1、第第 1 讲讲平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算 一、选择题 1.已知下列各式：AB BCCA；ABMB BO OM ；OA OB BO CO ；AB ACBD CD .其中结果为零向量的个数为() A.1B.2C.3D.4 解析由题知结果为零向量的是，故选 B. 答案B 2.设 a 是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是() A.a 与a 的方向相反B.a 与2a 的方向相同 C.|a|a|D.|a|a 解析对于 A， 当0 时， a 与a 的方向相同， 当0 时， a 与a 的方向相反； B 正确；对于 C，|a|a|，由于|的大小不确定，故|a|与|a|的大小 关系不确
2、定；对于 D，|a 是向量，而|a|表示长度，两者不能比较大小. 答案B 3.如图，在正六边形 ABCDEF 中，BA CD EF ( ) A.0B.BE C.AD D.CF 解析由题图知BA CD EF BAAFCBCBBFCF. 答案D 4.设 a0为单位向量，下述命题中：若 a 为平面内的某个向量，则 a|a|a0； 若 a 与 a0平行，则 a|a|a0；若 a 与 a0平行且|a|1，则 aa0.假命题的个 数是() A.0B.1C.2D.3 解析向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0的模相同，但方向不一定相同， 故是假命题；若 a 与 a0平行，则 a 与 a0的方向有两种情
3、况：一是同向，二 是反向，反向时 a|a|a0，故也是假命题.综上所述，假命题的个数是 3. 答案D 5.设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点， O 为平行四边形 ABCD 所在平面内 任意一点，则OA OB OC OD 等于() A.OM B.2OM C.3OM D.4OM 解析OA OB OC OD (OA OC )(OB OD )2OM 2OM 4OM .故选 D. 答案D 6.在ABC 中，AB c，ACb，若点 D 满足BD 2DC ，则AD 等于() A.2 3b 1 3c B.5 3c 2 3b C.2 3b 1 3c D.1 3b 2 3c 解析BD 2DC ，AD A
4、B BD 2DC 2(AC AD )， 3AD 2AC AB，AD 2 3AC 1 3AB 2 3b 1 3c. 答案A 7.(2017温州八校检测)设 a，b 不共线，AB 2apb，BCab，CD a2b， 若 A，B，D 三点共线，则实数 p 的值为() A.2B.1C.1D.2 解析BC ab，CD a2b， BD BC CD 2ab. 又A，B，D 三点共线，AB ，BD 共线. 设AB BD ，2apb(2ab)， 22，p，1，p1. 答案B 8.如图所示，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C，D 是半圆弧的两个 三等分点，AB a，ACb，则AD () A.a1 2b B.1
5、2ab C.a1 2b D.1 2ab 解析连接 CD，由点 C，D 是半圆弧的三等分点，得 CDAB 且CD 1 2AB 1 2a， 所以AD AC CD b1 2a. 答案D 二、填空题 9.如图，点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，在分别以正六边形 的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA 相等的向量 有_个. 解析根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量OA 相等的向量有 CB ， DO ， EF ，共 3 个. 答案3 10.如图， 在平行四边形 ABCD 中， 对角线 AC 与 BD 交于点 O， AB AD AO ，则_. 解析因为 ABCD 为平行四边形，所以A
6、B AD AC 2AO ，已知AB AD AO ，故2. 答案2 11.向量 e1，e2不共线，AB 3(e1e2)，CBe2e1，CD 2e1e2，给出下列结 论：A，B，C 共线；A，B，D 共线；B，C，D 共线；A，C，D 共 线.其中所有正确结论的序号为_. 解析由AC ABCB4e12e22CD ，且AB 与CB不共线，可得 A，C，D 共 线，且 B 不在此直线上. 答案 12.已知ABC 和点 M 满足MA MB MC 0，若存在实数 m 使得AB AC m AM 成立，则 m_. 解析由已知条件得MB MC MA ，如图，延长 AM 交 BC 于 D 点，则 D 为 BC 的
7、中点. 延长 BM 交 AC 于 E 点，延长 CM 交 AB 于 F 点，同理可证 E，F 分别为 AC， AB 的中点，即 M 为ABC 的重心， AM 2 3AD 1 3(AB AC)，即ABAC3AM ，则 m3. 答案3 13.(2017延安模拟)设 e1与 e2是两个不共线向量，AB 3e12e2，CBke1e2， CD 3e12ke2，若 A，B，D 三点共线，则 k 的值为( ) A.9 4 B.4 9 C.3 8 D.不存在 解析由题意，A，B，D 三点共线，故必存在一个实数，使得AB BD . 又AB 3e12e2，CBke1e2，CD 3e12ke2， 所以BD CD C
8、B 3e12ke2(ke1e2) (3k)e1(2k1)e2， 所以 3e12e2(3k)e1(2k1)e2， 所以 3（3k） ， 2（2k1） ，解得 k 9 4. 答案A 14.已知点 O，A，B 不在同一条直线上，点 P 为该平面上一点，且 2OP 2OA BA ，则( ) A.点 P 在线段 AB 上B.点 P 在线段 AB 的反向延长线上 C.点 P 在线段 AB 的延长线上D.点 P 不在直线 AB 上 解析因为 2OP 2OA BA ， 所以 2APBA， 所以点 P 在线段 AB 的反向延长 线上，故选 B. 答案B 15.O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个
9、点，动点 P 满足：OP OA AB |AB | AC |AC | ，0，)，则 P 的轨迹一定通过ABC 的() A.外心B.内心C.重心D.垂心 解析作BAC 的平分线 AD.OP OA AB |AB | AC |AC | ， AP AB |AB | AC |AC | AD |AD | (0，)， AP |AD | AD ，AP AD . P 的轨迹一定通过ABC 的内心. 答案B 16.若点 O 是ABC 所在平面内的一点，且满足|OB OC |OB OC 2OA |， 则ABC 的形状为_. 解析OB OC 2OA (OB OA )(OC OA )AB AC，OB OC CB AB AC ，|ABAC|ABAC|. 故 A，B，C 为矩形的三个顶点，ABC 为直角三角形. 答案直角三角形
