1、3.3定积分与微积分基本定理定积分与微积分基本定理 最新考纲考情考向分析 1.了解定积分的实际背景， 了解定积分的基本 思想，了解定积分的概念 2.了解微积分基本定理的含义. 利用定积分求平面图形的面积，定 积分的计算是高考考查的重点. 1定积分的概念 如果函数 f(x)在区间a，b上连续，用分点 ax0 x1xi1xixnb，将区间a，b等分 成 n 个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和式 n i1f(i)x n i1 ba n f(i)，当 n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间a，b上 的定积分，记作baf(x)dx，即baf(x
2、)dxlim n n i1 ba n f(i) 在baf(x)dx 中，a，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数 f(x)叫做 被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式 2定积分的性质 (1)bakf(x)dxkbaf(x)dx(k 为常数)； (2)baf1(x)f2(x)dxbaf1(x)dxbaf2(x)dx； (3)baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx(其中 ac0.() (3)若baf(x)dx0，那么由 yf(x)，xa，xb 以及 x 轴所围成的图形一定在 x 轴下 方() (4)曲线 yx2与 yx 所围成图形的面积是10(x2x
3、)dx.() 题组二教材改编 2P66A 组 T14e 1 2 1 x1dx_. 答案1 解析e 1 2 1 x1dxln(x1)| e1 2ln eln 11. 3P55A 组 T1 0 1 1x2dx_. 答案 4 解析0 1 1x2dx 表示由直线 x0， x1， y0 以及曲线 y 1x2所围成的图形的面积， 0 1 1x2dx 4. 4P60A 组 T6 汽车以 v(3t2)m/s 作变速直线运动时， 在第 1 s 至第 2 s 间的 1 s 内经过的位移是_ m. 答案 13 2 解析s21(3t2)dt 22 1 3 (2 )| 2 tt 3 244 3 22107 2 13 2
4、 (m) 题组三易错自纠 5直线 y4x 与曲线 yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为() A2 2B4 2C2D4 答案D 解析如图，y4x 与 yx3的交点为 A(2,8)， 图中阴影部分即为所求图形面积 S阴20(4xx3)dx 242 0 1 (2)| 4 xx 81 42 44，故选 D. 6若T0 x2dx9，则常数 T 的值为_ 答案3 解析T0 x2dx1 3x 3|T 01 3T 39，T3. 7已知 f(x) x2，1x0， 1，0 x1， 则1 1f(x)dx 的值为_ 答案 4 3 解析1 1f(x)dx01x2dx101dx 3 01 10 | 3 x x 1 3
5、1 4 3. 题型一题型一定积分的计算定积分的计算 1(2018唐山调研)定积分1 1(x2sin x)dx_. 答案 2 3 解析1 1(x2sin x)dx 1 1x2dx11sin xdx 210 x2dx2 3 1 0 | 3 x 2 3. 21 1e|x|dx 的值为( ) A2B2e C2e2D2e2 答案C 解析1 1e|x|dx01e xdx1 0exdx e x|0 1ex|10e0(e)(ee0) 1ee12e2，故选 C. 3(2017昆明检测)设 f(x) x2，x0，1， 2x，x1，2， 则20f(x)dx 等于() A.3 4 B.4 5 C.5 6 D不存在 答
6、案C 解析如图，20f(x)dx10 x2dx21(2x)dx 3 122 01 11 |(2)| 32 xxx 1 3 4221 2 5 6. 思维升华 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分 (2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和 (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分 题型二题型二定积分的几何意义定积分的几何意义 命题点 1利用定积分的几何意义计算定积分 典例 (1)计算：3132xx2dx_. (2)若m 2 x22x dx 4，则 m_. 答案(1)(2)1 解析(1)由定积
7、分的几何意义知，3132xx2dx 表示圆(x1)2y24 和 x1，x3，y 0 围成的图形的面积，3132xx2dx1 44. (2)根据定积分的几何意义m 2 x22x dx 表示圆(x1)2y21 和直线 x2， xm 和 y0 围成的图形的面积，又m 2 x22x dx 4为四分之一圆的面积，结合图形知 m1. 命题点 2求平面图形的面积 典例 (2017青岛月考)由曲线 xy1，直线 yx，y3 所围成的封闭平面图形的面积为 _ 答案4ln 3 解析由 xy1，y3，可得 A 1 3，3. 由 xy1，yx，可得 B(1,1)，由 yx，y3，得 C(3,3)，由曲线 xy1，直线
8、 yx，y3 所 围成图形的面积为 1 1 3 1 (3)dx x 31(3x)dx 1 1 3 (3ln )|xx 23 1 1 (3)| 2 xx(31ln 3) 99 23 1 2 4ln 3. 思维升华 (1)根据定积分的几何意义可计算定积分 (2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤 画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； 借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； 把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； 计算定积分，写出答案 跟踪训练 (1)定积分309x2dx 的值为_ 答案 9 4 解析由定积分的几何意义知，309x2dx 是由曲线 y 9x2，直线
9、 x0，x3，y0 围 成的封闭图形的面积故309x2dx3 2 4 9 4 . (2)如图所示，由抛物线 yx24x3 及其在点 A(0，3)和点 B(3,0)处的切线所围成图形 的面积为_ 答案 9 4 解析由 yx24x3，得 y2x4.易知抛物线在点 A 处的切线斜率 k1y|x04， 在点 B 处的切线斜率 k2y|x32.因此，抛物线在点 A 处的切线方程为 y4x3，在点 B 处的切线方程为 y2x6. 两切线交于点 M 3 2，3. 因此，由题图可知所求的图形的面积是 S 3 3 22 2 3 0 2 (43)(43)d( 26)(43)dxxxxxxxx 3 3 22 2 3
10、 0 2 d(69)dxxxxx 3 3323 2 03 2 11 |(39 )| 33 xxxx 9 8 9 8 9 4. 题型三题型三定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用 典例 一物体作变速直线运动， 其 vt 曲线如图所示， 则该物体在1 2 s 6 s 间的运动路程为_ m. 答案 49 4 解析由题图可知，v(t) 2t，0t1， 2，1t3， 1 3t1，3t6. 由变速直线运动的路程公式，可得 61 11 22 ( )d2 dsttt x v312dt63 1 3t1dt 2 1326 113 2 1 |2 |()| 6 tttt49 4 (m) 所以物体在1 2 s6 s
11、间的运动路程是49 4 m. 思维升华 定积分在物理中的两个应用 (1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为 vv(t)，那么从时刻 ta 到 tb 所经过的路程 sbav(t)dt. (2)变力做功：一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同方向从 xa 移动到 xb 时，力 F(x)所做的功是 WbaF(x)dx. 跟踪训练 一物体在变力 F(x)5x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与 F(x)成 30方 向作直线运动，则由 x1 运动到 x2 时，F(x)做的功为() A. 3 JB.2 3 3 J C.4 3 3 JD2 3 J 答案C 解析21F(x)c
12、os 30dx21 3 2 (5x2)dx 32 1 13 (5)| 32 xx4 3 3， F(x)做的功为4 3 3 J. 1 2 2 0 sind 2 x x 等于() A0B. 4 1 2 C. 4 1 4 D. 21 答案B 解析 2 22 00 1 cos sindd 22 xx xx 2 0 11 (sin )| 22 xx 4 1 2. 2(2018东莞质检)1 1( 1x2x)dx 等于( ) AB. 2 C1D1 答案B 解析1 1( 1x2x)dx11 1x2dx1 1xdx 2 1 1 1 | 22 x 2.故选 B. 3.已知函数 yf(x)的图象为如图所示的折线 A
13、BC，则1 1(x1)f(x)dx 等于 () A2B2 C1D1 答案D 解析由题图易知 f(x) x1，1x0， x1，01)，则 a 的值是() A2B3C4D6 答案A 解析由题意知a1 2x1 x dx(x2ln x)|a1 a2ln a13ln 2，解得 a2. 5设 f(x) x2，x0，1， 1 x，x1，e (其中 e 为自然对数的底数)，则e0f(x)dx 的值为() A.4 3 B.5 4 C.6 5 D.7 6 答案A 解析e0f(x)dx10f(x)dxe1f(x)dx10 x2dxe11 xdx 3 1 0 1 | 3 xln x|e11 31 4 3.故选 A.
14、6(2017湖南长沙模拟)设 a10cos xdx，b10sin xdx，则下列关系式成立的是() AabBab1 Ca1，sin 11cos 1，即 ab.故选 A. 7定积分20|x1|dx 等于() A1B1C0D2 答案A 解析20|x1|dx10|x1|dx21|x1|dx 10(1x)dx21(x1)dx 22 12 01 ()|()| 22 xx xx 11 2 22 2 2 1 211. 8一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 v(t)73t 25 1t(t 的单 位：s，v 的单位：m/s)行驶至停止，则在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是() A12
15、5ln 5B825ln 11 3 C425ln 5D450ln 2 答案C 解析令 v(t)0，得 t4 或 t8 3(舍去)， 汽车行驶距离 s40 73t 25 1t dt 24 0 3 725ln(1)| 2 ttt 282425ln 5425ln 5. 9 2 0 2sin()d 4 xx _. 答案2 解析由题意得 2 0 2sin()d 4 xx 22 0 0 (sincos )d(sincos )|x+xxxx sin 2cos 2 (sin 0cos 0)2. 10(2018太原调研)由直线 x 3，x 3，y0 与曲线 ycos x 所围成的封闭图形的面积为 _ 答案3 解析
16、所求面积 33 33 cos dsin|Sx xx sin 3 sin 3 3. 11(2017济南模拟)设 a0，若曲线 y x与直线 xa，y0 所围成封闭图形的面积为 a2， 则 a_. 答案 4 9 解析封闭图形如图所示， 则 33 2 22 0 0 22 d|0, 33 a a x xxaa 解得 a4 9. 12.已知二次函数 yf(x)的图象如图所示，则它与 x 轴所围成的面积为 _ 答案 4 3 解析根据 f(x)的图象可设 f(x)a(x1)(x1)(a0) 因为 f(x)的图象过(0,1)点，所以a1，即 a1. 所以 f(x)(x1)(x1)1x2. 所以 S1 1(1x
17、2)dx210(1x2)dx 31 0 1 2()| 3 xx2 11 3 4 3. 13.由曲线 yx2和曲线 y x围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影 部分的面积为() A.1 3 B. 3 10 C.1 4 D.1 5 答案A 解析由题意得，所求阴影部分的面积 3 1 231 2 0 0 211 ()d()|, 333 Sxxxxx 故选 A. 14(2018呼和浩特质检)若 S121x2dx，S2211 xdx，S 321exdx，则 S1，S2，S3的大小关系为 () AS1S2S3BS2S1S3 CS2S3S1DS3S2S1 答案B 解析方法一S1 3 2 1 1 | 3 x8
18、3 1 3 7 3， S2ln x|21ln 2ln e1， S3ex|21e2e2.722.74.59， 所以 S2S1S3. 方法二S1，S2，S3分别表示曲线 yx2，y1 x，ye x与直线 x1，x2 及 x 轴围成的图形 的面积，通过作图易知 S2S1S3. 15(2017郑州调研)1 1( 1x2ex1)dx_. 答案 2e 1 e2 解析1 1( 1x2ex1)dx 1 1 1x2dx1 1(ex1)dx. 因为1 1 1x2dx 表示单位圆的上半部分的面积， 所以1 1 1x2dx 2. 而1 1(ex1)dx(exx)|11 (e11)(e 11)e1 e2， 所以1 1( 1x2ex1)dx 2e 1 e2. 16若函数 f(x)在 R 上可导，f(x)x3x2f(1)，则20f(x)dx_. 答案4 解析因为 f(x)x3x2f(1)， 所以 f(x)3x22xf(1) 所以 f(1)32f(1)，解得 f(1)3. 所以 f(x)x33x2. 故20f(x)dx20(x33x2)dx 4 32 0 ()| 4 x x4.
