1、课时作业(六)函数的奇偶性与周期性 基础过关组 一、单项选择题 1下列函数中，既是奇函数，又是增函数的为() Ayx1Byx2 Cy1 x Dyx|x| 解析对于 A，yx1 为非奇非偶函数，不满足条件。对于 B，yx2是偶函数，不满足条件。对于 C，y1 x是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件。对于 D，设 f(x)x|x|，则 f(x)x|x|f(x)， 则函数为奇函数，当 x0 时，yx|x|x2，此时为增函数，当 x0 时，yx|x|x2，此时为增函数，综上， yx|x|在 R 上为增函数。故选 D。 答案D 2设函数 f(x)x(exe x)，则 f(x)( ) A是奇函数，
2、且在(0，)上单调递增 B是偶函数，且在(0，)上单调递增 C是奇函数，且在(0，)上单调递减 D是偶函数，且在(0，)上单调递减 解析由条件可知，f(x)(x)(e xex)x(exex)f(x)，故 f(x)为奇函数。f(x)exexx(ex e x)，当 x0 时，exex，所以 x(exex)0，又 exex0，所以 f(x)0，所以 f(x)在(0，)上单调递 增。故选 A。 答案A 3函数 f(x)x3sin x1(xR)。若 f(m)2，则 f(m)的值为() A3B0 C1D2 解析把 f(x)x3sin x1 变形为 f(x)1x3sin x。令 g(x)f(x)1x3sin
3、 x，则 g(x)为奇函数，有 g(m)g(m)，所以 f(m)1f(m)1，得到 f(m)(21)10。 答案B 4函数 f(x)9 x1 3x 的图象() A关于 x 轴对称B关于 y 轴对称 C关于坐标原点对称D关于直线 yx 对称 解析因为 f(x)9 x1 3x 3x3 x，易知 f(x)为偶函数，所以函数 f(x)的图象关于 y 轴对称。 答案B 5设 f(x)是定义在 R 上周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时，f(x)x2x，则 f 5 2 () A1 4 B1 2 C1 4 D1 2 解析因为 f(x)是定义在 R 上周期为 2 的奇函数，所以 f 5 2 f 5 2 f
4、1 2 。又当 0 x1 时，f(x) x2x，所以 f 1 2 1 2 21 2 1 4，则 f 5 2 1 4。 答案C 6(2021武汉市质量监测)已知函数 f(x)axsin xxcos x(aR)为奇函数，则 f 3 () A 6 B 3 6 C 6 D 3 6 解析解法一： 因为f(x)为奇函数， 所以xR， f(x)f(x)， 即a(x)sin(x)(x)cos(x)(axsin xxcos x)，整理得 2axsin x0，所以 a0，f(x)xcos x，f 3 3cos 3 6。故选 A。 解法二：因为 f(x)为奇函数，yxcos x 为奇函数，所以 yf(x)xcos
5、xaxsin x 为奇函数，所以 a0， f(x)xcos x，f 3 3cos 3 6。故选 A。 答案A 二、多项选择题 7设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是() Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数 Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是偶函数 解析因为 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以 f(x)f(x)，g(x) g(x)。对于 A，f(x)g(x)f(x)g(x)，函数是奇函数，故 A 错误；对于 B，|f(x)|g(x)|f(x
6、)|g(x)，函 数是偶函数， 故 B 错误； 对于 C， f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|， 函数是奇函数， 故 C 正确； 对于 D， |f(x)g( x)|f(x)g(x)|，函数是偶函数，故 D 正确。 答案CD 8已知定义域为 I 的偶函数 f(x)在(0，)上单调递增，且x0I，f(x0)0，则下列函数中不符合上述 条件的是() Af(x)x2|x|Bf(x)2x2 x Cf(x)log2|x|Df(x)x4 3 解析xR，f(x)x2|x|0，故 A 不符合上述条件；函数 f(x)2x2 x 是定义在 R 上的奇函数，故 B 不符合上述条件； 函数 f(x)log2|x|
7、是定义在(， 0)(0， )上的偶函数， 且在(0， )上， f(x)log2x 单调递增，x01 2，f 1 2 10， fx，x0 是奇函数，那么 f(x)_。 解析令 x0，g(x)2x3。因为 g(x)是奇函数，所以 g(x)g(x)2x3，所以 f(x)2x3。 答案2x3 11已知 yf(x)x2是奇函数，且 f(1)1。若 g(x)f(x)2，则 g(1)_。 解析令 H(x)f(x)x2， 则 H(1)H(1)f(1)1f(1)10， 所以 f(1)3， 所以 g(1)f( 1)21。 答案1 12(2021达州模拟)f(x)是定义域为 R 的偶函数，xR，都有 f(x4)f(
8、x)，当 0 x2 时，f(x) 2x1，0 x1， log2x1，1x2， 则 f 9 2 f(21)_。 解析根据题意，f(x)是定义域为 R 的偶函数，对xR，都有 f(x4)f(x)，则有 f(x4)f(x)，即 函数 f(x)是周期为 4 的周期函数，则有 f 9 2 f 9 2 f 41 2 f 1 2 ，f(21)f(145)f(1)，又由当 0 x2 时，f(x) 2x1，0 x1， log2x1，1x2， ，则 f 1 2 21，f(1)1，则 f 9 2 f(21)f 1 2 f(1)( 21)1 2。 答案2 四、解答题 13若 f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，且
9、x0,1)时 f(x)为增函数，求不等式 f(x)f x1 2 0 的解集。 解因为 f(x)为奇函数，且在0,1)上为增函数， 所以 f(x)在(1,0)上也是增函数。 所以 f(x)在(1,1)上为增函数。 f(x)f x1 2 0f(x)f x1 2 f 1 2x 1x1， 11 2x1， x1 2x 1 2x 1 4。 所以不等式 f(x)f x1 2 0 的解集为x| 1 2x0 的解集。 解由题意易知条件和最好只选择一个，否则可能产生矛盾；条件和最好也只选择一个，否则 f(x)就变成恒等于 0 的常数函数，失去研究价值。 如果选择条件。 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数，可知
10、f(0)0，且 f(x)在关于原点对称的区间上的单调性一致，且 f(1) f(1)0， 因为 f(x)在(0，)上单调递减， 所以，当 0 x1 或 x0， 当 x1 或1x0 时，f(x)0。 f(x1)00 x11 或 x11， 即 1x2 或 x0 的解集为(，0)(1,2)。 如果选择条件。 因为 f(x)在(0，)上单调递减，且 f(x)是偶函数， 所以 f(x)在(，0)上单调递增，注意到 f(1)0， 所以 f(x1)0f(x1)f(1)f(|x1|)f(|1|)|x1|10 x0 的解集为(0,1)(1,2)。 选择其他条件组合的解法类似。 如果同时选择条件。 易知 f(x)0 恒成立，不等式 f(x1)0 的解集为空集。
