1、第第 2 讲讲二元一次不等式二元一次不等式(组组)与简单的线性规划问题与简单的线性规划问题 一、选择题 1.(2016北京卷)若 x，y 满足 2xy0， xy3， x0， 则 2xy 的最大值为() A.0B.3C.4D.5 解析画出可行域，如图中阴影部分所示， 令 z2xy，则 y2xz，当直线 y2xz 过点 A(1，2)时，z 最大，zmax 4. 答案C 2.(2016泰安模拟)不等式组 yx2， yx1， y0 所表示的平面区域的面积为() A.1B.1 2 C.1 3 D.1 4 解析作出不等式组对应的区域为BCD，由题意知 xB 1，xC2.由 yx2， yx1， 得 yD1
2、2，所以 S BCD1 2(x C xB)1 2 1 4. 答案D 3.(2017广州二测)不等式组 xy0， xy2， x2y2 的解集记为 D，若(a，b)D，则 z 2a3b 的最小值是() A.4B.1C.1D.4 解析画出不等式组表示的平面区域， 如图中阴影部分所 示， 当 a2，b0，z2a3b 取得最小值4. 答案A 4.(2016山东卷)若变量 x，y 满足 xy2， 2x3y9， x0， 则 x2y2的最大值是() A.4B.9C.10D.12 解析作出不等式组所表示的平面区域，如图(阴影部分) 所示， x2y2表示平面区域内的点到原点的距离的平方， 由图易 知平面区域内的点
3、 A(3，1)到原点的距离最大.所以 x2 y2的最大值为 32(1)210. 答案C 5.x，y 满足约束条件 xy20， x2y20， 2xy20. 若 zyax 取得最大值的最优解不唯一， 则实数 a 的值为() A.1 2或1 B.2 或1 2 C.2 或 1D.2 或1 解析如图，由 yaxz 知 z 的几何意义是直线在 y 轴 上的截距，故当 a0 时，要使 zyax 取得最大值的最 优解不唯一，则 a2；当 a0 时，要使 zyax 取得最 大值的最优解不唯一，则 a1. 答案D 6.(2016浙江卷)在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投
4、影.由区域 x20， xy0， x3y40 中的点在直线 xy20 上的投影构成的线 段记为 AB，则|AB|() A.2 2B.4C.3 2D.6 解析由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示.因为直线 xy20 与直线 xy0 平行，所以可行域内的点在直线 xy20 上的投影构成的 线段的长|AB|即为|CD|. 易得 C(2， 2)， D(1， 1)， 所以|AB|CD| （21）2（21）23 2. 答案C 7.(2017石家庄质检)已知 x，y 满足约束条件 x1， y1， 4xy9， xy3， 若目标函数 zy mx(m0)的最大值为 1，则 m 的值是() A.20 9 B.1
5、C.2D.5 解析作出可行域，如图所示的阴影部分. 化目标函数 zymx(m0)为 ymxz，由图可知， 当直线 ymxz 过 A 点时，直线在 y 轴的截距最大， 由 x1， xy3，解得 x1， y2，即 A(1，2)，2m1，解 得 m1.故选 B. 答案B 8.(2017贵州黔东南模拟)若变量 x、y 满足约束条件 xy10， y1， x1， 则(x2)2y2 的最小值为() A.3 2 2 B. 5C.9 2 D.5 解析作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示. 设 z(x2)2y2， 则 z 的几何意义为区域内的点到定点 D(2， 0)的距离的平方， 由图知 C、D 间的距离
6、最小，此时 z 最小. 由 y1， xy10得 x0， y1，即 C(0，1)， 此时 zmin(x2)2y2415，故选 D. 答案D 二、填空题 9.设变量 x，y 满足约束条件 xy20， xy20， y1， 则目标函数 zx2y 的最小值为 _. 解析由线性约束条件画出可行域(如图所示). 由 zx2y，得 y1 2x 1 2z， 1 2z 的几何意义是直线 y 1 2x 1 2z 在 y 轴上的 截距，要使 z 最小，需使 1 2z 最小，易知当直线 y 1 2x 1 2z 过点 A(1，1)时，z 最小，最小值为 3. 答案3 10.(2017滕州模拟)已知 O 是坐标原点，点 M
7、 的坐标为(2，1)，若点 N(x，y)为 平面区域 xy2， x1 2， yx 上的一个动点，则OM ON 的最大值是_. 解析依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示， 其中 A 1 2， 1 2 ，B 1 2， 3 2 ，C(1，1). 设 zOM ON 2xy，当目标函数 z2xy 过点 C(1， 1)时，z2xy 取得最大值 3. 答案3 11.(2017衡 水中 学 月考 ) 若 直 线 y 2x 上 存在 点 (x ，y) 满 足约 束 条件 xy30， x2y30， xm， 则实数 m 的最大值为_. 解析约束条件 xy30， x2y30， xm 表示的可行域如图中阴
8、影部分所示. 当直线 xm 从如图所示的实线位置运动到过 A 点的虚线位置时，m 取最大值. 解方程组 xy30， y2x 得 A 点坐标为(1，2). m 的最大值为 1. 答案1 12.已知实数 x，y 满足 2xy0， xy0， 0 xa， 设 bx2y，若 b 的最小值为2，则 b 的 最大值为_. 解析作出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示. 作出直线 l0：x2y0，yx 2 b 2， 当 l0平移至 A 点处时 b 有最小值，bmina， 又 bmin2， a2，当 l0平移至 B(a，2a)时，b 有最大值 bmax a2(2a)5a10. 答案10 13.某公司生产甲、乙两
9、种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克；生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、B 原料 1 千克.每桶甲产品 的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元.公司在生产这两种产品的计划 中，要求每天消耗 A、B 原料都不超过 12 千克.通过合理安排生产计划，从每 天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是() A.1 800 元B.2 400 元 C.2 800 元D.3 100 元 解析设每天生产甲种产品 x 桶，乙种产品 y 桶，则根据题意得 x、y 的约束 条件为 x0，xN， y0，yN， x2y12， 2xy12. 设获利
10、 z 元，则 z300 x400y. 画出可行域如图. 画直线 l：300 x400y0，即 3x4y0. 平移直线 l，从图中可知，当直线过点 M 时， 目标函数取得最大值. 由 x2y12， 2xy12，解得 x4， y4， 即 M 的坐标为(4，4)， zmax300440042 800(元)，故选 C. 答案C 14.(2017许昌监测)设实数 x，y 满足 2xy20， xy10， x2y10， 则y1 x1的最小值是( ) A.5B.1 2 C.1 2 D.5 解析作出不等式对应的平面区域如图中阴影部分 所示，则 wy1 x1的几何意义是区域内的点 P(x，y) 与定点 A(1，1
11、)所在直线的斜率，由图象可知当 P 位 于点 1 3， 4 3 时， 直线 AP 的斜率最小， 此时 wy1 x1的 最小值为 4 31 1 31 1 2，故选 B. 答案B 15.已知变量 x，y 满足约束条件 x2y30， x3y30， y10， 若目标函数 zaxy(其中 a0) 仅在点(3，0)处取得最大值，则 a 的取值范围是_. 解析画出 x、y 满足约束条件的可行域如图所示， 要使目标函数 zaxy 仅在点(3，0)处取得最大值，则 直线 yaxz 的斜率应小于直线 x2y30 的斜 率， 即a 1 2. 答案 1 2， 16.(2015浙江卷)若实数 x， y 满足 x2y21， 则|2xy4|6x3y|的最大值 是_. 解析x2y21，2xy40，6x3y0，|2x y4|6x3y|42xy6x3y103x4y. 令 z103x4y， 如图，设 OA 与直线3x4y0 垂直；直线 OA 的方程 为 y4 3x，联立 y4 3x， x2y21， 得 A 3 5， 4 5 ， 当 z103x4y 过点 A 时，z 取最大值， zmax103 3 5 4 4 5 15. 答案15
