1、第第 2 课时课时全集、补集及综合运用全集、补集及综合运用 学习目标1.了解全集的含义及其符号表示.2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会 求给定子集的补集.3.会用 Venn 图、数轴进行集合的运算 导语 有人请客，7 个客人到了 4 个，主人焦急地说：“该来的不来”顿时气走了 2 个，主人遗 憾地叹息：“不该走的又走了”又气走一个，主人更遗憾了，自言自语地说：“我又不是 说他，”这么一来，剩下的这位脸皮再厚，也待不下去了，请问客人们为什么生气？实际上， 客人们不自觉地使用了一个数学概念：补集，如：该来的补集是不该来的，主人说：“该来 的不来”，客人立马会想到不该来的来了，既然不该来，
2、当然就生气地走了！ 一、全集与补集 问题如果我们把某次活动中的客人看成集合的元素，所有的客人组成集合 U，先到的客人 组成集合 A，未到的客人组成集合 B，这三个集合间有什么样的关系？ 提示集合 U 是我们研究对象的全体，AU，BU，AB，ABU.其中集合 A 与集 合 B 有一种“互补”的关系 知识梳理 1全集 定义 一般地， 如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素， 那么就称这个集合 为全集 记法全集通常记作 U 2.补集 定义 文字 语言 对于一个集合 A， 由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的 集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集，简称为集合 A 的补集， 记作UA
3、符号 语言 UAx|xU，且 xA 图形 语言 性质 (1)UAU；(2)UU，UU； (3)U(UA)A； (4)A(UA)U；A(UA) 注意点： (1)“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题加以选择的 (2)补集是集合之间的一种运算关系，求集合 A 的补集的前提是 A 是全集 U 的子集，随着所 选全集的不同，得到的补集也不同，因此它们是相互依存、不可分割的两个概念 (3)UA 包含三层含义：AU；UA 是一个集合，且UAU；UA 是 U 中所有不属于 A 的元素构成的集合 例 1(1)设 Ux|x 是小于 7 的自然数，A2,3,4，B1,5,6，求UA，UB.
4、 解根据题意可知，U0,1,2,3,4,5,6，所以UA0,1,5,6，UB0,2,3,4 (2)已知 Ax|0 x9，Bx|0 x5，求AB. 解根据数轴可知ABx|x0 或 5x9 反思感悟两种求补集的方法 (1)若所有的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴 上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍 (2)若所给的集合是用列举法表示，则用 Venn 图求解 跟踪训练 1若集合 Ax|1x1，当 U 分别取下列集合时，求UA. (1)UR； (2)Ux|x2； (3)Ux|4x1 解(1)把集合 U 和 A 表示在数轴上，如图所示 由图知UAx|x1
5、或 x1 (2)把集合 U 和 A 表示在数轴上，如图所示 由图知UAx|x1 或 1x2 (3)把集合 U 和 A 表示在数轴上，如图所示 由图知UAx|4x1 或 x1 二、交、并、补集的综合运算 例 2已知全集 UR，Ax|x0，Bx|x1，则集合U(AB)等于() Ax|x0Bx|x1 Cx|0 x1Dx|0 x1 答案D 解析ABx|x0，或 x1，则U(AB)x|0 x1，故选 D. 反思感悟解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集 的定义来求解在解答过程中常常借助于 Venn 图来求解 (2)如果所给集合是
6、无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后 进行交、并、补集的运算解答过程中要注意边界问题 跟踪训练 2已知全集 UR，Ax|4x2，Bx|1x3，P x|x0 或 x 5 2， 求 AB，(UB)P，(AB)(UP) 解将集合 A，B，P 分别表示在数轴上，如图所示 因为 UR，Ax|4x2，Bx|1x3， 所以 ABx|1x3 又 P x|x0 或 x 5 2， 所以(UB)P x|x0 或 x 5 2. 又UP x|0 x 5 2， 所以(AB)(UP) x|1x2 x|0 x 5 2 x|0 x2 三、利用集合间的关系求参 例 3已知全集 UR， 集合 Ax|x2
7、 或 x3， Bx|2m1xm7， 若(UA)BB， 求实数 m 的取值范围 解因为 Ax|x2 或 x3， 所以UAx|2x3， 因为(UA)BB，所以 B(UA) 当 B时，即 2m1m7， 所以 m6，满足(UA)BB. 当 B时，所以 2m1m7， 2m12， m73， 无解 故实数 m 的取值范围是m|m6 延伸探究若把本例的条件“(UA)BB”改为“(UA)BB”，则实数 m 的取值范围 为_ 答案m|4m 3 2 解析因为(UA)BB，所以(UA)B， 所以 2m12 或 x2 或 x2， 所以 ABx|x2 (2)因为UAx|2x2，Bx|xa，且UAB， 所以 a2. 1知识
8、清单： (1)全集与补集及性质； (2)混合运算； (3)利用集合间的关系求参 2方法归纳：观察法，分析法，数形结合，分类讨论 3常见误区：自然数集容易遗漏 0 这一重要元素，解决含参的集合运算时要注意空集这一重 要情况 1设全集 Ux|x 是小于 5 的非负整数，A2,4，则UA 等于() A1,3B1,3,5 C0,1,3D0,1,3,5 答案C 2设全集 U 是实数集 R，Mx|x2，Nx|1x3，如图，则阴影部分所表示 的集合为() Ax|2x1Bx|2x3Dx|2x2 答案A 3已知全集 U1,1,3，集合 Aa2，a22，且UA1，则 a 的值是() A1B1C3D1 答案A 4已
9、知 Ux|x0，Ax|2x6，则UA_. 答案x|0 x2 或 x6 解析如图，分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知，UAx|0 x0，则集合U(AB)等于() Ax|x0Bx|x5 CDx|x0 或 x5 答案D 解析由已知 ABx|05 3已知集合 Ax|x 是菱形或矩形，Bx|x 是矩形，则AB 等于() Ax|x 是菱形 Bx|x 是内角都不是直角的菱形 Cx|x 是正方形 Dx|x 是邻边都不相等的矩形 答案B 解析由集合 Ax|x 是菱形或矩形，Bx|x 是矩形，则ABx|x 是内角都不是直角的菱 形 4已知全集 UR，集合 Ax|x4，Bx|2x3，那么阴影部分表示的集 合
10、为() Ax|2x4Bx|x3 或 x4 Cx|2x1Dx|1x3 答案D 解析由题意得，阴影部分所表示的集合为(UA)Bx|1x4x|2x3x| 1x3 5已知全集 U1,2,3,4，且U(AB)4，B1,2，则 A(UB)等于() A3B4 C3,4D 答案A 解析因为全集 U1,2,3,4，且U(AB)4， 所以 AB1,2,3， 又 B1,2，所以UB3,4，A3或1,3或2,3或1,2,3，所以 A(UB)3 6(多选)下列说法中，当 U 为全集时，正确的是() A若 AB，则(UA)(UB)U B若 AB，则 A或 B C若 ABU，则(UA)(UB) D若 AB，则 AB 答案A
11、CD 7设 U0,1,2,3，AxU|x2mx0，若UA1,2，则实数 m_. 答案3 解析由题意可知，AxU|x2mx00,3， 即 0,3 为方程 x2mx0 的两个根， 所以 m3. 8已知全集 Ux|1x5，Ax|1xa，若UAx|2x5，则 a_. 答案2 解析Ax|1xa，UAx|2x5， A(UA)Ux|1x5，且 A(UA)， a2. 9已知集合 Ux|x4，集合 Ax|2x3，集合 Bx|3x2 求：AB；(UA)B；A(UB)；(UA)(UB)； U(AB) 解因为 Ux|x4，Ax|2x3，Bx|3x2， 所以 ABx|2x2，UAx|x2 或 3x4，UBx|x3 或
12、2x4， 所以(UA)Bx|x2 或 3x4， A(UB)x|2x3， (UA)(UB)x|x2 或 2x4， U(AB)x|x2 或 2x4 10已知集合 Ax|x2ax12b0和 Bx|x2axb0，满足(RA)B2，A(RB) 4，求实数 a，b 的值 解由条件(RA)B2和 A(RB)4，知 2B，但 2A；4A，但 4B.将 x2 和 x 4 分别代入 B，A 两集合中的方程得 222ab0， 424a12b0， 即 42ab0， 4a3b0， 解得 a8 7，b 12 7 ，即为所求 11已知 U 为全集，集合 M，N 是 U 的子集若 MNN，则() A(UM)(UN)BM(UN
13、) C(UM)(UN)DM(UN) 答案C 解析MNN，NM，(UM)(UN) 12 设全集 UR， 集合 Ax|x1 或 x3， 集合 Bx|kxk1， kR， 且 B(UA)， 则() Ak3B2k3 C0k3D1k3 答案C 解析Ax|x1 或 x3， UAx|1x3 若 B(UA)， 则 k11 或 k3，即 k0 或 k3， 若 B(UA)，则 0k1，Bx|xa，且(UA)BR，则实数 a 的取值范围是 _ 答案a|a1 解析因为 Ax|x1，Bx|xa， 所以UAx|x1，由(UA)BR，可知 a1. 15 用 card(A)来表示有限集合 A 中元素的个数， 已知全集 UAB， D(UA)(UB)， card(U) m，card(D)n，若 AB 非空，则 card(AB)等于() AmnBmn CnmDmn 答案D 16已知 Ax|1x3，Bx|mx13m (1)当 m1 时，求 AB； (2)若 BRA，求实数 m 的取值范围 解(1)当 m1 时，Bx|1x4， ABx|1x3， 当 B，即 m13m 时， 得 m1 2，满足 B RA； 当 B时，要使 BRA 成立， 即 m13m， 13m1 或 m3， 解得 m3， 综上所述，实数 m 的取值范围是 m3 或 m1 2.
