1、5.4平面向量的综合应用平面向量的综合应用 最新考纲考情考向分析 1.会用向量方法解决某些简单的平面几 何问题 2.会用向量方法解决简单的力学问题及 其他一些实际问题. 主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数 列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等 问题是考查的热点，一般以选择题、填空题的形式 出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题. 1向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧： 问题类型所用知识公式表示 线平行、点共线等问题共线向量定理 ababx1y2x2y10， 其中 a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0 垂直问题数量积的运算性质 abab0 x1x
2、2y1y20， 其中 a(x1，y1)，b(x2，y2)，且 a，b 为 非零向量 夹角问题数量积的定义 cos ab |a|b|(为向量 a， b 的夹角)， 其中 a， b 为非零向量 长度问题数量积的定义 |a| a2 x2y2，其中 a(x，y)，a 为 非零向量 (2)用向量方法解决平面几何问题的步骤： 平面几何问题 设向量 向量问题 运算 解决向量问题 还原 解决几何问题 2向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述它主要强调向量 的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的 主体 3平面向量在物理中
3、的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似， 可以用向量的知识来解决 (2)物理学中的功是一个标量，是力 F 与位移 s 的数量积，即 WFs|F|s|cos (为 F 与 s 的夹角) 4向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数 量积，向量的共线与垂直求解相关问题 知识拓展 1若 G 是ABC 的重心，则GA GB GC 0. 2若直线 l 的方程为 AxByC0，则向量(A，B)与直线 l 垂直，向量(B，A)与直线 l 平行 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打
4、“”或“”) (1)若AB AC，则 A，B，C 三点共线( ) (2)在ABC 中，若AB BC0)，则其准线方程为 xp 2. 曲线 E 的方程可化为(x3)2(y2)216， 则有3p 24， 解得p2， 所以抛物线M的方程为y 24x， F(1,0) 设A y20 4 ，y0 ， 则OA y20 4 ，y0 ， AF 1y 2 0 4 ，y0 ，所以OA AF y20 4 1y 2 0 4 y204，解得 y02.所以点 A 的坐标为(1,2) 或(1，2) 题型一题型一向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用 典例 (1)在平行四边形 ABCD 中，AD1，BAD60，E 为 C
5、D 的中点若AC BE1，则 AB_. 答案 1 2 解析在平行四边形 ABCD 中，取 AB 的中点 F， 则BE FD ，BE FD AD 1 2AB ， 又AC AD AB ， AC BE (AD AB )AD 1 2AB AD 21 2AD AB AD AB 1 2AB 2 |AD |21 2|AD |AB |cos 601 2|AB |2 11 2 1 2|AB |1 2|AB |21. 1 2|AB | |AB |0，又|AB|0，|AB|1 2. (2)已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足OP OA (AB AC)，(0，)，则点 P
6、 的轨迹一定通过ABC 的( ) A内心B外心C重心D垂心 答案C 解析由原等式， 得OP OA(ABAC)， 即AP(ABAC)， 根据平行四边形法则， 知ABAC是 ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量AD 的2倍，所以点P的轨迹必过ABC的重心 引申探究 本例(2)中，若动点 P 满足OP OA AB |AB | AC |AC | ，(0，)，则点 P 的轨迹一定通过 ABC 的_ 答案内心 解析由条件，得OP OA AB |AB | AC |AC | ，即AP AB |AB | AC |AC | ，而 AB |AB |和 AC |AC |分别表示平行 于AB ， AC的单位向量
7、， 故AB |AB | AC |AC |平分BAC， 即AP 平分BAC， 所以点 P 的轨迹必过ABC 的内心 思维升华 向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的 代数运算和向量运算，从而使问题得到解决 (2)基向量法 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解 跟踪训练 (1)在ABC 中， 已知向量AB 与AC 满足 AB |AB | AC |AC | BC 0， 且AB |AB | AC |AC | 1 2， 则ABC 为() A等边三角形 B直角三角形 C等腰非
8、等边三角形 D三边均不相等的三角形 答案A 解析 AB |AB |， AC |AC |分别为平行于AB ， AC 的单位向量， 由平行四边形法则可知 AB |AB | AC |AC |为BAC 的平分线因为 AB |AB | AC |AC | BC 0，所以BAC 的平分线垂直于 BC，所以 ABAC. 又 AB |AB | AC |AC | AB |AB | AC |AC |cosBAC1 2，所以 cosBAC 1 2，又 0BAC，故BAC 3， 所以ABC 为等边三角形 (2)(2017湖南长沙长郡中学临考冲刺训练)如图，在平行四边形 ABCD 中，AB1，AD2， 点 E，F，G，H
9、 分别是 AB，BC，CD，AD 边上的中点，则EF FG GH HE 等于() A.3 2 B3 2 C.3 4 D3 4 答案A 解析取 HF 中点 O， 则EF FG EF EH EO 2OH2 1 1 2 23 4， GH HE GH GF GO 2OH 2 1 1 2 23 4， 因此EF FG GH HE 3 2，故选 A. 题型二题型二向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用 典例 (1)已知向量OA (k,12)，OB (4,5)，OC (10，k)，且 A，B，C 三点共线，当 k0 时， 若 k 为直线的斜率，则过点(2，1)的直线方程为_ 答案2xy30 解析AB O
10、B OA (4k，7)， BC OC OB (6，k5)，且AB BC， (4k)(k5)670， 解得 k2 或 k11. 由 k0. 所以 cos B 2 2 ，又 B(0，)，所以 B 4. (2)因为|BA BC| 6，所以|CA| 6. 即 b 6，根据余弦定理及基本不等式，得 6a2c2 2ac2ac 2ac(2 2)ac(当且仅当 ac 时取等号)，即 ac3(2 2)， 故ABC 的面积 S1 2acsin B 3 21 2 ， 即ABC 的面积的最大值为3 23 2 . 13 已知 O 是平面上的一定点， A， B， C 是平面上不共线的三个动点， 若动点 P 满足OP OA
11、 AB |AB |cos B AC |AC |cos C ， (0，)，则() A动点 P 的轨迹一定通过ABC 的重心 B动点 P 的轨迹一定通过ABC 的内心 C动点 P 的轨迹一定通过ABC 的外心 D动点 P 的轨迹一定通过ABC 的垂心 答案D 解析由条件，得AP AB |AB |cos B AC |AC |cos C ， 从而AP BC AB BC |AB |cos B AC BC |AC |cos C |AB |BC|cos180B |AB |cos B |AC |BC|cos C |AC |cos C 0， 所以AP BC，则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的垂心 14已知圆
12、C：(x2)2y24，圆 M：(x25cos )2(y5sin )21(R)，过圆 M 上任 意一点 P 作圆 C 的两条切线 PE，PF，切点分别为 E，F，则PE PF的最小值是_ 答案6 解析圆(x2)2y24 的圆心 C(2,0)，半径为 2， 圆 M(x25cos )2(y5sin )21，圆心 M(25cos ，5sin )，半径为 1， CM521，故两圆外离 如图所示，设直线 CM 和圆 M 交于 H，G 两点， 则PE PF的最小值是HE HF ，HCCM1514，HFHE HC2CE2 1642 3， sinCHECE CH 1 2， cosEHFcos 2CHE12sin
13、2CHE1 2， HE HF |HE |HF |cosEHF 2 32 31 26. PE PF的最小值是 6. 15(2018大庆一模)已知共面向量 a，b，c 满足|a|3，bc2a，且|b|bc|.若对每一个 确定的向量 b，记|bta|(tR)的最小值为 dmin，则当 b 变化时，dmin的最大值为() A.4 3 B2 C4D6 答案B 解析 固定向量 a(3,0)，则 b，c 向量分别在以(3,0)为圆心，r 为半径的圆上的直径两端运动，其 中，OA a，OB b，OC c，如图，易得点 B 的坐标 B(rcos 3，rsin )， 因为|b|bc|， 所以 OBBC，即(rco
14、s 3)2r2sin24r2， 整理为 r22rcos 30，可得 cos r 23 2r ， 而|bta|(tR)的最小值为 dmin， 即 dminrsin r410r29 4 4r 252 4 2， 所以 dmin的最大值是 2，故选 B. 16(2017全国)在矩形 ABCD 中，AB1，AD2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切 的圆上若AP ABAD ，则的最大值为() A3B2 2C. 5D2 答案A 解析建立如图所示的直角坐标系，则 C 点坐标为(2,1) 设 BD 与圆 C 切于点 E，连接 CE，则 CEBD. CD1，BC2， BD 1222 5， ECBCCD BD 2 5 2 5 5 ， 即圆 C 的半径为2 5 5 ， P 点的轨迹方程为(x2)2(y1)24 5. 设 P(x0，y0)，则 x022 5 5 cos ， y012 5 5 sin (为参数)， 而AP (x 0，y0)，AB (0,1)，AD (2,0) AP ABAD (0,1)(2,0)(2，)， 1 2x 01 5 5 cos ，y012 5 5 sin . 两式相加，得 12 5 5 sin 1 5 5 cos 2sin()3 其中 sin 5 5 ，cos 2 5 5， 当且仅当 22k，kZ 时，取得最大值 3. 故选 A.
