1、9.5椭椭圆圆 最新考纲考情考向分析 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画 现实世界和解决实际问题中的作用 2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程 及简单几何性质. 椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小 题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出 现在解答题中题型主要以选择、填空题为 主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出 现在解答题的第一问. 1椭圆的概念 平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a0，c0，且 a，c 为常数： (1
2、)若 ac，则集合 P 为椭圆； (2)若 ac，则集合 P 为线段； (3)若 ab0) y2 a2 x2 b21(ab0) 图形 性 质 范围 axa byb bxb aya 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点坐标 A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0)，B2(b,0) 轴长轴 A1A2的长为 2a；短轴 B1B2的长为 2b 焦距|F1F2|2c 离心率ec a(0,1) a，b，c 的关系a2b2c2 知识拓展 点 P(x0，y0)和椭圆的位置关系 (1)点 P(x0，y0)在椭圆内x 2 0 a2 y20
3、b21. 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内与两个定点 F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆() (2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1，F2构成PF1F2的周长为 2a2c(其中 a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)() (3)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆() (4)方程 mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆() (5)y 2 a2 x2 b21(ab)表示焦点在 y 轴上的椭圆( ) (6)x 2 a2 y2 b21(ab0)与 y2 a2 x2 b21(ab0)的焦距相等( ) 题组二教材改编 2P80A 组 T
4、3(1)椭圆 x2 10m y2 m21 的焦距为 4，则 m 等于( ) A4B8 C4 或 8D12 答案C 解析当焦点在 x 轴上时，10mm20， 10m(m2)4，m4. 当焦点在 y 轴上时，m210m0，m2(10m)4，m8. m4 或 8. 3P49A 组 T5过点 A(3，2)且与椭圆x 2 9 y 2 4 1 有相同焦点的椭圆的方程为() A.x 2 15 y2 101 B.x 2 25 y2 201 C.x 2 10 y2 151 D.x 2 20 y2 151 答案A 解析由题意知 c25，可设椭圆方程为 x2 5 y2 1(0)，则 9 5 4 1，解得10 或 2
5、(舍去)， 所求椭圆的方程为x 2 15 y2 101. 4P49A 组 T6已知点 P 是椭圆x 2 5 y 2 4 1 上 y 轴右侧的一点，且以点 P 及焦点 F1，F2为顶 点的三角形的面积等于 1，则点 P 的坐标为_ 答案 15 2 ，1 或 15 2 ，1 解析设 P(x，y)，由题意知 c2a2b2541， 所以 c1，则 F1(1,0)，F2(1,0)由题意可得点 P 到 x 轴的距离为 1，所以 y1，把 y1 代入x 2 5 y 2 4 1，得 x 15 2 ，又 x0，所以 x 15 2 ， 所以 P 点坐标为 15 2 ，1 或 15 2 ，1 . 题组三易错自纠 5
6、若方程 x2 5m y2 m31 表示椭圆，则 m 的取值范围是( ) A(3,5)B(5,3) C(3,1)(1,5)D(5,1)(1,3) 答案C 解析由方程表示椭圆知 5m0， m30， 5mm3， 解得3mb0)的左、右焦点分别为 F 1，F2，离心率为 3 3 ，过 F2的直线 l 交 C 于 A，B 两点，若AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为() A.x 2 3 y 2 2 1B.x 2 3 y21 C.x 2 12 y2 8 1D.x 2 12 y2 4 1 答案A 解析AF1B 的周长为 4 3，4a4 3， a 3，离心率为 3 3 ，c1， b a2c2 2，椭圆
7、 C 的方程为x 2 3 y 2 2 1. 故选 A. 第第 1 课时课时椭圆及其性质椭圆及其性质 题型一题型一椭圆的定义及应用椭圆的定义及应用 1.如图所示，一圆形纸片的圆心为 O，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使 M 与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与 OM 交于点 P，则点 P 的轨迹是() A椭圆B双曲线 C抛物线D圆 答案A 解析由条件知|PM|PF|， |PO|PF|PO|PM|OM|R|OF|. P 点的轨迹是以 O，F 为焦点的椭圆 2过椭圆 4x2y21 的一个焦点 F1的直线与椭圆交于 A，B 两点，则 A 与 B 和椭圆的另一 个焦点
8、 F2构成的ABF2的周长为() A2B4 C8D2 2 答案B 解析椭圆方程变形为y 2 1 x 2 1 4 1， 椭圆长轴长 2a2，ABF2的周长为 4a4. 3(2017承德模拟)椭圆x 2 4 y21 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1作垂直于 x 轴的直线与 椭圆相交，一个交点为 P，则|PF2|等于() A.7 2 B. 3 2 C. 3D4 答案A 解析F1( 3，0)，PF1x 轴， P 3，1 2 ，|PF1 |1 2， |PF2 |41 2 7 2. 4(2017呼和浩特模拟)已知 F 是椭圆 5x29y245 的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A(1,1) 是一定点
9、，则|PA|PF|的最大值为_，最小值为_ 答案6 26 2 解析椭圆方程化为x 2 9 y 2 5 1， 设 F1是椭圆的右焦点，则 F1(2,0)， |AF1| 2，|PA|PF|PA|PF1|6， 又|AF1|PA|PF1|AF1|(当 P，A，F1共线时等号成立)， |PA|PF|6 2，|PA|PF|6 2. 思维升华椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和 离心率等 (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题 题型二题型二椭圆的标准方程椭圆的标准方程 命题点 1利用定义法求椭圆的标准方程 典例
10、 (1)(2018济南调研)已知两圆 C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆 C1 内部且和圆 C1相内切，和圆 C2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为() A.x 2 64 y2 481 B.x 2 48 y2 641 C.x 2 48 y2 641 D.x 2 64 y2 481 答案D 解析设圆 M 的半径为 r， 则|MC1|MC2|(13r)(3r)168|C1C2|， 所以 M 的轨迹是以 C1，C2为焦点的椭圆， 且 2a16,2c8，故所求的轨迹方程为x 2 64 y2 481. (2)在ABC 中，A(4,0)，B(4,0)，ABC 的周长是 18，则
11、顶点 C 的轨迹方程是() A.x 2 25 y2 9 1(y0)B.y 2 25 x2 9 1(y0) C.x 2 16 y2 9 1(y0)D.y 2 16 x2 9 1(y0) 答案A 解析由|AC|BC|188108 知，顶点 C 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆(A，B，C 不 共线)设其方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)，则 a5，c4，从而 b3.由 A，B，C 不共线知 y0. 故顶点 C 的轨迹方程是x 2 25 y2 9 1(y0) 命题点 2利用待定系数法求椭圆方程 典例 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 3 2， 5 2 ，( 3， 5)
12、，则椭 圆方程为_ 答案 y2 10 x2 6 1 解析设椭圆方程为 mx2ny21(m，n0，mn) 由 3 2 2m 5 2 2n1， 3m5n1， 解得 m1 6，n 1 10. 椭圆方程为y 2 10 x2 6 1. (2)过点( 3， 5)，且与椭圆y 2 25 x2 9 1 有相同焦点的椭圆的标准方程为_ 答案 y2 20 x2 4 1 解析方法一椭圆y 2 25 x2 9 1 的焦点为(0，4)，(0,4)，即 c4. 由椭圆的定义知，2a 302 542 302 542， 解得 a2 5. 由 c2a2b2可得 b24， 所求椭圆的标准方程为y 2 20 x2 4 1. 方法二
13、所求椭圆与椭圆y 2 25 x2 9 1 的焦点相同， 其焦点在 y 轴上，且 c225916. 设它的标准方程为y 2 a2 x2 b21(ab0) c216，且 c2a2b2，故 a2b216. 又点( 3， 5)在所求椭圆上， 5 2 a2 3 2 b2 1， 即 5 a2 3 b21. 由得 b24，a220， 所求椭圆的标准方程为y 2 20 x2 4 1. 思维升华 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法 (2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件 2a|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再 定量，也可把椭圆方程设为 mx2ny21(m0，n0，mn)的形式 跟踪
14、训练 设 F1，F2分别是椭圆 E：x2y 2 b21(0b1)的左、右焦点，过点 F 1的直线交椭圆 E 于 A，B 两点若|AF1|3|F1B|，AF2x 轴，则椭圆 E 的方程为_ 答案x23 2y 21 解析设点 B 的坐标为(x0，y0) x2y 2 b21，F 1( 1b2，0)，F2( 1b2，0) AF2x 轴，设点 A 在 x 轴上方， 则A( 1b2，b2) |AF1|3|F1B|，AF1 3F1B ， (2 1b2，b2)3(x0 1b2，y0) x05 3 1b2，y0b 2 3 . 点 B 的坐标为 5 3 1b2，b 2 3 . 将 B 5 3 1b2，b 2 3
15、代入 x2y 2 b21，得 b 22 3. 椭圆 E 的方程为 x23 2y 21. 题型三题型三椭圆的几何性质椭圆的几何性质 典例 (1)(2017安庆模拟)P 为椭圆x 2 16 y2 151 上任意一点，EF 为圆 N：(x1) 2y24 的任意 一条直径，则PE PF的取值范围是( ) A0,15B5,15 C5,21D(5,21) 答案C 解析PE PF(PNNE)(PNNF)(PNNE)(PNNE)PN2NE2|PN |24，因为 a c|PN |ac，即 3|PN|5，所以PEPF的取值范围是5,21 (2)(2016全国)已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：x 2 a2 y
16、2 b21(ab0)的左焦点，A，B 分别 为椭圆 C 的左，右顶点P 为 C 上一点，且 PFx 轴过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M， 与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为() A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.3 4 答案A 解析由题意知，A(a,0)，B(a,0)，F(c,0) 设 M(c，m)，则 E 0， am ac ，OE 的中点为 D， 则 D 0， am 2ac ，又 B，D，M 三点共线， 所以 m 2ac m ac，即 a3c，即 e 1 3. 思维升华 (1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 注意椭圆几何性质中的不等
17、关系 在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到 x，y 的范围，离心率的范围等不等关系 利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系 (2)求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于 a，b，c 的等式或不等式，即可 得离心率或离心率的范围 跟踪训练 (1)(2017德阳模拟)已知椭圆x 2 4 y 2 b21(0bbc0，a 2b2c2)的左、右焦点分别为 F1，F2，若 以 F2为圆心，bc 为半径作圆 F2，过椭圆上一点 P 作此圆的切线，切点为 T，且|PT|的最小 值不小于 3 2 (ac
18、)，则椭圆的离心率 e 的取值范围是_ 答案 3 5， 2 2 解析因为|PT| |PF2|2bc2(bc)， 而|PF2|的最小值为 ac， 所以|PT|的最小值为 ac2bc2. 依题意，有 ac2bc2 3 2 (ac)， 所以(ac)24(bc)2，所以 ac2(bc)， 所以 ac2b，所以(ac)24(a2c2)， 所以 5c22ac3a20，所以 5e22e30. 又 bc，所以 b2c2，所以 a2c2c2， 所以 2e21. 联立，得3 5e 2 2 . 1设 F1，F2分别是椭圆x 2 25 y2 161 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是 F 1P 的中点，|OM|
19、3，则 P 点到椭圆左焦点的距离为() A4B3C2D5 答案A 解析由题意知|OM|1 2|PF 2|3，|PF2|6， |PF1|2a|PF2|1064. 2(2018开封模拟)曲线 C1：x 2 25 y2 9 1 与曲线 C2： x2 25k y2 9k1(kb0)的右焦点 F 和上顶点 B，则椭圆 C 的离心率为() A.1 2 B. 2C2D. 2 2 答案D 解析由题意得，椭圆的右焦点 F 为(c,0)，上顶点 B 为(0，b)因为圆(x1)2(y1)22 经 过右焦点 F 和上顶点 B，所以 c1212， 1b122， 解得 bc2，则 a2b2c28，解得 a2 2， 所以椭
20、圆 C 的离心率 ec a 2 2 2 2 2 ，故选 D. 4 (2017西宁模拟)设 F1， F2分别为椭圆x 2 4 y21 的左、 右焦点， 点 P 在椭圆上， 且|PF1 PF2 | 2 3，则F1PF2等于() A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 答案D 解析因为PF1 PF2 2PO ， O 为坐标原点， |PF1 PF2 |2 3， 所以|PO| 3， 又|OF1|OF2| 3， 所以 P，F1，F2在以点 O 为圆心的圆上，且 F1F2为直径，所以F1PF2 2. 5(2017河北衡水中学二调)设椭圆x 2 16 y2 121 的左、右焦点分别为 F 1，F2，点 P 在
21、椭圆上， 且满足PF1 PF2 9，则|PF1|PF2|的值为() A8B10 C12D15 答案D 解析由椭圆方程x 2 16 y2 121，可得 c 24，所以|F1F2|2c4，而F1F2 - - - - - - - - - PF 2 PF1 ，所以 |F1F2 - - - - - - - - - |PF 2 PF1 |，两边同时平方，得|F1F2 - - - - - - - - - |2|PF 1 |22PF1 PF2 |PF2 |2，所以|PF1 |2|PF2 |2 |F1F2 - - - - - - - - - |22PF 1 PF2 161834，根据椭圆定义，得|PF1|PF2
22、|2a8，(|PF1|PF2|)2 |PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|64，所以 342|PF1|PF2|64，所以|PF1|PF2|15.故选 D. 6(2018昆明调研)2016 年 1 月 14 日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程 重大专项领导小组审议通过，正式开始实施如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转 移轨道飞向月球后， 在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月 飞行，之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行若用 2c1 和 2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用 2a1和 2a2分别表示椭圆轨道和的
23、长轴长，给 出下列式子： a1c1a2c2；a1c1a2c2；c1 a1a1c2. 其中正确式子的序号是() ABCD 答案D 解析观察图形可知 a1c1a2c2，即式不正确；a1c1a2c2|PF|，即式正确；由 a1c1a2c20，c1c20 知，a1c1 c1 a2c2 c2 ，即a1 c1a1c2，c1 a1 c2 a2，即式正确， 式不正确故选 D. 7焦距是 8，离心率等于 0.8 的椭圆的标准方程为_ 答案 x2 25 y2 9 1 或y 2 25 x2 9 1 解析由题意知 2c8， c a0.8， 解得 a5， c4， 又 b2a2c2，b29， 当焦点在 x 轴上时，椭圆方
24、程为x 2 25 y2 9 1， 当焦点在 y 轴上时，椭圆方程为y 2 25 x2 9 1. 8若椭圆x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的焦点在 x 轴上，过点(2,1)作圆 x 2y24 的切线，切点分别 为 A，B，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为_ 答案 x2 20 y2 161 解析设切点坐标为(m，n)， 则n1 m2 n m1， 即 m2n2n2m0. m2n24，2mn40， 即直线 AB 的方程为 2xy40. 直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点， 2c40，b40，解得 c2，b4， a2b2c220， 椭圆方程为x 2 20 y2 161
25、. 9(2017湖北重点中学联考)已知椭圆 C1：x 2 a2 y2 b21(ab0)与椭圆 C 2：y 2 a2 x2 b21(ab0)相 交于 A，B，C，D 四点，若椭圆 C1的一个焦点 F( 2，0)，且四边形 ABCD 的面积为16 3 ， 则椭圆 C1的离心率 e 为_ 答案 2 2 解析联立 x2 a2 y2 b21， y2 a2 x2 b21， 两式相减得x 2y2 a2 x 2y2 b2 ，又 ab， 所以 x2y2 a2b2 a2b2， 故四边形 ABCD 为正方形， 4a2b2 a2b2 16 3 ，(*) 又由题意知 a2b22，将其代入(*)式整理得 3b42b280
26、，所以 b22，则 a24， 所以椭圆 C 的离心率 e 2 2 . 10(2017湖南东部六校联考)设 P，Q 分别是圆 x2(y1)23 和椭圆x 2 4 y21 上的点，则 P，Q 两点间的最大距离是_ 答案 7 3 3 解析由圆的性质可知，P，Q 两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大 值加上圆的半径 3，设 Q(x，y)，则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为 dx2y12 3y22y53 y1 3 216 3 ， 1y1，当 y1 3时，d 取最大值 4 3 3 ， P，Q 两点间的最大距离为 dmax 37 3 3 . 11(2017陕西西北大学附中期末)已知椭圆的长轴
27、长为 10，两焦点 F1，F2的坐标分别为(3,0) 和(3,0) (1)求椭圆的标准方程； (2)若 P 为短轴的一个端点，求F1PF2的面积 解(1)设椭圆的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 依题意得 2a10， c3， 因此 a5，b4， 所以椭圆的标准方程为x 2 25 y2 161. (2)易知|yP|4，又 c3， 所以 12 F PF S1 2|y P|2c1 24612. 12已知椭圆 x2(m3)y2m(m0)的离心率 e 3 2 ，求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、 焦点坐标、顶点坐标 解椭圆方程可化为x 2 m y2 m m3 1，m0. m m m3
28、mm2 m3 0，m m m3， a2m，b2 m m3，c a 2b2 mm2 m3 . 由 e 3 2 ，得 m2 m3 3 2 ，m1. 椭圆的标准方程为 x2y 2 1 4 1， a1，b1 2，c 3 2 . 椭圆的长轴长和短轴长分别为 2a2 和 2b1，焦点坐标为 F1 3 2 ，0 ，F2 3 2 ，0 ，四 个顶点的坐标分别为 A1(1,0)，A2(1,0)，B1 0，1 2 ，B2 0，1 2 . 13已知 F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以 F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且 交椭圆于点 M，N，若过 F1的直线 MF1是圆 F2的切线，则椭圆的离心率为() A.
29、 31B2 3 C. 2 2 D. 3 2 答案A 解析过 F1的直线 MF1是圆 F2的切线， F1MF290，|MF2|c，|F1F2|2c， |MF1| 3c，由椭圆定义可得|MF1|MF2|c 3c2a， 椭圆离心率 e 2 1 3 31. 14已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率等于 1 3，其焦点分别为 A，B，C 为椭圆上异于长轴端 点的任意一点，则在ABC 中，sin Asin B sin C _. 答案3 解析在ABC 中，由正弦定理得sin Asin B sin C |CB|CA| |AB| ，因为点 C 在椭圆上，所以由椭 圆定义知|CA|CB|2a，而|
30、AB|2c， 所以sin Asin B sin C 2a 2c 1 e3. 15已知椭圆 C1：x 2 a2 y2 b21(ab0)与圆 C 2：x2y2b2，若在椭圆 C1上存在点 P，使得由 点 P 所作的圆 C2的两条切线互相垂直，则椭圆 C1的离心率的取值范围是() A. 1 2，1B. 2 2 ， 3 2 C. 2 2 ，1 D. 3 2 ，1 答案C 解析从椭圆上长轴端点 P向圆引两条切线 PA，PB，则两切线形成的APB 最小 若椭圆 C1上存在点 P，所作圆 C2的两条切线互相垂直，则只需APB90， 即APO45，sin b asin 45 2 2 . 又 b2a2c2，a2
31、2c2，e21 2，即 e 2 2 . 又 0e1， 2 2 eb0)的左、右焦点分别为 F 1，F2，过 F2的直线交椭圆于 P，Q 两 点，且 PQPF1. (1)若|PF1|2 2，|PF2|2 2，求椭圆的标准方程； (2)若|PQ|PF1|，且3 4 4 3，试确定椭圆离心率 e 的取值范围 解(1)由椭圆的定义知， 2a|PF1|PF2|(2 2)(2 2)4，故 a2. 设椭圆的半焦距为 c，由已知得 PF1PF2， 因此 2c|F1F2| |PF1|2|PF2|2 2 222 222 3， 即 c 3，从而 b a2c21. 故所求椭圆的标准方程为x 2 4 y21. (2)如
32、图， 由 PF1PQ， |PQ|PF1|， 得|QF1| |PF1|2|PQ|2 12|PF1|. 由椭圆的定义知， |PF1|PF2|2a， |QF1|QF2|2a， 所以|PF1|PQ|QF1|4a. 于是(1 12)|PF1|4a， 解得|PF1| 4a 1 12， 故|PF2|2a|PF1|2a 1 21 1 12 . 由勾股定理得 |PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)24c2， 从而 4a 1 12 2 2a 121 1 12 24c2， 两边除以 4a2，得 4 1 122 1212 1 122e 2. 若记 t1 12， 则上式变成 e24t2 2 t2 8 1 t 1 4 21 2. 由3 4 4 3及 1 1 2关于的单调性， 得 3t4，即1 4 1 t 1 3， 进而1 2e 25 9，即 2 2 e 5 3 .
