1、3.2导数的应用导数的应用 最新考纲考情考向分析 1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研 究函数的单调性， 会求函数的单调区间(其中多项 式函数一般不超过三次) 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条 件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项 式函数一般不超过三次)； 会求闭区间上函数的最 大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次) 3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化 问题). 考查函数的单调性、 极值、 最值， 利用函数的性质求参数范围；与 方程、 不等式等知识相结合命题， 强化函数与方程思想、转化与化 归思想、分类讨论思想的应用意 识；题型以解答题为主，一般难
2、度较大. 1函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果 f(x)0，那么函数 yf(x)在这个区间内单调递增；如果 f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极大值； 如果在 x0附近的左侧 f(x)0，那么 f(x0)是极小值 (2)求可导函数极值的步骤 求 f(x)； 求方程 f(x)0 的根； 考查 f(x)在方程 f(x)0 的根附近的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么 f(x) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值 3函数的最值 (1)在闭区间a，b上连续的函数 f(x)在a，b上必有最大值与最小值 (2)若函数 f(x)在a，b上单调递增
3、，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x) 在a，b上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值 (3)设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求 f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如 下： 求函数 yf(x)在(a，b)内的极值； 将函数 yf(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小 的一个为最小值 知识拓展 1在某区间内 f(x)0(f(x)0.() (2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f(x)0，则 f(x)在此区间内没有单调性() (3)函数的极大值不一定比极小值大() (
4、4)对可导函数 f(x)，f(x0)0 是 x0点为极值点的充要条件() (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值() 题组二教材改编 2P32A 组 T4如图是函数 yf(x)的导函数 yf(x)的图象，则下面判断正确的是() A在区间(2,1)上 f(x)是增函数 B在区间(1,3)上 f(x)是减函数 C在区间(4,5)上 f(x)是增函数 D当 x2 时，f(x)取到极小值 答案C 解析在(4,5)上 f(x)0 恒成立， f(x)是增函数 3P28 例 4设函数 f(x)2 xln x，则( ) Ax1 2为 f(x)的极大值点 Bx1 2为 f(x)的极小值点
5、 Cx2 为 f(x)的极大值点 Dx2 为 f(x)的极小值点 答案D 解析f(x)2 x2 1 x x2 x2 (x0)， 当 0 x2 时，f(x)2 时，f(x)0， x2 为 f(x)的极小值点 4P24 例 2函数 f(x)x36x2的单调递减区间为_ 答案(0,4) 解析f(x)3x212x3x(x4)， 由 f(x)0，得 0 x0； 当 x 6， 2 时，y0. 当 x 6时，y max 6 3. 题组三易错自纠 6函数 f(x)的定义域为 R，导函数 f(x)的图象如图所示，则函数 f(x)() A无极大值点、有四个极小值点 B有三个极大值点、一个极小值点 C有两个极大值点
6、、两个极小值点 D有四个极大值点、无极小值点 答案C 解析导函数的图象与 x 轴的四个交点都是极值点，第一个与第三个是极大值点，第二个与 第四个是极小值点 7已知定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足 f(1)3，且 f(x)的导数 f(x)在 R 上恒有 f(x)2(xR)，则不等式 f(x)2x1 的解集为_ 答案(1，) 解析令 g(x)f(x)2x1，g(x)f(x)20， g(x)在 R 上为减函数，g(1)f(1)210. 由 g(x)1. 不等式的解集为(1，) 8设 aR，若函数 yexax 有大于零的极值点，则实数 a 的取值范围是_ 答案(，1) 解析yexax，yexa
7、. 函数 yexax 有大于零的极值点， 方程 yexa0 有大于零的解， 当 x0 时，ex1，aex0，即 8x1 x20，解得 x 1 2， 函数 y4x21 x的单调增区间为 1 2，.故选 B. 2已知函数 f(x)xln x，则 f(x)() A在(0，)上单调递增 B在(0，)上单调递减 C在 0，1 e 上单调递增 D在 0，1 e 上单调递减 答案D 解析因为函数 f(x)xln x 的定义域为(0，)， 所以 f(x)ln x1(x0)， 当 f(x)0 时，解得 x1 e， 即函数的单调递增区间为 1 e，； 当 f(x)0 时，解得 0 x0， 则其在区间(，)上的解集
8、为 ， 2 0， 2 ， 即 f(x)的单调递增区间为 ， 2 和 0， 2 . 思维升华 确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数 f(x)的定义域 (2)求 f(x) (3)解不等式 f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间 (4)解不等式 f(x)0)，讨论函数 yf(x)的单调区间 解f(x) ex ex1a1 1 ex1a. 当 a1 时，f(x)0 恒成立， 当 a1，)时，函数 yf(x)在 R 上单调递减 当 0a0，得(1a)(ex1)1， 即 ex1 1 1a，解得 xln a 1a， 由 f(x)0，得(1a)(ex1)1， 即 ex1 1 1a，解得 x0)试讨论
9、f(x)的单调性 解由题意得 f(x)exax2(2a2)x(a0)， 令 f(x)0，解得 x10，x222a a . 当 0a1 时，f(x)的单调递增区间为 ，22a a和(0，)，单调递减区间为 22a a ，0 . 题型三题型三函数单调性的应用问题函数单调性的应用问题 命题点 1比较大小或解不等式 典例 (1)(2017南昌模拟)已知定义在 0， 2 上的函数 f(x)的导函数为 f(x)，且对于任意的 x 0， 2 ，都有 f(x)sin x 2f 3Bf 3 f(1) C. 2f 6 f 4D. 3f 6 f 3 答案A 解析令 g(x) fx sin x， 则 g(x)fxsi
10、n xfxcos x sin2x ， 由已知 g(x)g 3 ， 即 f 4 2 2 f 3 3 2 ， 3f 4 2f 3 . (2)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(2)0，当 x0 时，有xfxfx x2 0 的解集是_ 答案(，2)(0,2) 解析当 x0 时， fx x0， (x)fx x 在(0，)上为减函数，又(2)0， 在(0，)上，当且仅当 0 x0， 此时 x2f(x)0. 又 f(x)为奇函数，h(x)x2f(x)也为奇函数 故 x2f(x)0 的解集为(，2)(0,2) 命题点 2根据函数单调性求参数 典例 (2018石家庄质检)已知函数 f(x)ln x，g(
11、x)1 2ax 22x(a0) (1)若函数 h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求 a 的取值范围； (2)若函数 h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求 a 的取值范围 解(1)h(x)ln x1 2ax 22x，x(0，)， 所以 h(x)1 xax2，由于 h(x)在(0，)上存在单调递减区间， 所以当 x(0，)时，1 xax21 x2 2 x有解 设 G(x)1 x2 2 x，所以只要 aG(x) min即可 而 G(x) 1 x1 21，所以 G(x)min1. 所以 a1. 又因为 a0，所以 a 的取值范围为(1,0)(0，) (2)因为 h(x)在1,4上单调
12、递减， 所以当 x1,4时，h(x)1 xax20 恒成立， 即 a1 x2 2 x恒成立 由(1)知 G(x)1 x2 2 x， 所以 aG(x)max，而 G(x) 1 x1 21， 因为 x1,4，所以1 x 1 4，1， 所以 G(x)max 7 16(此时 x4)， 所以 a 7 16，又因为 a0， 所以 a 的取值范围是 7 16，0(0，) 引申探究 1本例(2)中，若函数 h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递增，求 a 的取值范围 解因为 h(x)在1,4上单调递增， 所以当 x1,4时，h(x)0 恒成立， 所以当 x1,4时，a1 x2 2 x恒成立， 又当 x1,4
13、时， 1 x2 2 xmin1(此时 x1)， 所以 a1，即 a 的取值范围是(，1 2本例(2)中，若 h(x)在1,4上存在单调递减区间，求 a 的取值范围 解h(x)在1,4上存在单调递减区间， 则 h(x)1 x2 2 x有解， 又当 x1,4时， 1 x2 2 xmin1， 所以 a1，又因为 a0， 所以 a 的取值范围是(1,0)(0，) 思维升华 根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a， b)上单调， 则区间(a，b)是相应单调区间的子集 (2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x(a，b)都有 f(x)0 且在(a，b)内的任一
14、非空子区 间上，f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解 (3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题 跟踪训练 已知函数 f(x)3x a 2x2ln x 在区间1,2上为单调函数，求 a 的取值范围 解f(x)3 a4x 1 x， 若函数f(x)在区间1,2上为单调函数， 即在1,2上， f(x) 3 a4x 1 x0 或 f(x)3 a4x 1 x0， 即3 a4x 1 x0 或 3 a4x 1 x0 在1,2上恒成立， 即3 a4x 1 x或 3 a4x 1 x. 令 h(x)4x1 x，因为函数 h(x)在1,2上单调递增， 所以3 ah(2)或 3 ah
15、(1)，即 3 a 15 2 或3 a3， 解得 a0 或 00，得 0 x1，由 g(x)1.4 分 当 a0 时，令 g(x)0，得 x1 或 x 1 2a，6 分 若 1 2a 1 2， 由 g(x)0，得 x1 或 0 x 1 2a， 由 g(x)0，得 1 2ax1，即 0a0，得 x 1 2a或 0 x1， 由 g(x)0，得 1x 1 2a， 若 1 2a1，即 a 1 2，在(0，)上恒有 g(x)0.10 分 综上可得：当 a0 时，函数 g(x)在(0,1)上单调递增， 在(1，)上单调递减； 当 0a1 2时，函数 g(x)在 0， 1 2a 上单调递增， 在 1 2a，
16、1上单调递减，在(1，)上单调递增12 分 1函数 f(x)x22ln x 的单调递减区间是() A(0,1)B(1，) C(，1)D(1,1) 答案A 解析f(x)2x2 x 2x1x1 x (x0)， 当 x(0,1)时，f(x)0，f(x)为增函数 2(2018济南调研)已知定义在 R 上的函数 f(x)，其导函数 f(x)的大致 图象如图所示，则下列叙述正确的是() Af(b)f(c)f(d) Bf(b)f(a)f(e) Cf(c)f(b)f(a) Df(c)f(e)f(d) 答案C 解析由题意得，当 x(，c)时，f(x)0， 所以函数 f(x)在(，c)上是增函数， 因为 abf(
17、b)f(a)，故选 C. 3已知 m 是实数，函数 f(x)x2(xm)，若 f(1)1，则函数 f(x)的单调增区间是() A. 4 3，0 B. 0，4 3 C. ，4 3 ，(0，) D. ，4 3 (0，) 答案C 解析f(x)3x22mx， f(1)32m1， 解得 m2， 由 f(x)3x24x0， 解得 x0，即 f(x)的单调增区间是 ，4 3 ，(0，)，故选 C. 4已知函数 f(x)1 2x 3ax4，则“a0”是“f(x)在 R 上单调递增”的( ) A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案A 解析f(x)3 2x 2a，当 a0 时，f
18、(x)0 恒成立， 故“a0”是“f(x)在 R 上单调递增”的充分不必要条件 5若函数 f(x)kxln x 在区间(1，)上单调递增，则 k 的取值范围是() A(，2B(，1 C2，)D1，) 答案D 解析因为 f(x)kxln x，所以 f(x)k1 x. 因为 f(x)在区间(1，)上单调递增，所以当 x1 时，f(x)k1 x0 恒成立，即 k 1 x在区 间(1，)上恒成立因为 x1，所以 01 x1，所以 k1.故选 D. 6(2018重庆质检)函数 f(x)在定义域 R 内可导，若 f(x)f(2x)，且当 x(，1)时，(x 1)f(x)0，设 af(0)，bf 1 2 ，
19、cf(3)，则() AabcBcba CcabDbca 答案C 解析由题意得，当 x0，f(x)在(，1)上为增函数 又 f(3)f(1)，且101 21， 因此有 f(1)f(0)f 1 2 ， 即有 f(3)f(0)f 1 2 ，即 cab. 7若函数 f(x)x3bx2cxd 的单调递减区间为(1,3)，则 bc_. 答案12 解析f(x)3x22bxc，由题意知，1x3 是不等式 3x22bxc0 的解， 1,3 是 f(x)0 的两个根， b3，c9，bc12. 8(2018昆明调研)已知函数 f(x)(xR)满足 f(1)1，f(x)的导数 f(x)1 2，则不等式 f(x 2)x
20、2 2 1 2的解集为_ 答案x|x1 解析设 F(x)f(x)1 2x， F(x)f(x)1 2， f(x)1 2，F(x)f(x) 1 20， 即函数 F(x)在 R 上单调递减 f(x2)x 2 2 1 2， f(x2)x 2 2 f(1)1 2， F(x2)1，即不等式的解集为x|x1 9已知 g(x)2 xx 22aln x 在1,2上是减函数，则实数 a 的取值范围为_ 答案 ，7 2 解析g(x) 2 x22x 2a x ， 由已知得 g(x)0 在1,2上恒成立， 可得 a1 xx 2在1,2上恒成立 又当 x1,2时， 1 xx 2 min1 24 7 2. a7 2. 10
21、设函数 f(x)是奇函数 f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当 x0 时，xf(x)f(x)0，则 使得 f(x)0 成立的 x 的取值范围是_ 答案(，1)(0,1) 解析因为 f(x)(xR)为奇函数，f(1)0， 所以 f(1)f(1)0. 当 x0 时，令 g(x)fx x ， 则 g(x)为偶函数，g(1)g(1)0. 则当 x0 时，g(x) fx xxfxfx x2 0， 故 g(x)在(0，)上为减函数，在(，0)上为增函数 所以在(0，)上，当 0 x1 时，由 g(x)g(1)0， 得fx x 0，所以 f(x)0；在(，0)上，当 x1 时，由 g(x)g(1)0，得
22、fx x 0，所 以 f(x)0. 综上知，使得 f(x)0 成立的 x 的取值范围是(，1)(0,1) 11(2018大理质检)已知函数 f(x)ln xk ex (k 为常数)，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线与 x 轴平行 (1)求实数 k 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间 解(1)f(x) 1 xln xk ex (x0) 又由题知 f(1)1k e 0，所以 k1. (2)f(x) 1 xln x1 ex (x0) 设 h(x)1 xln x1(x0)， 则 h(x) 1 x2 1 x0， 所以 h(x)在(0，)上单调递减 由 h(1)0 知，当 0 x1 时，h
23、(x)0，所以 f(x)0； 当 x1 时，h(x)0，所以 f(x)0. 综上，f(x)的单调递增区间是(0,1)， 单调递减区间是(1，) 12 (2018 届信阳高级中学考试)已知函数 f(x)b ex1(bR， e 为自然对数的底数)在点(0， f(0) 处的切线经过点(2，2)讨论函数 F(x)f(x)ax(aR)的单调性 解因为 f(0)b1， 所以过点(0， b1)， (2， 2)的直线的斜率为 kb12 02 b1 2 ， 而 f(x)b ex，由导数的几何意义可知， f(0)bb1 2 ， 所以 b1，所以 f(x)1 ex1. 则 F(x)ax1 ex1，F(x)a 1 e
24、x， 当 a0 时，F(x)0 时，由 F(x)0，得 x0，得 xln a. 故当 a0 时，函数 F(x)在 R 上单调递减； 当 a0 时，函数 F(x)在(，ln a)上单调递减， 在(ln a，)上单调递增 13(2017承德调研)已知 f(x)是可导的函数，且 f(x)f(x)对于 xR 恒成立，则() Af(1)e2 017f(0) Bf(1)ef(0)，f(2 017)e2 017f(0) Cf(1)ef(0)，f(2 017)e2 017f(0) Df(1)ef(0)，f(2 017)e2 017f(0) 答案D 解析令 g(x)fx ex ， 则 g(x) fx exfxe
25、 xfxex e2x fxfx ex 0， 所以函数 g(x)fx ex 在 R 上是单调减函数， 所以 g(1)g(0)，g(2 017)g(0)， 即f1 e1 f0 1 ，f2 017 e2 017 f0 1 ， 故 f(1)ef(0)，f(2 017)0，解得 a 1 9， 所以 a 的取值范围是 1 9，. 15已知函数 f(x)1 2x 24x3ln x 在区间t，t1上不单调，则 t 的取值范围是_ 答案(0,1)(2,3) 解析由题意知 f(x)x43 x x1x3 x ， 由 f(x)0，得函数 f(x)的两个极值点为 1 和 3， 则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)
26、内， 函数 f(x)在区间t，t1上就不单调， 由 t1t1 或 t3t1，得 0t1 或 2t0 时，f(x)的单调增区间为(0,1)， 单调减区间为(1，)； 当 a0 时，f(x)的单调增区间为(1，)，单调减区间为(0,1)； 当 a0 时，f(x)为常函数 (2)由(1)及题意得 f(2)a 21，即 a2， f(x)2ln x2x3，f(x)2x2 x . g(x)x3 m 22x22x， g(x)3x2(m4)x2. g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数， 即 g(x)在区间(t,3)上有变号零点 由于 g(0)2， gt0. 当 g(t)0 时， 即 3t2(m4)t20 对任意 t1,2恒成立， 由于 g(0)0，故只要 g(1)0 且 g(2)0， 即 m5 且 m9，即 m0，即 m37 3 . 37 3 m9. 即实数 m 的取值范围是 37 3 ，9 .
