1、4.5函数的应用(二) 4.5.2用二分法求方程的近似解 第四章第四章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 课程标准核心素养 1探索用二分法求方程近 似解的思路，能借助计算工 具用二分法求方程近似解 2了解用二分法求方程近 似解具有一般性. 通过对用二分法求方程的近 似解的学习，提升“逻辑推 理”、“数学建模”及“数 学运算”的核心素养. 栏目索引栏目索引 课前自主预习课前自主预习 课堂互动探究课堂互动探究 随堂本课小结随堂本课小结 课前自主预习课前自主预习 对于在区间a，b上图象_且_的 函数yf(x)，通过不断地把它的零点所在的区间_，使所 得区间的两个端点逐步逼近_，进而得到零点近似值
2、的方法叫 做二分法 连续不断 知识点知识点1二分法的定义二分法的定义 f(a)f(b)0 一分为二 零点 微思考微思考 若函数yf(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？ 提示 二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)， 因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)(x1)2的 零点就不能用二分法求解 给定精确度，用二分法求函数f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： (1)确定零点x0的初始区间a，b，验证_. (2)求区间(a，b)的中点c. (3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： 若f(c)0(此时x0c)，则_； 若f(a)f(c)0
3、(此时x0_)，则令bc； 若f(c)f(b)0(此时x0_)，则令ac. (4)判断是否达到精确度：若_，则得到零点近似 值a(或b)；否则重复(2)(4) 知识点知识点2二分法的步骤二分法的步骤 f(a)f(b)0 c就是函数的零点 (a，c) (c，b) |ab| 微体验微体验 1思考辨析 (1)二分法所求出的方程的解都是近似解() (2)函数f(x)|x|可以用二分法求零点() (3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区 间内() 答案(1)(2)(3) 2用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计 算的条件是() A|ab
4、|0.1B|ab|0.001D|ab|0.001 解析据二分法的步骤知当区间长度|ba|小于精确度时，便可结束计算 答案B 3用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经过计算得f(0)0， f(0.5)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_. 解析f(0)0，x0(0,0.5)，故第二次应计算f(0.25) 答案(0,0.5)f(0.25) 例1 下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的 是() 课堂互动探究课堂互动探究 探究一二分法的概念探究一二分法的概念 解析利用二分法求函数零点，必须满足零点，两侧函数值异号在B中，不 满足f(a)f(b)0，不能用二分法
5、求零点，由于A，C，D中零点两侧函数值异 号，故可采用二分法求零点 答案B 方法总结方法总结 二分法的适用条件 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是，其图象在零点附近是连 续不断的，且该零点为变号零点因此，用二分法求函数的零点近似值 仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用 跟踪训练1已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分 法求解的个数分别为() A4,4B3,4C5,4D4,3 解析图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点 有3个，所以用二分法求解的个数为3. 答案D 例2 求函数f(x)x25的负零点(精确度0.1) 解由于f(2)10
6、，故取区间(3，2)作为计算的初始 区间，用二分法逐次计算，列表如下： 探究二二分法求函数零点近似解探究二二分法求函数零点近似解 区间中点的值中点函数近似值 (3，2)2.51.25 (2.5，2)2.250.062 5 (2.25，2)2.1250.484 4 (2.25，2.125)2.187 50.214 8 (2.25，2.187 5)2.218 750.077 1 由于|2.25(2.187 5)|0.062 50.1，所以函数的一个近似负零点可 取2.25. 变式探究将本例中的“负”改为“正”呢？ 方法总结方法总结 利用二分法求函数近似零点应关注三点 (1)要选好计算的初始区间，这
7、个区间既要包含函数的零点，又要使其长 度尽量小 (2)用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间 (3)根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是 停止计算还是继续计算 例3 求方程2x33x30的一个正实数解，精确到0.1. 解令f(x)2x33x3，易知函数f(x)2x33x3在R上为单调递增函 数经计算，f(0)30，f(1)20，所以该函数在(0,1)内存在零点， 且为该函数的唯一正数零点取(0,1)的中点0.5，经计算，f(0.5)0，f(1) 0，所以该函数在(0.5,1)内存在零点如此继续下去，得到函数零点所 在的区间，如下表： 探究三二分法求方程的近似解探
8、究三二分法求方程的近似解 方法总结方法总结 用二分法求方程的近似解应明确两点 (1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的 解是等价的求方程f(x)0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值 的步骤求解 (2)对于求形如f(x)g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x) f(x)g(x)0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步 骤求解 跟踪训练2求方程lg x3x的近似解(精确度0.1) 解分别画函数ylg x和y3x的图象，如图所示，在两个函数图象 的交点处，函数值相等因此，这个点的横坐标就是方程lg x3x的 解由函数ylg x与y3x的
9、图象可以发现，方程lg x3x有唯一解， 记为x1，并且这个解在区间(2,3)内 设f(x)lg xx3，利用计算器计算得 f(2)0 x1(2,3)； f(2.5)0 x1(2.5,3)； f(2.5)0 x1(2.5,2.75)； f(2.5)0 x1(2.5,2.625); f(2.562 5)0 x1(2.562 5,2.625) 因为|2.6252.562 5|0.062 50.1，所以此方程的近似解可取为2.625. 1判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是，其图象在零点附近是 连续不断的，且该零点为变号零点因此，用二分法求函数的零点近似 值仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适用 2利用二分法求方程近似解的步骤 (1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常限制在区间 (n，n1)，nZ； (2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M； (3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点 随堂本课小结随堂本课小结 本课结束 更多精彩内容请登录：
