1、14.2不等式选讲不等式选讲 最新考纲考情考向分析 1.理解绝对值不等式的几何意义， 并了解下列 不等式成立的几何意义及取等号的条件： |a b|a|b|(a， bR)； |ac|ab|bc|(a， bR) 2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的 不等式： |axb|c；|axb|c；|xa|xb|c. 3.通过一些简单问题了解证明不等式的基本 方法：比较法、综合法、分析法. 本节题目常见的是解绝对值不等式、利用不 等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对 值的函数最值也是考查的热点求解的一般 方法是去掉绝对值，也可以借助数形结合求 解在高考中主要以解答题的形式考查，难 度为中、低档. 1绝对
2、值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a 的解集 不等式a0a0a0 |x|a(，a)(a，)(，0)(0，)R (2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法 |axb|ccaxbc； |axb|caxbc 或 axbc. (3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法 利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想 2含有绝对值的不等式的性质 (1)如果 a，b 是实数，则|a|b|ab|a|b|，当且仅当 ab0 时，等号成立 (
3、2)如果 a，b，c 是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0 时，等号成立 3不等式证明的方法 (1)比较法 作差比较法 知道 abab0，ababb，只要证明 ab0 即可，这种方法称为 作差比较法 作商比较法 由 ab0a b1 且 a0，b0，因此当 a0，b0 时，要证明 ab，只要证明 a b1 即可，这种方 法称为作商比较法 (2)综合法 从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不 等式成立，这种证明方法叫做综合法，即“由因导果”的方法 (3)分析法 从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个
4、已成立的 不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，即“执 果索因”的方法 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若|x|c 的解集为 R，则 c0.() (2)不等式|x1|x2|b0 时等号成立() (4)对|a|b|ab|当且仅当|a|b|时等号成立() (5)对|ab|a|b|当且仅当 ab0 时等号成立() 题组二教材改编 2P20T7不等式 3|52x|9 的解集为() A2,1)4,7)B(2,1(4,7 C(2，14,7)D(2,14,7) 答案D 解析由题意得 |2x5|9， |2x5|3， 即 92x59
5、， 2x53 或 2x53， 解得 2x7， x4 或 x1， 不等式的解集为(2,1 4,7) 3P20T8求不等式|x1|x5|2 的解集 解当 x1 时，原不等式可化为 1x(5x)2， 42，不等式恒成立，x1； 当 1x5 时，原不等式可化为 x1(5x)2， x4，1x4； 当 x5 时，原不等式可化为 x1(x5)2，该不等式不成立 综上，原不等式的解集为(，4) 题组三易错自纠 4若函数 f(x)|x1|2|xa|的最小值为 5，则实数 a_. 答案4 或6 解析方法一当 a1 时，f(x)3|x1|， f(x)min0，不符合题意； 当 a1 时，f(x) 3x2a1，x1，
6、 f(x)minf(a)a15，a6 成立； 当 a1 时，f(x) 3x2a1，xa， f(x)minf(a)a15，a4 成立 综上，a4 或 a6. 方法二当 a1 时，f(x)min0，不符合题意； 当 a1 时，f(x)minf(a)|a1|5， a4 或 a6. 5已知 a，b，c 是正实数，且 abc1，则1 a 1 b 1 c的最小值为_ 答案9 解析把 abc1 代入到1 a 1 b 1 c中， 得abc a abc b abc c 3 b a a b c a a c c b b c 32229， 当且仅当 abc1 3时，等号成立 6若不等式|2x1|x2|a21 2a2
7、对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为 _ 答案 1，1 2 解析设 y|2x1|x2| 3x1，x2， x3，2x1 2， 3x1，x1 2. 当 x5； 当2x 5 2，y5； 当x1 2时， y3x1 5 2， 故函数y|2x1|x2|的最小值为 5 2.因为不等式|2x1|x2|a 2 1 2a2 对任意实数 x 恒成立，所以 5 2a 21 2a2. 解不等式5 2a 21 2a2，得1a 1 2， 故实数 a 的取值范围为 1，1 2 . 题型一题型一绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法 1(2017全国)已知函数 f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|. (1)当
8、a1 时，求不等式 f(x)g(x)的解集； (2)若不等式 f(x)g(x)的解集包含1,1，求 a 的取值范围 解(1)当 a1 时，不等式 f(x)g(x)等价于 x2x|x1|x1|40. 当 x1 时，式化为 x2x40， 从而 10. (1)当 a1 时，求不等式 f(x)1 的解集； (2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的面积大于 6，求 a 的取值范围 解(1)当 a1 时， f(x)1 化为|x1|2|x1|10. 当 x1 时，不等式化为 x40，无解； 当1x0，解得2 3x0，解得 1x1 的解集为 x| 2 3x2. (2)由题设可得，f(x) x12a，x
9、a. 所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A 2a1 3 ，0 ，B(2a1,0)，C(a， a1)， ABC 的面积为2 3(a1) 2. 由题设得2 3(a1) 26，故 a2. 所以 a 的取值范围为(2，) 思维升华 解绝对值不等式的基本方法 (1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式 (2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等 式 (3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解 题型二题型二利用绝对值不等式求最值利用绝对值不等式求最值 典例 (1)对任意 x，yR，求|x1|x|y1|y1|的
10、最小值； (2)对于实数 x，y，若|x1|1，|y2|1，求|x2y1|的最大值 解(1)x，yR， |x1|x|(x1)x|1， 当且仅当 0 x1 时等号成立， |y1|y1|(y1)(y1)|2， 当且仅当1y1 时等号成立， |x1|x|y1|y1|123， 当且仅当 0 x1，1y1 同时成立时等号成立 |x1|x|y1|y1|的最小值为 3. (2)|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最 大值为 5. 思维升华 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种 (1)利用绝对值的几何意义 (2)利用绝对值三角不等式，即|a|b|ab|a|
11、b|. (3)利用零点分区间法 跟踪训练 (2017西安模拟)已知 a 和 b 是任意非零实数 (1)求|2ab|2ab| |a| 的最小值； (2)若不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成立，求实数 x 的取值范围 解(1)|2ab|2ab| |a| |2ab2ab| |a| |4a| |a| 4， 当且仅当(2ab)(2ab)0 时等号成立， |2ab|2ab| |a| 的最小值为 4. (2)若不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成立，即|2x|2x|2ab|2ab| |a| 恒 成立， 故|2x|2x| |2ab|2ab| |a|min. 由(1)可知，|2ab
12、|2ab| |a| 的最小值为 4， x 的取值范围即为不等式|2x|2x|4 的解集 解不等式得2x2， 故实数 x 的取值范围为2,2 题型三题型三绝对值不等式的综合应用绝对值不等式的综合应用 典例 已知函数 f(x)|xa| 1 2a(a0) (1)若不等式 f(x)f(xm)1 恒成立，求实数 m 的最大值； (2)当 a1 2时，函数 g(x)f(x)|2x1|有零点，求实数 a 的取值范围 解(1)f(x)|xa| 1 2a(a0)， f(xm)|xma| 1 2a， f(x)f(xm)|xa|xma|1， 又|xa|xma|m|， |m|1，1m1， 实数 m 的最大值为 1.
13、(2)当 a1 2时， g(x)f(x)|2x1|xa|2x1| 1 2a 3xa 1 2a1，x 1 2， g(x)ming 1 2 1 2a 1 2a 2a 2a1 2a 0， 0a1 2， 2a2a10 或 a0， 2a2a10， 1 2ay，求证：2x 1 x22xyy22y3； (2)设 a，b，c0 且 abbcca1，求证：abc 3. 证明(1)因为 x0，y0，xy0， 2x 1 x22xyy22y2(xy) 1 xy2 (xy)(xy) 1 xy2 3 3 xy2 1 xy23， 所以 2x 1 x22xyy22y3. (2)因为 a，b，c0， 所以要证 abc 3， 只
14、需证明(abc)23. 即证 a2b2c22(abbcca)3， 而 abbcca1， 故需证明 a2b2c22(abbcca)3(abbcca)， 即证 a2b2c2abbcca. 而 abbccaa 2b2 2 b 2c2 2 c 2a2 2 a2b2c2(当且仅当 abc 时等号成立)成立， 所以原不等式成立 思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”， 用分析法证明不等式是“执果索因”， 它们 是两种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所 以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互 转化，互相渗透，互为前提，充分利
15、用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野 跟踪训练 (2017全国)已知 a0，b0，a3b32，证明：(1)(ab)(a5b5)4； (2)ab2. 证明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6 (a3b3)22a3b3ab(a4b4) 4ab(a4b42a2b2) 4ab(a2b2)24. (2)因为(ab)3a33a2b3ab2b3 23ab(ab) 23ab 2 4 (ab) 23ab 3 4 ， 所以(ab)38，因此 ab2. 1解不等式|x1|x2|5. 解方法一如图，设数轴上与2,1 对应的点分别是 A，B，则不等式的解就是数轴上到 A， B 两点的距离之和不小于 5
16、的点所对应的实数 显然，区间2,1不是不等式的解集把点 A 向左移动一个单位到点 A1，此时|A1A|A1B| 145.把点 B 向右移动一个单位到点 B1，此时|B1A|B1B|5，故原不等式的解集为 (，32，) 方法二由原不等式|x1|x2|5， 可得 x2， x1x25 或 2x1， x1x25 或 x1， x1x25， 解得 x2 或 x3， 原不等式的解集为(，32，) 方法三将原不等式转化为|x1|x2|50. 令 f(x)|x1|x2|5，则 f(x) 2x6，x2， 2，2x0) (1)当 a4 时，求不等式的解集； (2)若不等式有解，求实数 a 的取值范围 解(1)当 a
17、4 时，不等式为|2x1|x1|2. 当 x1 2时，x22，解得4x1 时，x0，此时 x 不存在， 原不等式的解集为 x|4x 2 3. (2)令 f(x)|2x1|x1|， 则 f(x) x2，x1. 故 f(x) 3 2，即 f(x)的最小值为3 2. 若 f(x)log2a 有解，则 log2a3 2， 解得 a 2 4 ，即 a 的取值范围是 2 4 ， . 6(2017沈阳模拟)设 f(x)|ax1|. (1)若 f(x)2 的解集为6,2，求实数 a 的值； (2)当 a2 时，若存在 x0R，使得不等式 f(2x01)f(x01)73m 成立，求实数 m 的取 值范围 解(1
18、)显然 a0，当 a0 时，解集为 1 a， 3 a ， 则1 a6， 3 a2，无解； 当 a0 时，解集为 3 a， 1 a ， 令1 a2， 3 a6，得 a 1 2. 综上所述，a1 2. (2)当 a2 时，令 h(x)f(2x1)f(x1) |4x1|2x3| 2x4，x1 4， 6x2，1 4x 3 2， 2x4，x3 2， 由此可知 h(x)在 ，1 4 上单调递减， 在 1 4， 3 2 上单调递增， 在 3 2，上单调递增， 则当x1 4时， h(x)取得最小值 7 2， 由题意， 知 7 273m， 则实数m的取值范围是 ，7 2 . 7(2017哈尔滨三中检测)已知 a
19、，b，c 为正实数，且 abc2. (1)求证：abbcac4 3； (2)若 a，b，c 都小于 1，求 a2b2c2的取值范围 (1)证明abc2， a2b2c22ab2bc2ca4， 2a22b22c24ab4bc4ca8， 82a22b22c24ab4bc4ca6ab6bc6ac，当且仅当 abc 时取等号，ab bcac4 3. (2)解由题意可知，a2b2c22ab2bc2ca4， 4a2b2c2a2b2b2c2a2c23(a2b2c2)，当且仅当 abc 时取等号，a2 b2c24 3. 0aa2.同理 bb2，cc2. a2b2c2abc2， 4 3a 2b2c22， a2b2
20、c2的取值范围为 4 3，2. 8已知函数 f(x)m|x1|x2|，mR，且 f(x1)0 的解集为0,1 (1)求 m 的值； (2)若 a，b，c，x，y，zR，且 x2y2z2a2b2c2m，求证：axbycz1. (1)解由 f(x1)0，得|x|x1|m. |x|x1|1 恒成立， 若 m1，当 x0 时，1m 2 x1 时，得 2x1m,1xm1 2 . 综上可知，不等式|x|x1|m 的解集为 1m 2 ，m1 2. 由题意知，原不等式的解集为0,1 1m 2 0，m1 2 1，解得 m1. m1. (2)证明x2a22ax，y2b22by，z2c22cz，当且仅当 xa，yb
21、，zc 时等号成立 三式相加，得 x2y2z2a2b2c22ax2by2cz. 由题设及(1)，知 x2y2z2a2b2c2m1， 22(axbycz)，axbycz1，不等式得证 9(2017银川模拟)已知函数 f(x)|x1|，g(x)2|x|a. (1)当 a1 时，解不等式 f(x)g(x)； (2)若存在 x0R，使得 f(x0)1 2g(x 0)，求实数 a 的取值范围 解(1)当 a1 时，不等式 f(x)g(x)， 即|x1|2|x|1， 从而 x1， x12x1， 即 x1， 或 1x0， x12x1， 即10， x12x1， 即 x2. 从而不等式 f(x)g(x)的解集为
22、 x|x 2 3或 x2. (2)存在 x0R，使得 f(x0)1 2g(x 0)， 即存在 x0R，使得|x01|x0|a 2， 即存在 x0R，使得a 2|x 01|x0|. 设 h(x)|x1|x| 1，x1， 2x1，10， 则 h(x)的最大值为 1， 所以a 21，即 a2. 所以实数 a 的取值范围为(，2 10已知 ab1，对a，b(0，)，1 a 4 b|2x1|x1|恒成立 (1)求1 a 4 b的最小值； (2)求 x 的取值范围 解(1)a0，b0 且 ab1， 1 a 4 b 1 a 4 b (ab) 5b a 4a b 9， 当且仅当b a 4a b ，即 a1 3，b 2 3时， 1 a 4 b取得最小值 9. (2)对a，b(0，)， 1 a 4 b|2x1|x1|恒成立， |2x1|x1|9. 当 x1 时，不等式化为 2x9， 解得7x1； 当1x1 2时，不等式化为3x9， 解得1x1 2； 当 x1 2时，不等式化为 x29， 解得1 2x11. x 的取值范围为x|7x11
