1、第第 1 讲讲导数的概念及运算导数的概念及运算 一、选择题 1.设曲线 yeaxln(x1)在 x0 处的切线方程为 2xy10，则 a() A.0B.1C.2D.3 解析yeaxln(x1)，yaeax 1 x1，当 x0 时，ya1.曲 线 yeaxln(x1)在 x0 处的切线方程为 2xy10，a12，即 a3. 故选 D. 答案D 2.若 f(x)2xf(1)x2，则 f(0)等于() A.2B.0C.2D.4 解析f(x)2f(1)2x，令 x1，得 f(1)2， f(0)2f(1)4. 答案D 3.(2017西安质测)曲线 f(x)x3x3 在点 P 处的切线平行于直线 y2x1
2、， 则 P 点的坐标为() A.(1，3)B.(1，3) C.(1，3)和(1，3)D.(1，3) 解析f(x)3x21，令 f(x)2，则 3x212，解得 x1 或 x1，P(1， 3)或(1，3)，经检验，点(1，3)，(1，3)均不在直线 y2x1 上，故选 C. 答案C 4.(2017石家庄调研)已知曲线 yln x 的切线过原点，则此切线的斜率为() A.eB.e C.1 e D.1 e 解析yln x 的定义域为(0，)，且 y1 x，设切点为(x 0，ln x0)，则 y|x x0 1 x0，切线方程为 yln x 0 1 x0(xx 0)，因为切线过点(0，0)，所以ln x
3、0 1，解得 x0e，故此切线的斜率为1 e. 答案C 5.(2016郑州质检)已知 yf(x)是可导函数，如图，直线 ykx2 是曲线 yf(x) 在 x3 处的切线，令 g(x)xf(x)，g(x)是 g(x)的导函数，则 g(3)() A.1B.0C.2D.4 解析由题图可知曲线 yf(x)在 x3 处切线的斜率等于1 3，f(3) 1 3， g(x)xf(x)， g(x)f(x)xf(x)， g(3)f(3)3f(3)， 又由题图可知 f(3) 1，所以 g(3)13 1 3 0. 答案B 二、填空题 6.(2015天津卷)已知函数 f(x)axln x，x(0，)，其中 a 为实数，
4、f(x)为 f(x)的导函数，若 f(1)3，则 a 的值为_. 解析f(x)a ln xx1 x a(1ln x)，由于 f(1)a(1ln 1)a，又 f(1)3， 所以 a3. 答案3 7.(2016全国卷)已知 f(x)为偶函数，当 x0 时，f(x)ln(x)3x，则曲线 y f(x)在点(1，3)处的切线方程是_. 解析设 x0，则x0，f(x)ln x3x，又 f(x)为偶函数，f(x)ln x3x， f(x)1 x3，f(1)2，切线方程为 y2x1. 答案2xy10 8.(2015陕西卷)设曲线 yex在点(0，1)处的切线与曲线 y1 x(x0)上点 P 处的 切线垂直，则
5、 P 的坐标为_. 解析yex，曲线 yex在点(0，1) 处的切线的斜率 k1e01，设 P(m，n)， y1 x(x0)的导数为 y 1 x2(x0)，曲线 y 1 x(x0)在点 P 处的切线斜率 k 2 1 m2(m0)，因为两切线垂直，所以 k 1k21，所以 m1，n1，则点 P 的 坐标为(1，1). 答案(1，1) 三、解答题 9.(2017长沙调研)已知点 M 是曲线 y1 3x 32x23x1 上任意一点，曲线在 M 处的切线为 l，求： (1)斜率最小的切线方程； (2)切线 l 的倾斜角的取值范围. 解(1)yx24x3(x2)211， 当 x2 时，y1，y5 3，
6、斜率最小的切线过点 2，5 3 ，斜率 k1， 切线方程为 3x3y110. (2)由(1)得 k1，tan1， 又0，)， 0， 2 3 4 ， . 故的取值范围为 0， 2 3 4 ， . 10.已知曲线 y1 3x 34 3. (1)求曲线在点 P(2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点 P(2，4)的切线方程. 解(1)P(2，4)在曲线 y1 3x 34 3上，且 yx 2， 在点 P(2，4)处的切线的斜率为 y|x24. 曲线在点 P(2，4)处的切线方程为 y44(x2)， 即 4xy40. (2)设曲线 y1 3x 34 3与过点 P(2，4)的切线相切于点 A x0，1
7、3x 3 04 3 ，则切线的 斜率为 y|xx0 x20. 切线方程为 y 1 3x 3 04 3 x20(xx0)，即 yx2 0 x2 3x 3 04 3.点 P(2，4)在切 线上，42x202 3x 3 04 3，即 x 3 03x2040，x30 x204x2040， x20(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得 x01 或 x02， 故所求的切线方程为 xy20 或 4xy40. 11.已知 f1(x)sin xcos x，fn1(x)是 fn(x)的导函数，即 f2(x)f1(x)，f3(x) f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，则 f2 0
8、17(x)等于() A.sin xcos xB.sin xcos x C.sin xcos xD.sin xcos x 解析f1(x)sin xcos x， f2(x)f1(x)cos xsin x， f3(x)f2(x)sin xcos x， f4(x)f3(x)cos xsin x， f5(x)f4(x)sin xcos x， fn(x)是以 4 为周期的函数， f2 017(x)f1(x)sin xcos x，故选 D. 答案D 12.已知函数 f(x)g(x)x2，曲线 yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为 y2x 1，则曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为() A
9、.4B.1 4 C.2D.1 2 解析f(x)g(x)2x.yg(x)在点(1， g(1)处的切线方程为 y2x1，g (1)2，f(1)g(1)21224， 曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为 4. 答案A 13.(2016全国卷)若直线 ykxb 是曲线yln x2的切线， 也是曲线yln(x 1)的切线，则 b_. 解析yln x2 的切线为：y1 x1xln x 11(设切点横坐标为 x1). yln(x1)的切线为：y 1 x21xln(x 21) x2 x21(设切点横坐标为 x 2). 1 x1 1 x21， ln x11ln（x21） x2 x21， 解得 x1
10、1 2，x 21 2，bln x 111ln 2. 答案1ln 2 14.设函数 f(x)axb x，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 7x4y12 0. (1)求 f(x)的解析式； (2)曲线 f(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形面积为 定值，并求此定值. 解(1)方程 7x4y120 可化为 y7 4x3， 当 x2 时，y1 2.又 f(x)a b x2，于是 2ab 2 1 2， ab 4 7 4， 解得 a1， b3. 故 f(x)x3 x. (2)设 P(x0，y0)为曲线上任一点， 由 y1 3 x2知曲线在点 P(x 0，y0)处的切线方程为 yy0 13 x20(xx0)，即 y x03 x0 13 x20(xx0).令 x0，得 y 6 x0，从而得切线与直线 x0 的交 点坐标为 0，6 x0.令 yx， 得 yx2x0， 从而得切线与直线 yx 的交点坐标 为(2x0，2x0). 所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形的面积为 S 1 2| 6 x0|2x0|6. 故曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形面积为定 值，且此定值为 6.
