1、?高三数学?参考答案?第? ?页?共?页? ? ? ? ? 高三数学考试参考答案 ? ? ? ?解析?本题考查一元二次不等式的解法与集合的交集? 考查运算求解能力? 由? ? ? ? ? ?得? ?或? ?则? ? ? ?解析?本题考查向量共线的条件? 考查运算求解能力? 因为? ? ? ? ? ? ? ? ?所以向量? ?与向量? ?共线? ? ? ?解析?本题考查统计图表的识别? 考查读图能力? 由图可知?对于神舟十二号太空之旅? ? ? ? ?的受访青少年关注航天员是怎样选的?有将近一半的青少年关 注此问题?所以?错误?而? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以?均
2、错误?对于神舟十二号太空之旅?很多青 少年都特别关注航天员?有? ? ? ? ?的受访青少年关注他们在太空的工作和生活?所以?正确? ? ? ? ?解析?本题考查复数的模? 考查待定系数法的应用? 设? ? ?因为? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? ?又? ?解得 ? ? ? ? ?或 ? ? ? ? ? ? ?故 ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ?解析?本题考查函数的奇偶性? 考查逻辑推理能力? 因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? 为奇函数? ? ?为偶函数? ?与? ?均为非奇非偶函
3、数? ? ? ? ?解析?本题考查三角恒等变换? 考查数学运算与逻辑推理的核心素养? 因为? ? ? ? ? ? ? ? ?所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?解析?本题考查正态分布与二项分布的应用? 考查抽象概括能力? 因为?单位?克?服从正态分布? ? ? ?所以? ? ? ? ? 设?袋海藻碘食用盐中质量超过? ? ?克的袋数为?则? ? ? ? 则至少有?袋的质量超过? ? ?克的概 率为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
4、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?解析?本题考查椭圆的性质? 考查直观想象与数学运算的核心素养? 如图?延长? ?交?于? 根据椭圆的对称性可知? ? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因为焦点弦? ?长度的最小值为 ? ? ? ?所以? ? ? ? 则? ? ? ? ? ? 槡 ?槡? ? ? ? ? ? ?解析?本题考查直线与圆以及等差数列? 考查运算求解能力与推理论证能力? 因为直线? ?与圆? ? ? ? ? ?相切?所以? ? ? ? ?则? ? ? 数列 ? ?是公差为? ?的等差数列? 因为? ? ? ? ?所以? ?的前? ?项和为
5、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?又? ?所以 当? ?时?圆?可能经过坐标原点? ? ? ? ? ?解析?本题考查简单几何体的体积的应用? 考查运算求解能力与空间想象能力? ?高三数学?参考答案?第? ?页?共?页? ? ? ? ? 棱长为? ?的正四面体的体积? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ?槡 ? 槡? ? ? ? ? ? 底面半径为 ? ? ? 高为? ?的圆柱的体积? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 半径为? ?的半球的体积? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?因为? ? ? ? 槡? ? 槡?
6、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以这两碗馅料最多可包三角粽? ? 个?最多可包竹筒粽? ?个? ? ? ? ? ?解析?本题考查三角函数的图象及其性质? 考查推理论证能力与数形结合的数学思想? 因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以?在一个周期内的图象不经过点? 则? ? ? ? ? ? ? ?解得? ? ?因为? ? ? ? ? ?所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 又? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ?解析?本题考查基本初等函数及两数大小的比较? 考查数学抽象与逻辑推理的核心素养? 设
7、函数? ? ? ? ? ? ? ?令 ? ? ? ? ?得? ? ?令 ? ? ? ? ?得? ? ? 则? ?当且仅当? ?时?等号成立?所以? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即? ? ? ? ? ? 因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 又? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以? ? ? ? ? ? ? ?解析?本题考查二项式定理? 考查运算求解能力? 因为? ?的展开式中? ? ?的系数为? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ?的展开式中? ? ?的系数为? ? ?
8、? ? ? ? ? ?解析?本题考查双曲线的性质与定义? 考查直观想象与数学运算的核心素养? 因为双曲线? ? ? ? ? ? ? ?的渐近线方程为?槡? ?所以 ? 槡? 槡? ?解得? ?因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?解析?本题考查导数的几何意义? 考查运算求解能力? 因为 ? ? ? ? ? 所以曲线? ?在点? ? ? ?处的切线方程为? ? ? ? ? ?即? ? ? ?将? ? ?代入? ? 得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得? ?或? ?故? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
9、? ? ? ? 槡? ? 解析?本题考查三棱锥的侧面积与线面角?考查直观想象与数学建模的核心素养? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 设? ?则? ? ?因为? ? ? ? ? ? ?所以? ? ? 三棱锥? ? ?的体积? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?当且仅当? ?时? 等号成立?此时三棱锥? ? ?的体积取得 最大值?其侧面积为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因为? ?平面? 所以易证? ?从而? ? ?与?相似?因为? ? ? ? ? ? 所以?为棱? ?的中点?取? ?
10、的中点 ?连接?可证?平面? ? ?所以?与平面? ? ?所成的角为? ?故 ?高三数学?参考答案?第? ?页?共?页? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? 槡? 槡? ? ? ? ?解? ?因为? ? ? ? ? ? ? ? ?所以? ? ? ? ? ? ?分 所以? ? ? ? ?则? ? ? ? ?分 因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ?分 则? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ?分 又? ? ? ? ? 所以? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ?分 ? ?因为? ?所以? ? ? ?
11、? ?且?为锐角?分 所以? ? ? ? ? ? ? ? ?分 则? ? ? ? ? ? 槡? ? ? 槡? ? ? ? ?分 评分细则? ? ?第?问若由已知条件先直接得到? ? ? ? ?再得到? ? ? ? 不扣分?若最后得到? ? ? ? ? 槡? ? ?但过程中未体现? ? ? 槡? ? ? ?要扣?分? ? ?若第?问最后的结果错误?但得到? ? ? ?扣?分? ? ? ?解? ?依题意得?的可能取值为?分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 故?的分布列为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 ? ?甲? ? ? ? ? ?
12、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 ?乙? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 ? ? 甲? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 ? ? 乙? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 因为?甲?丙?乙? ? 丙? ? 甲? ? 乙?分 所以次品数的平
13、均数最小的是乙?稳定性最好的也是乙?稳定性最差的是丙? ?分 故应淘汰丙机床?乙机床的性能最好? ?分 评分细则? ? ?若?的分布列正确?但未求每个?对应的概率?不扣分? ? ?若未写?次品数的平均数最小的是乙?稳定性最好的也是乙?稳定性最差的是丙? ?而直接得出结论?应淘 汰丙机床?乙机床的性能最好? ?要扣?分? ? ? ?证明?因为? ?底面? ? ? ?所以? ? ?分 在矩形? ? ? ?中? ? ? ?分 ?高三数学?参考答案?第? ?页?共?页? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因为? ? ?所以? ?平面? ? ?分 因为? ?平面? ? ?所以? ? ?分
14、? ?解?以?为坐标原点? ? ? ? ?的方向为?轴的正方向?建立如图所示的空间直角坐标 系? ? ?则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 设平面? ? ?的法向量为? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 令? ?得?分 设平面? ? ?的法向量为? ? ? ? ? ? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 令? ? ?得? ? ?分 所以? ? ? ? 槡槡? ? ? ? ? ?分 由图可知?二面
15、角? ?为钝角?所以二面角? ?为 ? ? ? 或? ? ? ? ? ?分 评分细则? ? ?第?问未写? ?平面? ? ?不扣分? ? ?第?问解析中得到平面的一个法向量不唯一?只要与参考答案中求得的法向量共线即可得分? ? ? ?解? ?因为?是公差为?的等差数列? ?所以? ? ?分 又? ?是公比为?的等比数列? ?所以? ? ? ?分 故? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 ? ?因为? ? ? ? ? ? ? 所以? ?为递增数列?分 又? ? ? ?故当? ?时?恒有? ? ? 故? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 记? ?的前?项和为?
16、 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 当? ?时? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 当? ?时? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 综上? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 评分细则? ? ?第?问未得到? ? ? 但写了? ?给?分? ? ?第?问得到? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 不扣分? ? ? ?解? ?选?因为? ?所以? ? ? ?则
17、? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 ?高三数学?参考答案?第? ?页?共?页? ? ? ? ? 记? ? ? ? ? ? ?则? ? ? ? ? ? ? ? 且? ? ?分 因此方程 ? ? ? ? ?有唯一解?不妨设 ? ? ? ? ? ? ? ? 当?时? ? ? ? ? ?当?时? ? ? ? ? ? ?分 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 又因为? ? ? ?分 所以?在?和?内各有一个零点?故?零点的个数为? ?分 选?因为? ?所以? ? ? ?则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 记? ? ? ? ? ? ?则? ? ? ? ? ? ? 当?时? ? ?
18、当?时? ? ? ?分 因此? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 所以 ? ? ? ? ?则?在?上单调递增?分 又因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 所以?在?内存在唯一零点?故?零点的个数为? ?分 ? ?易知?的定义域为? ? 设函数? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 令 ? ? ? ? ?得?槡 ? ? ? 当? ?槡 ? ?时? 由 ? ? ? ? ?得? 槡? ? ? ?由 ? ? ? ?得? 槡? ? ?故?在?和 ? 槡? ? ?上单调递增? 在? 槡? ? 上单调递减? ?分 当?槡 ? ?时? ? ?
19、? ? ?恒成立?故?在?上单调递增? ?分 当?槡 ? ?时? 由 ? ? ? ? ?得? 槡? ? ? ?由 ? ? ? ?得? 槡? ? ?故?在? 槡? ? 和? ?上单调递增? 在? 槡? ? ?上单调递减? ?分 评分细则? ? ?第?问若用极限说明?两边函数值的正负?而未用具体函数值的正负来说明?扣?分? ? ?选?时?除了选用? ? ? ?还可以使用其他函数值来说明?一个自变量在?内?另一个自 变量在?内即可? ? ?选?时?解析中? ? ? ? ?这里的选值也不是唯一的?只要说明一个函数值小于 ?另一个函数值大于?即可得分? ? ?第?问未写令 ? ? ? ? ?得?槡 ?
20、? ?其余步骤都正确?不扣分? ? ?第?问还可以这样做?选?由? ?得? ? ? ? ? 结合? ? ?与? ? ? ?的图象及? ? ? ? ?可 得?有?个零点?选?由? ?得? ? ? ? ? ?同理可得? ?有?个零点? ? ? ?解?依题意可设?的方程为? ? ? ? ? ? ? ? ?分 联立 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得? ? ? ? ? ? ? ?分 ?高三数学?参考答案?第? ?页?共?页? ? ? ? ? 依题意得? ? ? ? ? ? ? ?分 解得? ?或? ?舍去? ?故?的方程为? ? ? ?分 ? ?证明?设? ? ? ? 设过点?且与?相切的直线
21、?的斜率为?则? ? ? ? 联立 ? ? ? ? ? ? ? ? 得 ? ? ? ? ? ? ?分 则? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? ? ?分 由题意知?直线? ? ?的斜率?为方程? ? ? ? ? ?的两根? 则? ?故? ? ?分 ?解?不妨设? ?的斜率? ?则? ?的斜率? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 设? ? ?的倾斜角分别为? ?直线? ?的倾斜角为?且斜率为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 由?可知? ? 即? ? 同理可得? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ?分 因为? ? ? ?
22、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?从而? ? ? ? ? ?分 又? ? ?则? ? ? ? ? ? ? ? ?所以? ? ? ? ? ? ? ? 故? ? ? ? ? ? ? ? ?为定值? ?分 评分细则? ? ?第?问解析第一行写为?设?的方程为? ? ? ? ? ? ? ? ? ?不扣分? ? ?第?问若只是得到结论? ? ? ? ? ? ? 为定值?而没有过程?给?分?
