1、14.1坐标系与参数方程坐标系与参数方程 第第 1 课时课时坐标系坐标系 最新考纲考情考向分析 1.了解坐标系的作用， 了解在平面直角坐标系 伸缩变换作用下平面图形的变化情况 2.了解极坐标的基本概念， 会在极坐标系中用 极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角 坐标的互化 3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐 标方程. 会求伸缩变换，求点的极坐标和应用直线、 圆的极坐标方程是重点，主要与参数方程相 结合进行考查，以解答题的形式考查，难度 中档. 1平面直角坐标系 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换： xx，0， yy，0 的作用下，点 P(x，y)对应到点 P(x，y)
2、，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换 2极坐标系 (1)极坐标与极坐标系的概念 在平面内取一个定点 O，自点 O 引一条射线 Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方 向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系点 O 称为极点，射线 Ox 称为极轴平 面内任一点 M 的位置可以由线段 OM 的长度和从射线 Ox 到射线 OM 的角度来刻画(如图所 示)这两个数组成的有序数对(，)称为点 M 的极坐标称为点 M 的极径，称为点 M 的 极角一般认为0.当极角的取值范围是0,2)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(， )(0)建立一一对应的关系我们设定，极点的极坐标中，极径
3、0，极角可取任意角 (2)极坐标与直角坐标的互化 设 M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(，)由图可知下面关系式成立： xcos ， ysin 或 2x2y2， tan y xx0 ，这就是极坐标与直角坐标的互化公式 3常见曲线的极坐标方程 曲线图形极坐标方程 圆心在极点，半径为 r 的圆r(02) 圆心为(r,0)，半径为 r 的圆 2rcos_ 2 2 圆心为 r， 2 ，半径为 r 的圆 2rsin_(0) 过极点，倾斜角为的直线 (R) 或 (R) 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 cos a 2 2 过点 a， 2 ，与极轴平行的直线 sin_a(0) 题组一思考
4、辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应 关系() (2)若点 P 的直角坐标为(1， 3)，则点 P 的一个极坐标是 2， 3 .() (3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的() (4)极坐标方程(0)表示的曲线是一条直线() 题组二教材改编 2P15T3若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段 y1 x(0 x1)的极坐标方程为() A 1 cos sin ，0 2 B 1 cos sin ，0 4 Ccos sin ，0 2 Dcos sin ，0 4
5、答案A 解析y1x(0 x1)， sin 1cos (0cos 1)； 1 sin cos 0 2 . 3P15T4在极坐标系中，圆2sin 的圆心的极坐标是() A. 1， 2B. 1， 2 C(1,0)D(1，) 答案B 解析方法一由2sin ，得22sin ，化成直角坐标方程为 x2y22y，化成标 准方程为 x2(y1)21，圆心坐标为(0，1)，其对应的极坐标为 1， 2 . 方法二由2sin 2cos 2 ，知圆心的极坐标为 1， 2 ，故选 B. 题组三易错自纠 4在极坐标系中，已知点 P 2， 6 ，则过点 P 且平行于极轴的直线方程是() Asin 1Bsin 3 Ccos
6、1Dcos 3 答案A 解析先将极坐标化成直角坐标表示，P 2， 6 转化为直角坐标为 xcos 2cos 6 3，y sin 2sin 61，即( 3，1)，过点( 3，1)且平行于 x 轴的直线为 y1，再化为极坐标为 sin 1. 5在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系若曲线 C 的极坐标方程为2sin ，则曲线 C 的直角坐标方程为_ 答案x2y22y0 解析由2sin ，得22sin ，所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2y22y0. 6在极坐标系下，若点 P(，)的一个极坐标为 4，2 3 ，求以 2， 2 为坐标的不同的点的极 坐标 解 4
7、，2 3 为点 P(，)的一个极坐标， 4 或4. 当4 时，2k2 3 (kZ)， 22， 2k 3(kZ) 当4 时，2k5 3 (kZ)， 22， 2k 5 6 (kZ) 2， 2 有四个不同的点： P1 2，2k 3 (kZ)，P2 2，2k4 3 (kZ)， P3 2，2k5 6 (kZ)，P4 2，2k11 6(kZ). 题型一题型一极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标的互化 1(2016北京改编)在极坐标系中，已知曲线 C1：cos 3sin 10，C2：2cos . (1)求曲线 C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状； (2)若曲线 C1，C2交于 A，B 两点，求两
8、交点间的距离 解(1)C1：cos 3sin 10， x 3y10，表示一条直线 由 C2：2cos ，得22cos ， x2y22x，即(x1)2y21. C2是圆心为(1,0)，半径为 1 的圆 (2)由(1)知，点(1,0)在直线 x 3y10 上， 直线 C1过圆 C2的圆心 因此两交点 A，B 的连线是圆 C2的直径 两交点 A，B 间的距离|AB|2r2. 2在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 x 2cos ， ysin (其中为参数)，曲线 C2： x2y22y0，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线 l：(0)与 曲线 C1，C2分别交于点
9、A，B(均异于原点 O) (1)求曲线 C1，C2的极坐标方程； (2)当 0 2时，求|OA| 2|OB|2的取值范围 解(1) x 2cos ， ysin ， x 2 2 y21，由 xcos ， ysin ， 得曲线 C1的极坐标方程为21 2 1sin2； x2y22y0， 曲线 C2的极坐标方程为22sin . (2)由(1)得|OA|221 2 1sin2， |OB|2224sin2， |OA|2|OB|2 2 1sin24sin 2 2 1sin24(1sin 2)4， 0 2，11sin 22， 6 2 1sin24(1sin 2)0)， 点 M 的极坐标为(1， )(10)
10、由题意知|OP|， |OM| 1 4 cos . 由|OM|OP|16，得 C2的极坐标方程4cos (0) 因此 C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0) (2)设点 B 的极坐标为(B，)(B0) 由题设知|OA|2，B4cos ， 于是OAB 的面积 S1 2|OA| BsinAOB 4cos |sin 3 | 2|sin 2 3 3 2|2 3. 当 12时，S 取得最大值 2 3. 所以OAB 面积的最大值为 2 3. 思维升华 极坐标应用中的注意事项 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：极点与原点重合；极轴与 x 轴正半轴重合；取 相同的长度单位 (2)若把直角坐标化为极坐标
11、求极角时，应注意判断点 P 所在的象限(即角的终边的位置)， 以便正确地求出角.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题 (3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定取正值，0,2)，平面 上的点(除去极点)与极坐标(，)(0)建立一一对应关系 跟踪训练 (2017广州调研)在极坐标系中，求直线sin 4 2 被圆4 截得的弦长 解由sin 4 2，得 2 2 (sin cos )2，可化为 xy2 20.圆4 可化为 x2y2 16， 圆心(0,0)到直线 xy2 20 的距离 d|2 2| 2 2， 由圆中的弦长公式，得弦长 l2 r2d22 42224 3.
12、 故所求弦长为 4 3. 1(2018武汉模拟)在极坐标系下，已知圆 O：cos sin 和直线 l：sin 4 2 2 . (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程； (2)当(0，)时，求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标 解(1)圆 O：cos sin ， 即2cos sin ， 圆 O 的直角坐标方程为 x2y2xy， 即 x2y2xy0， 直线 l：sin 4 2 2 ， 即sin cos 1， 则直线 l 的直角坐标方程为 yx1， 即 xy10. (2)由 x2y2xy0， xy10， 得 x0， y1， 故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为 1， 2 . 2已知曲线
13、 C1的参数方程为 x45cos t， y55sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为2sin . (1)求 C1的极坐标方程，C2的直角坐标方程； (2)求 C1与 C2交点的极坐标(其中0,02) 解(1)将 x45cos t， y55sin t 消去参数 t， 化为普通方程为(x4)2(y5)225， 即 C1：x2y28x10y160. 将 xcos ， ysin 代入 x2y28x10y160， 得28cos 10sin 160. 所以 C1的极坐标方程为 28cos 10sin 160. 因为曲线 C2的极坐标方程为2
14、sin ， 变为22sin ，化为直角坐标方程为 x2y22y， 即 x2y22y0. (2)因为 C1的普通方程为 x2y28x10y160， C2的普通方程为 x2y22y0， 由 x2y28x10y160， x2y22y0， 解得 x1， y1 或 x0， y2. 所以 C1与 C2交点的极坐标分别为 2， 4 ， 2， 2 . 3(2017贵阳调研)在以直角坐标系中的原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已 知曲线的极坐标方程为 2 1sin . (1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)过极点 O 作直线 l 交曲线于点 P，Q，若|OP|3|OQ|，求直线 l
15、的极坐标方程 解(1) x2y2，sin y， 2 1sin 化为sin 2， 曲线的直角坐标方程为 x24y4. (2)设直线 l 的极坐标方程为0(R)， 根据题意 2 1sin 03 2 1sin0， 解得0 6或 05 6 ， 直线 l 的极坐标方程为 6(R)或 5 6 (R) 4(2017东北三校二模)已知点 P 的直角坐标是(x，y)以平面直角坐标系的原点为极坐标的 极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系设点 P 的极坐标是(，)，点 Q 的极坐标是(， 0)，其中0是常数设点 Q 的直角坐标是(m，n) (1)用 x，y，0表示 m，n； (2)若 m，n 满足 mn1，且0
16、 4，求点 P 的直角坐标(x，y)满足的方程 解(1)由题意知 xcos ， ysin ， 且 mcos0， nsin0， 所以 mcos cos 0sin sin 0， nsin cos 0cos sin 0， 即 mxcos 0ysin 0， nxsin 0ycos 0. (2)由(1)可知 m 2 2 x 2 2 y， n 2 2 x 2 2 y， 又 mn1， 所以 2 2 x 2 2 y 2 2 x 2 2 y 1. 整理得x 2 2 y 2 2 1. 所以x 2 2 y 2 2 1 即为所求方程 5以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的方程为sin 2
17、3 3， C 的极坐标方程为4cos 2sin . (1)求直线 l 和C 的直角坐标方程； (2)若直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，求弦 AB 的长 解(1)直线 l：sin 2 3 3， sin cos 2 3 cos sin 2 3 3， y 1 2 x 3 2 3，即 y 3x2 3. C：4cos 2sin ，24cos 2sin ， x2y24x2y，即 x2y24x2y0. (2)C：x2y24x2y0，即(x2)2(y1)25. 圆心 C(2,1)，半径 R 5， C 的圆心 C 到直线 l 的距离 d|12 32 3| 3212 1 2， |AB|2 R2d225 1
18、 2 2 19. 弦 AB 的长为 19. 6(2017贵阳质检)在极坐标系中，曲线 C 的方程为2 3 12sin2，点 R 2 2， 4 . (1)以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线 C 的极坐标方程化为 直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标； (2)设 P 为曲线 C 上一动点，以 PR 为对角线的矩形 PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形 PQRS 周长的最小值，及此时 P 点的直角坐标 解(1)xcos ，ysin ， 曲线 C 的直角坐标方程为x 2 3 y21， 点 R 的直角坐标为 R(2,2) (2)设 P( 3cos ，sin )， 根据题意
19、可得|PQ|2 3cos ，|QR|2sin ， |PQ|QR|42sin 3 ， 当 6时，|PQ|QR|取最小值 2， 矩形 PQRS 周长的最小值为 4， 此时点 P 的直角坐标为 3 2， 1 2 . 7在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1： 24cos 30，0,2，曲线 C2： 3 4sin 6 ，0,2 (1)求曲线 C1的一个参数方程； (2)若曲线 C1和曲线 C2相交于 A，B 两点，求|AB|的值 解(1)由24cos 30， 可得 x2y24x30. (x2)2y21. 令 x2cos ，ysin ， C1的一个参
20、数方程为 x2cos ， ysin (为参数，R) (2)C2：4 sin 6cos cos 6sin 3， 4 1 2x 3 2 y 3，即 2x2 3y30. 直线 2x2 3y30 与圆(x2)2y21 相交于 A，B 两点，且圆心到直线的距离 d1 4， |AB|21 1 4 22 15 4 15 2 . 8已知曲线 C 的参数方程为 x2 5cos ， y1 5sin (为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求曲线 C 的极坐标方程； (2)若直线 l 的极坐标方程为(sin cos )1，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长 解(1)曲线 C 的
21、参数方程为 x2 5cos ， y1 5sin (为参数)， 曲线 C 的普通方程为(x2)2(y1)25. 将 xcos ， ysin 代入并化简得4cos 2sin ， 即曲线 C 的极坐标方程为4cos 2sin . (2)l 的直角坐标方程为 xy10， 圆心 C(2,1)到直线 l 的距离 d 2 2 2， 弦长为 2 522 3. 9(2017哈尔滨二模)在平面直角坐标系中，曲线 C1的参数方程为 x2cos ， ysin (为参数)， 以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2是圆心在极轴上且经过极点的 圆，射线 3与曲线 C 2交于点 D 2， 3 . (
22、1)求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程； (2)已知极坐标系中两点 A(1，0)，B 2，0 2 ，若 A，B 都在曲线 C1上，求 1 21 1 22的值 解(1)C1的参数方程为 x2cos ， ysin ， C1的普通方程为x 2 4 y21. 由题意知曲线 C2的极坐标方程为2acos (a 为半径)， 将 D 2， 3 代入，得 22a1 2，a2， 圆 C2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为 2， C2的直角坐标方程为(x2)2y24. (2)曲线 C1的极坐标方程为 2cos2 4 2sin21， 即2 4 4sin2cos2. 21 4 4sin20cos20，
23、 22 4 4sin2 0 2 cos2 0 2 4 sin204cos20. 1 21 1 22 4sin20cos20 4 4cos 20sin20 4 5 4. 10在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C 的极坐标 方程为cos 3 1，M，N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点 (1)写出 C 的直角坐标方程，并求 M，N 的极坐标； (2)设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程 解(1)由cos 3 1， 得 1 2cos 3 2 sin 1. 从而 C 的直角坐标方程为 1 2x 3 2 y1， 即 x 3y20. 当0 时，2，所以 M(2,0) 当 2时， 2 3 3 ， 所以 N 2 3 3 ， 2 . (2)M 点的直角坐标为(2,0)， N 点的直角坐标为 0，2 3 3， 所以 P 点的直角坐标为 1， 3 3 ， 则 P 点的极坐标为 2 3 3 ， 6 ， 所以直线 OP 的极坐标方程为 6(R)
