1、第第 5 讲讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式 一、选择题 1.(2015全国卷)sin 20cos 10cos 160sin 10() A. 3 2 B. 3 2 C.1 2 D.1 2 解析sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin 301 2. 答案D 2.(1tan 17)(1tan 28)的值是() A.1B.0C.1D.2 解析原式1tan 17tan 28tan 17tan 28 1tan 45(1tan 17tan 28)tan 17tan 28 112. 答案D 3.(2017西安二
2、检)已知是第二象限角，且 tan1 3，则 sin 2( ) A.3 10 10 B.3 10 10 C.3 5 D.3 5 解析因为是第二象限角，且 tan1 3， 所以 sin 10 10 ，cos3 10 10 ， 所以 sin 22sincos 2 10 10 3 10 103 5，故选 C. 答案C 4.(2017河南六市联考)设 a1 2 cos 2 3 2 sin 2，b 2tan 14 1tan214 ，c 1cos 50 2 ，则有() A.acbB.abc C.bcaD.cab 解析由题意可知，asin 28，btan 28，csin 25， cab. 答案D 5.(201
3、6肇庆三模)已知 sin3 5且为第二象限角，则 tan 2 4 () A.19 5 B. 5 19 C.31 17 D.17 31 解析由题意得 cos4 5，则 sin 2 24 25， cos 22cos21 7 25. tan 224 7 ，tan 2 4 tan 2tan 4 1tan 2tan 4 24 7 1 1 24 7 1 17 31. 答案D 二、填空题 6.(2016石家庄模拟)若 cos 3 1 3，则 sin 2 6 的值是_. 解析sin 2 6 sin 2 3 2 cos 2 3 2cos2 3 121 91 7 9. 答案7 9 7.(2017南昌一中月考)已知
4、 4 ，3 4， 0， 4 ，且 cos 4 3 5， sin 5 412 13，则 cos()_. 解析 4 ，3 4，cos 4 3 5， sin 4 4 5， sin 5 412 13，sin 4 12 13， 又 0， 4 ，cos 4 5 13， cos()cos 4 4 3 5 5 13 4 5 12 13 33 65. 答案33 65 8.已知 0， 2 ，且 sin 4 2 10，则 tan 2_. 解析sin 4 2 10，得 sin cos1 5， 0， 2 ， 平方得 2sincos24 25， 可求得 sin cos7 5， sin 4 5，cos 3 5，tan 4
5、3，tan 2 2tan 1tan2 24 7 . 答案24 7 三、解答题 9.(2017淮海中学模拟)已知向量 a(cos，sin)，b(2，1). (1)若 ab，求sin cos sincos的值； (2)若|ab|2， 0， 2 ，求 sin 4 的值. 解(1)由 ab 可知，ab2cossin0， 所以 sin2cos， 所以sin cos sincos 2coscos 2coscos 1 3. (2)由 ab(cos2，sin1)可得， |ab| （cos2）2（sin1）2 64cos2sin2， 即 12cossin0. 又 cos2sin21，且 0， 2 ， 所以 si
6、n3 5，cos 4 5. 所以 sin 4 2 2 (sincos) 2 2 3 5 4 5 7 2 10 . 10.设 cos 5 5 ，tan 1 3， 3 2 ，0 2 ，求的值. 解法一由 cos 5 5 ，3 2 ，得 sin2 5 5 ，tan2，又 tan1 3， 于是 tan() tantan 1tantan 21 3 121 3 1. 又由3 2 ， 0 2 可得 2 0， 2 3 2 ， 因此，5 4 . 法二由 cos 5 5 ，3 2 得 sin2 5 5 . 由 tan1 3，0 2 得 sin 1 10，cos 3 10. 所以 sin()sincoscossin
7、 2 5 5 3 10 5 5 1 10 2 2 . 又由3 2 ， 0 2 可得 2 0， 2 3 2 ， 因此，5 4 . 11.(2016云南统一检测)cos 9 cos2 9 cos 23 9() A.1 8 B. 1 16 C. 1 16 D.1 8 解析cos 9 cos2 9 cos 23 9 cos 20 cos 40 cos 100cos 20 cos 40cos 80sin 20cos 20cos 40cos 80 sin 20 1 2sin 40cos 40cos 80 sin 20 1 4sin 80cos 80 sin 20 1 8sin 160 sin 20 1 8
8、sin 20 sin 20 1 8. 答案A 12.(2017武汉调研)设，0，且满足 sincoscossin1， 则 sin(2)sin(2)的取值范围为() A. 2，1B.1， 2 C.1，1D.1， 2 解析sincoscossin1，sin()1， ，0， 2 ，由 0， 0 2 2 ， sin(2)sin(2)sin 2 2 sin(2)cossin 2sin 4 ， 2 ， 3 4 4 5 4， 1 2sin 4 1，即所求的取值范围是1，1，故选 C. 答案C 13.已知 cos4sin42 3，且 0， 2 ，则 cos 2 3 _. 解析cos4sin4(sin2cos2
9、)(cos2sin2)cos 22 3，又 0， 2 ，2(0，)，sin 2 1cos22 5 3 ， cos 2 3 1 2cos 2 3 2 sin 21 2 2 3 3 2 5 3 2 15 6 . 答案 2 15 6 14.(2016西安模拟)如图， 现要在一块半径为 1 m，圆心角为 3 的扇形白铁片 AOB 上剪出一个平行四边形 MNPQ，使点 P 在弧 AB 上，点 Q 在 OA 上，点 M，N 在 OB 上， 设BOP，平行四边形 MNPQ 的面积为 S. (1)求 S 关于的函数关系式. (2)求 S 的最大值及相应的角. 解(1)分别过 P，Q 作 PDOB 于 D，QEOB 于 E，则四 边形 QEDP 为矩形. 由扇形半径为 1 m， 得 PDsin， ODcos.在 RtOEQ 中，OE 3 3 QE 3 3 PD，MNQPDEODOEcos 3 3 sin， SMNPD cos 3 3 sin sinsincos 3 3 sin2 ， 0， 3 . (2)由(1)得 S1 2sin 2 3 6 (1cos 2) 1 2sin 2 3 6 cos 2 3 6 3 3 sin 2 6 3 6 ， 因为 0， 3 ，所以 2 6 6 ，5 6，sin 2 6 1 2，1. 当 6 时，Smax 3 6 (m2).
