1、习题课指数型函数、对数型函数的性质的综合 第四章指数函数与对数函数 1.会求指数型函数、对数型函数的单调性、值域等问题. 2掌握判断指数型函数、对数型函数单调性的方法. 学 习 目 标 随堂演练课时对点练 一、指数型函数的单调性问题 二、对数型函数的单调性问题 三、函数的综合应用 内容索引 一、指数型函数的单调性问题 例1(1)函数 的单调递减区间是 A.(，) B.(，0) C.(0，) D.(，0)和(0，) 1 =3xy 且y3u在(，0)和(0，)上是增函数， 所以函数 的单调递减区间是(，0)和(0，). 1 =3xy (2)判断函数f(x) 的单调性，并求其值域. 2 2 1 3
2、xx - 解令ux22x， 易知ux22x(x1)21在(，1上单调递减，在1，)上单调 递增， 所以f(x) 在(，1上单调递增，在1，)上单调递减. 2 2 1 3 xx - 因为ux22x(x1)211， 所以函数f(x)的值域为(0,3. 解函数 的定义域是R. 令ux22x，则y2u. 当x(，1时，函数ux22x单调递增， 当x1，)时，函数ux22x单调递减， 又函数y2u在R上是增函数， 所以函数 在(，1上单调递增，在1，)上单调递减， 综上，函数 的单调递减区间是1，)，单调递增区间是(，1. 延伸探究 1.把本例的函数改为“f(x) ”，求其单调区间. 2 2 2 xx
3、2 2 2 xx y 2 2 2 xx y 2 2 2 xx y 解函数y4x2x13的定义域为R，设t2x，则t0. 因为y4x2x13(2x)222x3t22t3(t1)244， 所以函数y4x2x13的值域为4，). 因为yt22t3在(，1上单调递减，此时由t1得x0. 又指数函数t2x在(，0上单调递增， 所以函数y4x2x13的单调递减区间为(，0. 同理，因为yt22t3在1，)上单调递增，此时由t1得x0. 又指数函数t2x在0，)上单调递增， 所以函数y4x2x13的单调递增区间为0，). 2.若把本例改为y4x2x13.求函数的值域和单调区间. 反思感悟(1)求指数型函数的
4、单调区间，首先求出函数的定义域，然 后把函数分解成yf(u)，u(x)，通过考察f(u)和(x)的单调性，利用 同增异减原则，求出yf(x)的单调性. (2)关于指数型函数yaf(x)(a0，且a1)的单调性由两点决定，一是底 数a1还是0a1；二是f(x)的单调性，它由两个函数yau，uf(x)复 合而成. 跟踪训练1函数 的单调递减区间为 2 2 1 2 x y - 欲求函数 的单调递减区间， 只需求函数ux22的单调递增区间， 而函数ux22的单调递增区间为0，)， 故所求单调递减区间为0，). 2 2 1 2 x y - 二、对数型函数的单调性问题 例2求函数 的单调区间. 2 1 2
5、 log35yxx- 解由于方程x23x50的判别式(3)245110恒成立，即函数的定义域为R. 1 2 logyu 又 为减函数， 2 1 2 log35yxx- 2 1 2 log35yxx- 解令tlog0.4x，则它在(0，)上单调递减. yt22t2(t1)21在1，)上单调递增， 在(，1上单调递减. 由tlog0.4x1得0 x0.4； 由tlog0.4x0.4， 故所求函数的单调递增区间为(0.4，)，单调递减区间为(0,0.4. 反思感悟函数单调性的判定方法与策略 (1)定义法：一般步骤：设元作差变形判断符号得出结论； (2)图象法：如果函数f(x)是以图象形式给出或函数f
6、(x)的图象易作出，结 合图象可求得函数的单调区间； (3)yf(g(x)型函数：先将函数yf(g(x)分解为yf(t)和tg(x)，再讨论 这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判定. 解由题意知1x20，1x0，3x11. ylog2x在(0，)上单调递增， log2(3x1)log210， f(x)的值域为(0，). 跟踪训练3求下列函数的值域： (1)f(x)log2(3x1)； 又1x4，0log2x2， 3 2 2 =2 2x 当log2x0，即x1时，f(x)取得最大值为2， 1.知识清单： (1)指数型函数的单调性. (2)求对数型函数的单调性及值域问题.
7、(3)指数型或对数型函数的综合应用. 2.方法归纳：换元法. 3.常见误区：求对数型函数的单调性易忽视定义域. 课堂小结 随堂演练 A.(，) B.(0，)C.(1，) D.(0,1) 1234 1234 2.函数 的单调递增区间是 A.(1,1 B.(，1)C.1,3) D.(1，) 2 1 3 log23yxx- 解析由题意，得要使函数 有意义，则满足x22x 30， 即x22x3(x3)(x1)0，解得1x0，u2ax在0,1上单调递减， ylogau在2a,2上单调递增，a1. 又2ax0在x0,1时恒成立， umin2a12a0，即a1时，ylogat和t(a1)x1都是增函数， 所
8、以f(x)是增函数； 当0a1时，ylogat和t(a1)x1都是减函数， 所以f(x)是增函数. 12345678910 11 12 13 14 15 16 2.已知函数f(x)ln xln(2x)，则 A.f(x)在(0,2)上单调递增 B.f(x)在(0,2)上单调递减 C.yf(x)的图象关于直线x1对称 D.yf(x)的图象关于点(1,0)对称 解析函数f(x)ln xln(2x)， f(2x)ln(2x)ln x，即f(x)f(2x)， 即yf(x)的图象关于直线x1对称. 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.函数 的单调递增区间为 A.(，2) B.(
9、1,2)C.(2,3) D.(2，) 因为f(x)2g(x)在定义域上为增函数， 2 +43 =2 xx f x - 令h(x)x24x3， 由二次函数单调性及二次根式有意义的条件可知1x2， 2 +43 =2 xx f x - 即 的单调递增区间为1,2，也可写作(1,2). 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 A.是减函数且值域为(1,1) B.是增函数且值域为(1,1) C.是减函数且值域为(，1) D.是增函数且值域为(，1) 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678
10、910 11 12 13 14 15 16 6.(多选)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王 子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命 名的“高斯函数”为：设xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx 称为高斯函数，例如：3.54，2.12.已知函数f(x) 则关于函数g(x)f(x)的叙述中正确的是 A.g(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)在R上是增函数 D.g(x)的值域是1,0,1 12345678910 11 12 13 14 15 16 g(1)g(1)，则g(x)不是偶函数，故A错误； f(x)为奇函数，故B正确； 又y2x在
11、R上单调递增， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.已知函数f(x)e|xa|(a为常数)，若f(x)在区间(，1上单调递减，则a 的取值范围是_. a1 解析因为函数f(x)e|xa|(a为常数)，若f(x)在区间(，1上单调递减， 则t|xa|在区间(，1上单调递减， 又函数t|xa|在区间(，a上单调递减， 所以(，1(，a，故有a1. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (1，) f(x)为奇函数， 又f(x)在R上单调递减，由f(2m1)f(m2)0 得f(2m1)2m，解
12、得m1. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (1)求a的值； 解f(x)是R上的奇函数， f(0)0， 解得a2，经检验a2符合题意. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)求函数f(x)的值域. 函数f(x)的值域为(1,1). 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.已知函数f(x)exex(xR且e为自然对数的底数). (1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性； 由于f(x)的定义域为R，且f(x)exexf(x)，所以f(x)是奇函数. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)是否存
13、在实数t，使不等式f(xt)f(x2t2)0对一切x都成立？若存在， 求出t；若不存在，请说明理由. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解由(1)知f(x)是增函数和奇函数， 所以f(xt)f(x2t2)0对一切xR恒成立， 等价于f(x2t2)f(tx)对一切xR恒成立， 即x2t2tx对一切xR恒成立， 12345678910 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.若函数f(x) 在区间(3m2，m2)内单调递增，则实 数m的取值范围为 2 1 2 log+4 +5xx- 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由x24x50
14、，解得1x2b2a，则下列不等式正确的是 ln(ab1)0；ln(ba1)0；eab10；eba10. A. B. C. D. 解析因为函数f(x)3x2x为增函数，3a3b2b2a，即3a2a3b2b， 所以ab，ab0，则ab11，所以ln(ab1)0，故正确； 由ba0，得ba11，所以ln(ba1)e01，所以eab10，故正确； ebae01，所以eba12ff 解析依题意，f(x)ex1e1x(ex1e1x)00(ex1e1x)ex1 0e1x0e0ex1e1xe1xex11， 故f(1x)exex1，f(1x)exex1， 即f(1x)f(1x)，函数yf(x)的图象关于x1对称
15、，故A正确； 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 故yf(x)在(1，)上单调递增，故B错误； 根据单调性知yf(x)在x1时取得最小值f(1)e0e013，故C错误； 23 32 12 2ff ，因为 根据单调性得 故D错误. 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.已知函数f(x)ln(ax22x1). (1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围； 解由f(x)的定义域为R，得ax22x10恒成立， 即实数a的取值范围为(1，). 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围. 解因为f(x)的值域为R， 所以y|yax22x1(0，)， (也可以说yax22x1取遍一切正数) 当a0时，y2x1可以取遍一切正数，符合题意； 综上，实数a的取值范围为0,1. 本课结束 更多精彩内容请登录：
