.
