课时作业(五十三)　椭圆及其简单几何性质.DOC

1、课时作业(五十三)椭圆及其简单几何性质 基础过关组 一、单项选择题 1椭圆的焦点在 x 轴上，中心在原点，其上、下顶点和两个焦点恰是边长为 2 的正方形的顶点，则椭圆 的标准方程为() A.x 2 2 y2 21 B.x 2 2 y21 C.x 2 4 y 2 2 1D.y 2 4 x 2 2 1 解析由条件可知 bc 2，则 a2，所以椭圆的标准方程为x 2 4 y 2 2 1。故选 C。 答案C 2(2021八省联考)椭圆 x2 m21 y2 m21(m0)的焦点为 F 1，F2，上顶点为 A，若F1AF2 3，则 m( ) A1B. 2 C. 3D2 解析 在椭圆 x2 m21 y2 m

2、21(m0)中， a m 21， bm， c a2b21， 如图所示。 因为椭圆 x2 m21 y2 m21(m0) 的上顶点为 A，焦点为 F1，F2，所以|AF1|AF2|a，又因为F1AF2 3，所以F 1AF2为等边三角形，则|AF1| |F1F2|，即 m21a2c2，因此，m 3。故选 C。 答案C 3已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的焦点分别为 F 1，F2，b4，离心率为3 5。过 F 1的直线交椭圆于 A，B 两 点，则ABF2的周长为() A10B12 C16D20 解析 如图，由椭圆的定义知ABF2的周长为 4a，又 ec a 3 5，即 c 3 5a，所以

3、a 2c216 25a 2b216。所以 a 5，ABF2的周长为 20。 答案D 4已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)，若长轴的长为 6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方 程为() A. x2 36 y2 321 B.x 2 9 y 2 8 1 C.x 2 9 y 2 5 1D. x2 16 y2 121 解析由题意知 2a6,2c1 36，所以 a3，c1，则 b 3 2122 2，所以此椭圆的标准方程为x2 9 y2 8 1。 答案B 5 (2021湖北宜昌一中模拟)设 F1， F2为椭圆的两个焦点， 以 F2为圆心作圆， 已知圆 F2经过椭圆的中心， 且与椭圆

4、相交，其中一个交点为 M，若直线 MF1恰与圆 F2相切，则该椭圆的离心率为() A. 31B2 3 C. 2 2 D. 3 2 解析由题意知F1MF2 2，|MF 2|c，|F1M|2ac，则 c2(2ac)24c2，e22e20，解得 e 3 1。 答案A 6已知 F 是椭圆 C： x2 9 y 2 5 1 的左焦点，P 为椭圆 C 上的一点，A 1，4 3 ，则|PA|PF|的最小值为() A.10 3 B.11 3 C4D.13 3 解析设椭圆 C：x 2 9 y 2 5 1 的右焦点为 F，则 F(2,0)，F(2,0)。由 A 1，4 3 ，得|AF|5 3。根据椭 圆的定义可得|

5、PF|PF|2a6，所以|PA|PF|PA|6|PF|6|AF|65 3 13 3 。 答案D 二、多项选择题 7(2021山东淄博模拟)已知椭圆：x 2 a2 y2 b21(ab0)，则下列结论正确的是( ) A若 a2b，则的离心率为 2 2 B若的离心率为1 2，则 b a 3 2 C若 F1，F2分别为的两个焦点，直线 l 过点 F1且与交于点 A，B，则ABF2的周长为 4a D若 A1，A2分别为的左、右顶点，P 为上异于点 A1，A2的任意一点，则 PA1，PA2的斜率之积为b 2 a2 解析若 a2b，则 c 3b，e 3 2 ，A 不正确；若 e1 2，则 a2c，b 3c，

6、 b a 3 2 ，B 正确；根据椭 圆的定义易知 C 正确； 设 P(x0， y0)， 则x 2 0 a2 y20 b21， 易知 A 1(a,0)， A2(a,0)， 所以 PA1， PA2的斜率之积为 y0 x0a y0 x0a y20 x20a2 b2 1x 2 0 a2 x20a2 b 2 a2，D 正确。故选 BCD。 答案BCD 8设椭圆 C：x 2 2 y21 的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是 C 上的动点，则下列结论正确的是() A|PF1|PF2|2 2 B离心率 e 6 2 CPF1F2面积的最大值为 2 D以线段 F1F2为直径的圆与直线 xy 20 相切 解析对

7、于 A，由椭圆的定义可知|PF1|PF2|2a2 2，所以 A 正确；对于 B，依题意 a 2，b1， c1，所以 ec a 1 2 2 2 ，所以 B 错误；对于 C，|F1F2|2c2，当 P 为椭圆短轴顶点时，PF1F2的面积 取得最大值，为1 22cb1，所以 C 错误；对于 D，以线段 F 1F2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为 c1，圆 心到直线 xy 20 的距离为 2 21， 所以以线段 F 1F2为直径的圆与直线 xy 20 相切， 所以 D 正确。 故选 AD。 答案AD 三、填空题 9已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F(2 3，0)，且长轴长是短轴长的 2 倍。则该椭

8、圆的长轴长为 _，其标准方程是_。 解析设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 由已知可得 a2b， c2 3， a2b2c2， 解得 b2， a4， 则该椭圆的长轴长为 8，其标准方程是 x2 16 y2 4 1。 答案8 x2 16 y2 4 1 10已知 F1，F2分别是椭圆 E：x 2 a2 y2 3 1(a0)的左、右焦点，点 M 在椭圆 E 上，且F1MF22 3 ，则 F1MF2的面积为_。 解析解法一： 因为 F1， F2分别是椭圆的左、 右焦点， 所以椭圆的焦点在 x 轴上， 由椭圆的定义可得|MF1| |MF2|2a，在F1MF2中，由余弦定理得 4c2|MF1

9、|2|MF2|22|MF1|MF2|cos 2 3 ，即 4c2|MF1|2|MF2|2 |MF1|MF2|(|MF1|MF2|)2|MF1|MF2|4a2|MF1|MF2|，即|MF1|MF2|4b2，又 b23，所以 SF1MF21 2|MF 1|MF2|sin 2 3 3b23 3。 解法二：因为 F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，M 在椭圆上，b23，所以根据结论知，SF1MF2b2tan F1MF2 2 b2tan 33 3。 答案3 3 11设 A1，A2分别为椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右顶点，若在椭圆上存在点 P，使得 kPA 1kPA21 2， 则该椭圆的离

10、心率的取值范围是_。 解析由题意知， 椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、 右顶点分别为 A 1(a,0)， A2(a,0)， 设 P(x0， y0)， 则 kPA1kPA2 y20 x20a2 1 2。因为 x20 a2 y20 b21，所以 a 2x2 0a 2y2 0 b2 ，所以b 2 a2 1 2，即 a2c2 a2 1 2，1e 2 2 2 ，又 e1，故 2 2 eb0)，F 1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线 AF2交椭圆于另一点 B。 (1)若F1AB90，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的焦距为 2，且AF2 2F2B ，求椭圆的方程。 解(1

11、)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形。 所以有|OA|OF2|，即 bc。 所以 a 2c，ec a 2 2 。 (2)由题知 A(0，b)，F2(1,0)，设 B(x，y)， 由AF2 2F2B ，解得 x3 2，y b 2。 代入x 2 a2 y2 b21，得 9 4 a2 b2 4 b2 1。 即 9 4a2 1 41，解得 a 23，b22。 所以椭圆方程为x 2 3 y 2 2 1。 13已知 F1，F2是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点，P 为 C 上的点，O 为坐标原点。 (1)若POF2为等边三角形，求 C 的离心率； (2)如果存在点 P，使得

12、 PF1PF2，且F1PF2的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围。 解(1)连接 PF1(图略)，由POF2为等边三角形可知在F1PF2中，F1PF290， |PF2|c，|PF1| 3c， 于是 2a|PF1|PF2|( 31)c， 故 C 的离心率 ec a 31。 (2)由题意可知，满足条件的点 P(x，y)存在，当且仅当1 2|y|2c16， y xc y xc1， x2 a2 y2 b21， 即c|y|16， x2y2c2， x2 a2 y2 b21 ， 由及 a2b2c2得 y2b 4 c2， 又由知 y216 2 c2 ，故 b4。 由得 x2a 2 c2(c 2b2

13、)，所以 c2b2， 从而 a2b2c22b232，故 a4 2。 当 b4，a42时，存在满足条件的点 P。 所以 b4，a 的取值范围为4 2，)。 素养提升组 14(多选)已知椭圆 C1：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F 1，F2，离心率为 e1，椭圆 C1的上顶 点为 M，且MF1 MF2 0，双曲线 C2和椭圆 C1有相同焦点，且双曲线 C2的离心率为 e2，P 为曲线 C1与 C2的 一个公共点，若F1PF2 3，则正确的是( ) A.e2 e12 Be1e2 3 2 Ce21e225 2 De22e211 解析因为MF1 MF2 0 且|MF1 |M

14、F2 |，故MF1F2为等腰直角三角形，设椭圆的半焦距为 c，则 cb 2 2 a，所以 e1 2 2 。在焦点三角形 PF1F2中，F1PF2 3，设|PF 1|x，|PF2|y，双曲线 C2的实半轴长为 a，则 x2y2xy4c2， xy2 2c， |xy|2a， 故 xy4 3c 2，从而(xy)2x2y2xyxy8c2 3 ，所以(a)22c 2 3 ，即 e2 6 2 ， 故e2 e1 3，e 2e1 3 2 ，e21e222，e22e211。故选 BD。 答案BD 15(新情境题)某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为 e，设地球半 径为 R，该卫星近地

15、点离地面的距离为 r，则该卫星远地点离地面的距离为() A.1e 1er 2e 1eR B.1e 1er e 1eR C.1e 1er 2e 1eR D.1e 1er e 1eR 解 析设 该 卫 星 远 地 点 离 地 面 的 距 离 为 r ， 则 由 题 意 分 析 可 知 acrR， acrR， 所 以 arr2R 2 ， crr 2 ， 所以离心率 ec a rr rr2R，解得 r 1e 1er 2e 1eR。故选 A。 答案A 16(2020天津高考)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的一个顶点为 A(0，3)，右焦点为 F，且|OA|OF|，其 中 O 为原点。 (1

16、)求椭圆的方程； (2)已知点 C 满足 3OC OF ， 点 B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)， 直线 AB 与以 C 为圆心的圆相切于点 P， 且 P 为线段 AB 的中点，求直线 AB 的方程。 解(1)由已知可得 b3。记半焦距为 c， 由|OF|OA|，可得 cb3。 又由 a2b2c2，可得 a218。 所以，椭圆的方程为 x2 18 y2 9 1。 (2)因为直线 AB 与以 C 为圆心的圆相切于点 P，所以 ABCP。 依题意，直线 AB 和直线 CP 的斜率均存在。 设直线 AB 的方程为 ykx3。 由方程组 ykx3， x2 18 y2 9 1， 消去 y，可得(2k21)x212kx0， 解得 x0 或 x 12k 2k21。 依题意，可得点 B 的坐标为 12k 2k21， 6k23 2k21 。 因为 P 为线段 AB 的中点，点 A 的坐标为(0，3)， 所以点 P 的坐标为 6k 2k21， 3 2k21 。 由 3OC OF ，得点 C 的坐标为(1,0)， 故直线 CP 的斜率为 3 2k210 6k 2k211 ， 即 3 2k26k1。 又因为 ABCP， 所以 k 3 2k26k11， 整理得 2k23k10， 解得 k1 2或 k1。 所以，直线 AB 的方程为 y1 2x3 或 yx3。