1、第第 2 课时课时简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 题型一题型一三角函数式的化简三角函数式的化简 1(2017湖南长沙一模)化简： 2sinsin 2 cos2 2 . 答案4sin 解析 2sinsin 2 cos2 2 2sin 2sin cos 1 21cos 2sin 1cos 1 21cos 4sin . 2化简： 2cos4x2cos2x1 2 2tan 4xsin2 4x . 答案 1 2cos 2x 解析原式 1 24cos 4x4cos2x1 2 sin 4x cos 4x cos2 4x 2cos2x12 4sin 4xcos 4x cos22x 2sin 22x co
2、s22x 2cos 2x 1 2cos 2x. 3(2018聊城模拟)已知 cos 4 10 10 ， 0， 2 ，则 sin 2 3 . 答案 43 3 10 解析由题意可得，cos2 4 1cos 2 2 2 1 10，cos 2 2 sin 24 5，即 sin 2 4 5. 因为 cos 4 10 10 0， 0， 2 ， 所以 0 4，2 0， 2 ， 根据同角三角函数基本关系式，可得 cos 23 5， 由两角差的正弦公式，可得 sin 2 3 sin 2cos 3cos 2sin 3 4 5 1 2 3 5 3 2 43 3 10 . 4已知为第二象限角，且 tan tan 12
3、2tan tan 122，则 sin 5 6 . 答案3 10 10 解析由已知可得 tan 12 2， 为第二象限角， sin 12 2 5 5 ，cos 12 5 5 ， 则 sin 5 6 sin 6 sin 12 4 cos 12 sin 4sin 12 cos 4 3 10 10 . 思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特 征 (2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式 子和三角函数公式之间的共同点 题型二题型二三角函数的求值三角函数的求值 命题点 1给角求值与给值求值 典例 (1)(2018太
4、原质检)2sin 50sin 10(1 3tan 10) 2sin280. 答案6 解析原式 2sin 50sin 10cos 10 3sin 10 cos 10 2sin 80 2sin 502sin 10 1 2cos 10 3 2 sin 10 cos 10 2cos 102 2sin 50cos 10sin 10cos(6010) 2 2sin(5010)2 2 3 2 6. (2)已知 cos 43 5， 17 12 7 4 ，则sin 22sin 2 1tan 的值为 答案28 75 解析 sin 22sin2 1tan 2sin cos 2sin2 1sin cos 2sin c
5、os cos sin cos sin sin 21tan 1tan sin 2tan 4. 由17 12 7 4 得5 3 42， 又 cos 43 5， 所以 sin 44 5，tan 44 3. cos cos 4 4 2 10，sin 7 2 10 ， sin 2 7 25. 所以sin 22sin 2 1 tan 7 25 4 3 28 75. (3)(2017合肥联考)已知，为锐角，cos 1 7，sin() 5 3 14 ，则 cos . 答案 1 2 解析为锐角，sin 1 1 7 24 3 7 . ， 0， 2 ，0. 又sin() 2， cos()11 14. cos cos
6、() cos()cos sin()sin 11 14 1 7 5 3 14 4 3 7 49 98 1 2. 命题点 2给值求角 典例 (1)设，为钝角，且 sin 5 5 ，cos 3 10 10 ，则的值为() A.3 4 B.5 4 C.7 4 D.5 4 或7 4 答案C 解析，为钝角，sin 5 5 ，cos 3 10 10 ， cos 2 5 5 ，sin 10 10 ， cos()cos cos sin sin 2 2 0. 又(，2)， 3 2 ，2 ， 7 4 . (2)已知，(0，)，且 tan()1 2，tan 1 7，则 2的值为 答案3 4 解析tan tan() t
7、antan 1tantan 1 2 1 7 11 2 1 7 1 30， 00， 02 2， tan(2) tan 2tan 1tan 2tan 3 4 1 7 13 4 1 7 1. tan 1 70， 2，20， 23 4 . 引申探究 本例(1)中，若，为锐角，sin 5 5 ，cos 3 10 10 ，则. 答案 4 解析，为锐角，cos 2 5 5 ，sin 10 10 ， cos()cos cos sin sin 2 5 5 3 10 10 5 5 10 10 2 2 . 又 00， 2sin 3cos ，又 sin2cos21， cos 2 13，sin 3 13， sin 4
8、sin 2cos 21 2 2 sin cos sin cos 2cos2sin2 2 4cos 26 8 . (2)(2017昆明模拟)计算： 3 cos 10 1 sin 170 . 答案4 解析原式 3sin 170cos 10 cos 10sin 170 3sin 10cos 10 cos 10sin 10 2sin1030 1 2sin 20 4. (3)定义运算|a b cd|adbc.若 cos 1 7，| sin sin cos cos | 3 3 14 ，0 2，则 . 答案 3 解析由题意有 sin cos cos sin sin()3 3 14 ，又 0 2，0 2， 故
9、 cos() 1sin213 14， 而 cos 1 7，sin 4 3 7 ， 于是 sin sin() sin cos()cos sin() 4 3 7 13 14 1 7 3 3 14 3 2 . 又 0 2，故 3. 题型三题型三三角恒等变换的应用三角恒等变换的应用 典例 (2017浙江)已知函数 f(x)sin2xcos2x2 3sin xcos x(xR) (1)求 f 2 3 的值； (2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间 解(1)由 sin2 3 3 2 ，cos2 3 1 2，得 f 2 3 3 2 2 1 2 22 3 3 2 1 2 2. (2)由 cos 2xco
10、s2xsin2x 与 sin 2x2sin xcos x，得 f(x)cos 2x 3sin 2x2sin 2x 6 . 所以 f(x)的最小正周期是. 由正弦函数的性质，得 22k2x 6 3 2 2k，kZ， 解得 6kx 2 3 k，kZ. 所以 f(x)的单调递增区间为 6k， 2 3 k (kZ) 思维升华 三角恒等变换的应用策略 (1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式 的逆用和变形使用 (2)把形如 yasin xbcos x 化为 y a2b2sin(x)，可进一步研究函数的周期性、单调性、 最值与对称性 跟踪训练(1)函数 f(x)
11、sin(x)2sin cos x 的最大值为 (2)函数 f(x)sin 2x 4 2 2sin2x 的最小正周期是 答案(1)1(2) 解析(1)因为 f(x)sin(x)2sin cos x sin xcos cos xsin sin(x)， 又1sin(x)1， 所以 f(x)的最大值为 1. (2)f(x) 2 2 sin 2x 2 2 cos 2x 2(1cos 2x) 2 2 sin 2x 2 2 cos 2x 2 sin 2x 4 2， 所以 T2 2 . 化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用 典例 (12 分)(2016天津)已知函数 f(x)4tan xsin 2xcos
12、 x 3 3. (1)求 f(x)的定义域与最小正周期； (2)讨论 f(x)在区间 4， 4 上的单调性 思想方法指导(1)讨论形如 yasin xbcos x 型函数的性质，一律化成 y a2b2sin(x )型的函数 (2)研究 yAsin(x)型函数的最值、单调性，可将x视为一个整体，换元后结合 ysin x 的图象解决 规范解答 解(1)f(x)的定义域为 x|x 2k，kZ. f(x)4tan xcos xcos x 3 3 4sin xcos x 3 3 4sin x 1 2cos x 3 2 sin x 3 2sin xcos x2 3sin2x 3 sin 2x 3(1cos
13、 2x) 3 sin 2x 3cos 2x2sin 2x 3 .5 分 所以 f(x)的最小正周期 T2 2 .6 分 (2)因为 x 4， 4 ，所以 2x 3 5 6 ， 6 ，8 分 由 ysin x 的图象可知，当 2x 3 5 6 ， 2 ， 即 x 4， 12 时，f(x)单调递减； 当 2x 3 2， 6 ，即 x 12， 4 时，f(x)单调递增10 分 所以当x 4， 4 时，f(x)在区间 12， 4 上单调递增，在区间 4， 12 上单调递减12分 1(2018厦门质检)若 sin 31 4，则 cos 32等于() A7 8 B1 4 C.1 4 D.7 8 答案A 解
14、析cos 32cos 2 32 cos 2 32 12sin2 3 12 1 4 2 7 8. 2.cos 85sin 25cos 30 cos 25 等于() A 3 2 B. 2 2 C.1 2 D1 答案C 解析原式 sin 5 3 2 sin 25 cos 25 sin3025 3 2 sin 25 cos 25 1 2cos 25 cos 25 1 2. 3(2017杭州二次质检)函数 f(x)3sinx 2cos x 24cos 2x 2(xR)的最大值等于( ) A5B.9 2 C.5 2 D2 答案B 解析由题意知 f(x)3 2sin x4 1cos x 2 3 2sin x
15、2cos x2 9 442 9 2， 故选 B. 4设 0， 2 ， 0， 2 ，且 tan 1sin cos ，则() A3 2 B2 2 C3 2 D2 2 答案B 解析由 tan 1sin cos ，得sin cos 1sin cos ， 即 sin cos cos cos sin ， sin()cos sin 2. 0， 2 ， 0， 2 ， 2， 2 ， 2 0， 2 ， 由 sin()sin 2，得 2， 2 2. 54cos 50tan 40等于() A. 2B. 2 3 2 C. 3D2 21 答案C 解析原式4sin 40sin 40 cos 40 4cos 40sin 40
16、sin 40 cos 40 2sin 80sin 40 cos 40 2sin12040sin 40 cos 40 3cos 40sin 40sin 40 cos 40 3cos 40 cos 40 3. 6 (2017豫北名校联考)若函数 f(x)5cos x12sin x 在 x时取得最小值， 则 cos 等于() A. 5 13 B 5 13 C.12 13 D12 13 答案B 解析f(x)5cos x12sin x 13 5 13cos x 12 13sin x13sin(x)， 其中 sin 5 13，cos 12 13， 由题意知2k 2(kZ)， 得 2k 2(kZ )， 所以
17、 cos cos 2k 2cos 2 sin 5 13. 7(2018 届东莞外国语学校月考)若 cos 43 5，则 sin 2 . 答案 7 25 解析由 cos 43 5，可得 2 2 cos 2 2 sin 3 5， 两边平方得1 2(12sin cos ) 9 25， sin 2 7 25. 8已知方程 x23ax3a10(a1)的两根分别为 tan ，tan ，且， 2， 2 ，则 . 答案3 4 解析依题意有 tan tan 3a， tan tan 3a1， tan() tan tan 1tan tan 3a 13a11. 又 tan tan 0， tan tan 0， tan
18、0 且 tan 0， 20 且 20， 即0，结合 tan()1， 得3 4 . 9已知 cos4sin42 3，且 0， 2 ，则 cos 2 3 . 答案 2 15 6 解析cos4sin4(sin2cos2)(cos2sin2) cos 22 3，又 0， 2 ，2(0，)， sin 2 1cos22 5 3 ， cos 2 3 1 2cos 2 3 2 sin 2 1 2 2 3 3 2 5 3 2 15 6 . 10函数 f(x) 3sin 2 3x2sin 21 3x 2x 3 4 的最小值是 答案31 解析f(x) 3sin 2 3x 1cos 2 3x 2sin 2 3x 6
19、1， 又 2x 3 4 ， 2 2 3x 6 2 3， f(x)min2sin 2 31 31. 11(2018邯郸模拟)已知 tan 1 3，cos 5 5 ， 2， 0， 2 ，求 tan()的值， 并求出的值 解由 cos 5 5 ， 0， 2 ， 得 sin 2 5 5 ，tan 2. tan() tan tan 1tan tan 1 32 12 3 1. 2， 0， 2 ， 2 3 2 ，5 4 . 12已知函数 f(x)cos2xsin xcos x，xR. (1)求 f 6 的值； (2)若 sin 3 5，且 2，求 f 2 24 . 解(1)f 6 cos2 6sin 6co
20、s 6 3 2 21 2 3 2 3 3 4 . (2)因为 f(x)cos2xsin xcos x1cos 2x 2 1 2sin 2x 1 2 1 2(sin 2xcos 2x) 1 2 2 2 sin 2x 4 ， 所以 f 2 24 1 2 2 2 sin 12 4 1 2 2 2 sin 3 1 2 2 2 1 2sin 3 2 cos . 又因为 sin 3 5，且 2， 所以 cos 4 5， 所以 f 2 24 1 2 2 2 1 2 3 5 3 2 4 5 103 24 6 20 . 13(2017南昌一中月考)已知 4， 3 4 ， 0， 4 ，且 cos 43 5，sin
21、 5 4 12 13， 则 cos(). 答案33 65 解析 4， 3 4 ， 4 2，0， cos 43 5，sin 44 5， sin 5 4 12 13， sin 412 13， 又 0， 4 ， 4 4， 2 ， cos 4 5 13， cos()cos 4 4 3 5 5 13 4 5 12 13 33 65. 14 在斜ABC 中，sin A 2cos Bcos C， 且 tan Btan C1 2，则角 A 的值为 答案 4 解析由已知 sin(BC) 2cos Bcos C， sin Bcos Ccos Bsin C 2cos Bcos C， tan Btan C 2， 又
22、tan Btan C1 2， tan(BC) tan Btan C 1tan Btan C1， tan A1，又 0A，A 4. 15 (2017武汉模拟)在ABC 中， A， B， C 是ABC 的内角， 设函数 f(A)2sinBC 2 sin A 2 sin2 A 2 cos2A 2，则 f(A)的最大值为 答案2 解析f(A)2cos A 2sin A 2sin 2A 2cos 2A 2 sin Acos A 2sin A 4 ， 因为 0A，所以 4A 4 3 4 . 所以当 A 4 2，即 A 3 4 时，f(A)有最大值 2. 16 (2018泉州模拟)已知角的顶点在坐标原点，
23、始边与 x 轴的正半轴重合， 终边经过点 P( 3， 3) (1)求 sin 2tan 的值； (2)若函数 f(x)cos(x)cos sin(x)sin ，求函数 g(x) 3f 22x2f 2(x)在区间 0，2 3 上的值域 解(1)角的终边经过点 P(3， 3)， sin 1 2，cos 3 2 ，tan 3 3 . sin 2tan 2sin cos tan 3 2 3 3 3 6 . (2)f(x)cos(x)cos sin(x)sin cos x，xR， g(x) 3cos 22x2cos2x 3sin 2x1cos 2x2sin 2x 6 1， 0 x2 3 ， 62x 6 7 6 . 1 2sin 2x 6 1， 22sin 2x 6 11， 故函数 g(x) 3f 22x2f2(x)在区间 0，2 3 上的值域是2,1
