1、2.1等式性质与不等式性质等式性质与不等式性质 第第 1 课时课时不等关系与不等式不等关系与不等式 学习目标1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大 小 导语 大家知道，相等关系与不等关系是数学中、也是日常生活中最基本的关系比如说：长与短、 远与近的比较；比如说：同学们之间高与矮、轻与重的比较；比如说：国家人口的多少、面 积的大小的比较；再比如说：新冠疫情传播速度的快与慢的比较正所谓：“横看成岭侧成 峰，远近高低各不同” 一、用不等式(组)表示不等关系 问题 1生活中，我们经常看到下列标志，你知道它们的意思吗？你能用一个数学式子表示 下列关系吗？ 提示最低
2、限速 50 km/h，v50；限制质量 10 t,010；限制高度 3.5 m,0h3.5； 限制宽度 3 m,0 x3；时间范围 7：3010：00,7.5t10. 问题 2你能用不等式或不等式组表示下列问题的不等关系吗？ (1)某社会团体成员要求，男性成员人数 m 应不多于 50 人，女性成员人数 n 不少于 10 人 (2)某大学生应聘某公司，要求月薪不低于 3 000； (3)若小明身高为 x，小华的身高为 y，则小明比小华矮； (4)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； (5)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短(如图) 提示(1) m50，mN*， n10，
3、nN*. (2)设月薪为 x 元，则 x3 000；(3)xc， abc ； (5)CD 注意点： (1)仔细审题，尤其注意同一个题目的单位是否一致；(2)用适当的不等号连接；(3)多个不等关 系用不等式组表示 例 1某汽车公司因发展需要， 需购进一批汽车， 计划使用不超过 1 000 万元的资金购买单价 分别为 40 万元、90 万元的 A 型汽车和 B 型汽车，根据需要，A 型汽车至少买 5 辆，B 型汽 车至少买 6 辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组) 解设购买 A 型汽车和 B 型汽车分别为 x 辆、y 辆， 则 40 x90y1 000， x5， y6， x，yN*. 反思感
4、悟用不等式(组)表示不等式关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等式关系的关键词语：至多、至少、大于等 (2)适当的设未知数表示变量 (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式 此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围 跟踪训练 1用不等式或不等式组表示下面的不等关系 (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度 h(单位：m)从地面算起不能超过 4 m； (2)a 与 b 的和是非负实数； (3)如图， 在一个面积小于 350m2的矩形地基中心位置上建造一个仓库， 仓库的四周建成绿地， 仓库的长 L(单位：m)大于宽 W(单位：m)的 4 倍 解(1)0
5、0， W0， L4W， L10W10350. 二、作差法比较大小 问题 3在初中，我们知道由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置 关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？ 提示设 a，b 是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是 A，B.那么，当点 A 在点 B 的左 边时，ab. 知识梳理 基本事实 依据 abab0 abab0 abab0， (2x25x3)(x24x2)0， 2x25x3x24x2. 反思感悟作差法比较两个实数大小的基本步骤 跟踪训练 2比较(x3)(x7)和(x4)(x6)的大小 解因为(x3)(x7)(x4)(x6) (x210 x21)(x2
6、10 x24)30， 所以(x3)(x7)2ab. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即 ab 时，正方形 EFGH 缩为一个点，这时有 a2b2 2ab. 于是就有 a2b22ab. 证明 a2b22ab(ab)2. 因为a，bR，(ab)20， 当且仅当 ab 时，等号成立， 所以 a2b22ab0. 因此，由两个实数大小比较的基本事实，得 a2b22ab， 当且仅当 ab 时，等号成立 例 3已知 a0，b0. (1)求证：a23b22b(ab)； (2)求证：a3b3ab2a2b. 证明(1)a23b22b(ab)a22abb2(ab)20， 当且仅当 ab 时，等号成立， a23b22
7、b(ab) (2)因为 a3b3(ab2a2b)a3b3ab2a2ba3ab2b3a2ba(a2b2)b(b2a2)(a2 b2)(ab)(ab)(ab)2， 因为 a0，b0，所以(ab)(ab)20， 当且仅当 ab 时，等号成立， 所以 a3b3(ab2a2b)0，所以 a3b3ab2a2b. 反思感悟比较两个数的大小关系，最基本的方法是利用作差法，通过因式分解或配方的方 法，把“差”转化成几个因式乘积的形式，通过逻辑推理得到每一个因式的符号，从而判定 两个数的大小关系，通过逻辑推理进行证明 跟踪训练 3已知 a0，求证：a1 a2. 证明方法一利用 a2b22ab. a0，a1 a(
8、a) 2 1 a 22 a 1 a2. 当且仅当 a1 时，等号成立 方法二a1 a2( a) 2 1 a 22 a 1 a 20， a1 a2. 1知识清单： (1)用不等式(组)表示不等关系 (2)作差法比较大小 (3)重要不等式 2方法归纳：作差法 3常见误区：实际问题中变量的实际意义 1某高速公路要求行驶的车辆的速度 v 的最大值为 120 km/h，同一车道上的车间距 d 不得 小于 10 m，用不等式表示为() Av120 km/h 且 d10 m Bv120 km/h 或 d10 m Cv120 km/h Dd10 m 答案A 解析v 的最大值为 120 km/h，即 v120
9、km/h，车间距 d 不得小于 10 m，即 d10 m. 2完成一项装修工程，请木工需付工资每人 50 元，请瓦工需付工资每人 40 元，现有工人工 资预算 2 000 元，设木工 x 人，瓦工 y 人，则请工人满足的关系式是() A5x4yNBMN CM0，MN. 4若实数 ab，则 a2ab_bab2.(填“”或“ 解析因为(a2ab)(bab2)(ab)2， 又 ab，所以(ab)20. 课时对点练课时对点练 1下面能表示“a 与 b 的和是非正数”的不等式为() Aab0 Cab0Dab0 答案C 解析a 与 b 的和是非正数，即 ab0. 2李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，
10、他现在已存 60 元，计划从现在起以后每个 月节省 30 元，直到他至少有 400 元设 x 个月后他至少有 400 元，则可以用于计算所需要的 月数 x 的不等式是() A30 x60400B30 x60400 C30 x60400D30 x40400 答案B 3某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩 x 不低于 95 分，文化课总分 y 高于 380 分， 体育成绩 z 超过 45 分，用不等式(组)表示就是() A. x95， y380， z45 B. x95， y380， z45 C. x95， y380， z45 D. x95， y380， z45 答案D 解析“不低于”即“”，“
11、高于”即“”，“超过”即“”，x95，y380，z45. 4若 xR，yR，则() Ax2y22xy1Bx2y22xy1 Cx2y20， 所以 x2y22xy1. 5已知 0a11,0a21，记 Ma1a2，Na1a21，则 M 与 N 的大小关系是() AMN CMNDMN 答案B 解析0a11,0a21， 1a110，1a210， MN. 6(多选)下列说法正确的是() A某人月收入 x 不高于 2 000 元可表示为“xy” C某变量 x 至少为 a 可表示为“xa” D某变量 y 不超过 a 可表示为“ya” 答案BCD 解析对于 A，x 应满足 x2 000，故 A 错；BCD 正确
12、 7某商品包装上标有重量 5001 克，若用 x 表示商品的重量，则该商品的重量可用含绝对值 的不等式表示为_ 答案|x500|1 解析某商品包装上标有重量 5001 克， 若用 x 表示商品的重量，则1x5001， |x500|1. 8若 x(a3)(a5)，y(a2)(a4)，则 x 与 y 的大小关系是_ 答案xy 解析因为 xy(a3)(a5)(a2)(a4) (a22a15)(a22a8)70， 所以 x1.5， 身高不足 1.2 米可表示为 h1.5h5 时，y1y2； 当 ny2，所以，当单位去的人数为 5 时，两辆车收费相同；多于 5 时，选甲车队更 优惠；少于 5 时，选乙车
13、队更优惠 11足球赛期间，某球迷俱乐部一行 56 人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有 A，B 两个出租车队，A 队比 B 队少 3 辆车若全部安排乘 A 队的车，每辆车坐 5 人，车不够， 每辆车坐 6 人，有的车未坐满；若全部安排乘 B 队的车，每辆车坐 4 人，车不够，每辆车 坐 5 人，有的车未坐满则 A 队有出租车() A11 辆B10 辆C9 辆D8 辆 答案B 解析设 A 队有出租车 x 辆， 则 B 队有出租车(x3)辆，由题意，得 5x56， 4x356， xN*， 解得 x91 3， x81 5. 91 3x1，a21，设 P 1 a1 1 a2，Q 1 a1a21，则
14、 P 与 Q 的大小关系为( ) APQBP1，a21， 所以 a110,1a20， 所以 PQa111a2 a1a2 0，所以 Ph1h4Bh1h2h3 Ch3h2h4Dh2h4h1 答案A 解析根据四个杯的形状分析易知 h2h1h4或 h2h3h4. 14设 P 2，Q 7 3，R 6 2，则将 P，Q，R 按从大到小的顺序排列为_ 答案PRQ 解析PR 2( 6 2)2 2 60， PR. RQ 6 2( 7 3)( 6 3)( 7 2)， ( 6 3)292 18，( 7 2)292 14， 6 3 7 2，RQ， PRQ. 15已知 a，bR，若 ab1，则 a2b2的最小值是_，当且仅当 ab_， 取得最小值 答案21 解析根据 a2b22ab(ab)20，故 a2b22ab2，当且仅当 ab0 即 ab1 时 等号成立 16有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住 4 人，那么还余 19 人，如果每间住 6 人，那么 只有一间不满但不空，求宿舍间数和学生人数 解设宿舍有 x 间，则学生有(4x19)人，依题意，得 4x196x1， 解得19 2 x25 2 . xN*，x10,11 或 12.学生人数分别为 59,63,67.故宿舍间数和学生人数分别为 10 间 59 人，11 间 63 人或 12 间 67 人
