1、课时作业(二十五)函数 yAsin(x)的图象及三角函数模型的简单应用 基础过关组 一、单项选择题 1函数 ysin 2x 3 在区间 2，上的简图是() 解析令 x0 得 ysin 3 3 2 ，排除 B，D 两项。由 f 3 0，f 6 0，排除 C 项。故选 A。 答案A 2由 ysin x 的图象变换到 y3sin 2x 4 的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前 者需向左平移_个单位长度，后者需向左平移_个单位长度。() A 4， 4 B 8， 4 C 4， 8 D 8， 8 答案C 3将函数 ysin 4x 6 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，
2、再把所得图象向左平移 6个单位长度，得到函数 f(x)的图象，则函数 f(x)的解析式为( ) Af(x)sin 2x 6Bf(x)sin 2x 3 Cf(x)sin 8x 6Df(x)sin 8x 3 解析ysin 4x 6 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)后对应的图象的解析式为 y sin 2x 6 ，再把所得图象向左平移 6个单位长度后对应的图象的解析式为 ysin 2 x 6 6 sin 2x 6 。 答案A 4已知曲线 C1：ycos x，C2：ysin 2x2 3 ，则下面结论正确的是() A把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲
3、线向右平移 6个单位长度，得到 曲线 C2 B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得 到曲线 C2 C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的1 2，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6个单位长度，得到曲 线 C2 D把 C1上各点的横坐标缩短到原来的1 2，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲 线 C2 解析C1： ycos x 可化为 ysin x 2 ， 所以 C1上的各点的横坐标缩短到原来的1 2， 得函数 ysin 2x 2 的图象，再将得到的曲线向左平移 12个单位长度得 ysin 2 x 12 2 ，即
4、 ysin 2x2 3 的图象，故选 D。 答案D 5将函数 y3sin 2x 6 图象上的各点沿 x 轴向右平移 6个单位长度，所得函数图象的一个对称中心为 () A 7 12，0B 6，0 C 5 8 ，0 D 2 3 ，3 解析将函数 y3sin 2x 6 图象上的各点沿 x 轴向右平移 6个单位长度， 可得函数 y3sin 2 x 6 6 3sin 2x 6 的图象。由 2x 6k，kZ，可得 x k 2 12，kZ。故所得函数图象的对称中心为 k 2 12，0， kZ。令 k1 可得一个对称中心为 7 12，0。故选 A。 答案A 6(2021东北三校联考)已知函数 f(x)sin
5、2x 3cos 2x 的图象向右平移 0 2 个单位长度后，其图象 关于 y 轴对称，则() A 12 B 6 C 3 D5 12 解析f(x)sin 2x 3cos 2x2sin 2x 3 ，把 f(x)的图象向右平移个单位长度后，图象对应的解析式为 g(x)2sin 2x 3 2sin 2x 32，由函数 g(x)的图象关于 y 轴对称，可得 32 2k(kZ)，解得 k 2 12(kZ)，又 00，0，| 2，则( ) AA4B1 C 6 DB2 解析根据函数的最大值和最小值得 AB4， AB0， 解得 A2， B2。 函数的周期 T 5 12 6 4， 即 T 2 ，解得2。当 x 6
6、时 y 取最大值，即 sin 2 61，即 2 62k 2，kZ，因为|0)在一个周期内的图象如图所示，要得到函数 ysin x 2 12 的图象，则需将 函数 ysin x 的图象向_平移_个单位长度。 解析由图象知函数 ysin x 的周期为 T3()4， 所以2 T 1 2， 故 ysin 1 2x。 又 ysin x 2 12 sin 1 2 x 6 ，所以将函数 ysin 1 2x 的图象向左平移 6个单位长度，即可得到函数 ysin x 2 12 的图象。 答案左 6 11已知函数 f(x)2 3sin x 2 cos x 2 2cos2x 2 (0)的最小正周期为2 3 ，当 x
7、 0， 3 时，函数 g(x)f(x) k 恰有两个不同的零点，则实数 k 的取值范围是_。 解析由 f(x)2 3sin x 2 cos x 2 2cos2x 2 (0)，可得 f(x) 3sin xcos x12sin x 6 1。因为 f(x)的最小正周期为2 3 ，所以2 2 3 ，可得3，所以 f(x)2sin 3x 6 1。当 x 0， 3 时，3x 6 6， 7 6 ， 函数 g(x)f(x)k 恰有两个不同的零点，即 f(x)的图象与直线 yk 恰有两个不同的交点，根据正弦函数的 图象可得 21 21k211，即 2k3，所以实数 k 的取值范围是(3，2。 答案(3，2 四、
8、解答题 12已知函数 f(x) 3cos 2x 2 12sin2x。 (1)用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数 f(x)在0，上的图象； (2)先将函数 f(x)的图象向右平移 6个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐 标不变，得到函数 g(x)的图象，求 g(x)图象的对称中心。 解(1)f(x) 3cos 2x 2 12sin2x 3sin 2xcos 2x2sin 2x 6 。 列表如下： x0 6 5 12 2 3 11 12 f(x)120201 描点、连线。函数 f(x)在区间0，上的图象如图。 (2)将函数 f(x)2sin 2x 6 的图象向
9、右平移 6个单位长度后得到 y2sin 2 x 6 6 2sin 2x 6 的图象， 再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 g(x)2sin x 2 6 的图象，由x 2 6 k(kZ)得 x2k 3(kZ)，故 g(x)图象的对称中心为 2k 3，0(kZ)。 素养提升组 13(新情境题)体育品牌 Kappa 的标志可抽象为如图所示的“背靠背而坐”的两条优美的曲线，下列函 数中大致可“完美”局部表达这对曲线的是() Af(x) sin 6x 2 x2x Bf(x) cos 6x 2x2 x Cf(x) sin 6x |2x2 x| Df(x) cos 6x
10、|2x2 x| 解析因为 B，C 两个选项的函数均是奇函数，故不符合题意；对于 A，当 x 趋近于 0 时，f(x)0。故选 D。 答案D 14(2021沈阳市质量监测)如果将函数 y 5sin x 5cos x 的图象向右平移 0 2 个单位长度得到函 数 y3sin xacos x(a0)的图象，则 tan 的值为() A2B1 2 C1 3 D3 解析函数 y 5sin x 5cos x 10sin x 4 ，将其图象向右平移个单位长度后，得到函数 y 10sin x 4的图象。 又函数y3sin xacos x 32a2sin(x) 其中 tan a 3 与函数y 10sin x 4
11、表示同一函数，所以 a29 10。又 a0，| 2 ，则下列叙述正确的是() AR6， 30， 6 B当 t35,55时，点 P 到 x 轴的距离的最大值为 6 C当 t10,25时，函数 yf(t)单调递减 D当 t20 时，|PA|6 3 解析由题意可知 T60，所以2 60，解得 30，又从点 A(3 3，3)出发，所以 R6,6sin 3， 又|0，0)只能同时满足下列三个条件中的两个： 函数 f(x)的最大值为 2；函数 f(x)的图象可由 y 2sin x 4 的图象平移得到；函数 f(x)图象的相邻两条 对称轴之间的距离为 2。 (1)请写出这两个条件的序号，并求出 f(x)的解
12、析式； (2)求方程 f(x)10 在区间，上所有解的和。 解(1)函数 f(x)Asin x 6 满足的条件为。 理由如下： 由题意可知条件互相矛盾， 故为函数 f(x)Asin x 6 满足的条件之一， 由可知，T，所以2，故不合题意， 所以函数 f(x)Asin x 6 满足的条件为。 由可知 A2， 所以 f(x)2sin 2x 6 。 (2)因为 f(x)10， 所以 sin 2x 6 1 2， 所以 2x 6 62k(kZ)或 2x 6 7 6 2k(kZ)， 即 x 6k(kZ)或 x 2k(kZ)， 又因为 x， 所以 x 的取值为 6， 5 6 ， 2， 2， 所以方程 f(x)10 在区间，上所有解的和为2 3 .
