1、第第 1 讲讲数列的概念及简单表示法数列的概念及简单表示法 一、选择题 1.数列 0，1，0，1，0，1，0，1，的一个通项公式是 an等于() A.（1） n1 2 B.cos n 2 C.cos n1 2 D.cos n2 2 解析令 n1，2，3，逐一验证四个选项，易得 D 正确. 答案D 2.数列2 3， 4 5， 6 7， 8 9，的第 10 项是( ) A.16 17 B.18 19 C.20 21 D.22 23 解析所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一 部分进行分解：符号、分母、分子.很容易归纳出数列an的通项公式 an( 1)n 12n 2n1，故
2、a 1020 21. 答案C 3.(2017保定调研)在数列an中，已知 a11，an12an1，则其通项公式 an () A.2n1B.2n 11 C.2n1D.2(n1) 解析法一由 an12an1，可求 a23，a37，a415，验证可知 an 2n1. 法二由题意知 an112(an1)，数列an1是以 2 为首项，2 为公比的 等比数列，an12n，an2n1. 答案A 4.数列an的前 n 项积为 n2，那么当 n2 时，an等于() A.2n1B.n2 C.（n1） 2 n2 D. n2 （n1）2 解析设数列an的前 n 项积为 Tn，则 Tnn2， 当 n2 时，an Tn
3、Tn1 n2 （n1）2. 答案D 5.数列an满足 an1an2n3，若 a12，则 a8a4() A.7B.6C.5D.4 解析依题意得(an2an1)(an1an)2(n1)3(2n3)，即 an2an 2，所以 a8a4(a8a6)(a6a4)224. 答案D 二、填空题 6.若数列an满足关系 an11 1 an，a 834 21，则 a 5_. 解析借助递推关系，则 a8递推依次得到 a721 13，a 613 8 ，a58 5. 答案 8 5 7.已知数列an的前 n 项和 Snn22n1(nN*)，则 an_. 解析当 n2 时，anSnSn12n1， 当 n1 时，a1S14
4、211， 因此 an 4，n1， 2n1，n2. 答案 4，n1， 2n1，n2 8.(2017北京海淀期末)已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 an0(nN*)，又 anan 1Sn，则 a3a1_. 解析因为 anan1Sn， 所以令 n1 得 a1a2S1a1，即 a21， 令 n2，得 a2a3S2a1a2，即 a31a1，所以 a3a11. 答案1 三、解答题 9.数列an的通项公式是 ann27n6. (1)这个数列的第 4 项是多少？ (2)150 是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解(1)当 n4 时，a442476
5、6. (2)令 an150，即 n27n6150，解得 n16 或 n9(舍去)，即 150 是这 个数列的第 16 项. (3)令 ann27n60，解得 n6 或 n1(舍). 从第 7 项起各项都是正数. 10.已知数列an中，a11，前 n 项和 Snn2 3 an. (1)求 a2，a3； (2)求an的通项公式. 解(1)由 S24 3a 2得 3(a1a2)4a2， 解得 a23a13. 由 S35 3a 3得 3(a1a2a3)5a3， 解得 a33 2(a 1a2)6. (2)由题设知 a11. 当 n2 时，有 anSnSn1n2 3 ann1 3 an1， 整理得 ann
6、1 n1a n1. 于是 a11， a23 1a 1， a34 2a 2， an1 n n2a n2， ann1 n1a n1. 将以上 n 个等式两端分别相乘， 整理得 ann（n1） 2 . 显然，当 n1 时也满足上式. 综上可知，an的通项公式 ann（n1） 2 . 11.设 an3n215n18，则数列an中的最大项的值是() A.16 3 B.13 3 C.4D.0 解析an3 n5 2 2 3 4，由二次函数性质，得当 n2 或 3 时，a n最大， 最大为 0. 答案D 12.(2017石家庄质检)已知数列an满足 an2an1an，且 a12，a23，则 a2 016的值为
7、_. 解析由题意得，a3a2a11，a4a3a22，a5a4a33，a6a5 a41，a7a6a52，数列an是周期为 6 的周期数列，而 2 016 6336，a2 016a61. 答案1 13.(2017太原模拟)已知数列an满足 a11，anan1nanan1(nN*)，则 an _. 解析由 anan1nanan1得 1 an1 1 ann， 则由累加法得 1 an 1 a112(n 1)n 2n 2 ，又因为 a11，所以 1 an n2n 2 1n 2n2 2 ，所以 an 2 n2n2. 答案 2 n2n2 14.(2017开封模拟)已知数列an中，an1 1 a2（n1）(nN
8、 *，aR 且 a0). (1)若 a7，求数列an中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的 nN*，都有 ana6成立，求 a 的取值范围. 解(1)an1 1 a2（n1）(nN *，aR，且 a0)， 又 a7，an1 1 2n9(nN *). 结合函数 f(x)1 1 2x9的单调性， 可知 1a1a2a3a4， a5a6a7an1(nN*). 数列an中的最大项为 a52，最小项为 a40. (2)an1 1 a2（n1）1 1 2 n2a 2 ， 已知对任意的 nN*，都有 ana6成立， 结合函数 f(x)1 1 2 x2a 2 的单调性， 可知 52a 2 6，即10a8. 即 a 的取值范围是(10，8).
