1、第第 4 课时课时函数函数 yAsin(x)的性质的性质(二二) 学习目标1.结合三角恒等变换中的有关公式，研究三角函数 yAsin(x)的综合性问 题.2.构建三角函数模型，解决实际问题 导语 同学们，大家有没有看过武侠玄幻之类的电影，大家是不是经常被里面武功盖世的男女主人 公所吸引，显然，练就一身好武功，需要对每一个动作追求完美，在这个过程中需要付出常 人所不能的泪水与汗水，同学们，到目前为止，我们已经把三角函数中的每一个“动作”都 已训练完毕，现在，我们要把这些“动作”组合在一起，去发挥它更大的作用 一、函数 yAsin(x)的综合问题 问题 1如何利用辅助角公式对函数 yasin xb
2、cos x 进行合并？ 提示yasin xbcos x a2b2sin(x) 例 1已知函数 f(x)sin 2x 6 4sin2x2(0)，其图象与 x 轴的两个相邻交点的距离 为 2. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)若将 f(x)的图象向左平移 m(m0)个单位长度得到的函数 g(x)的图象恰好经过点 3，0， 求当 m 取得最小值时，g(x)在 6， 7 12 上的单调区间 解(1)f(x)sin 2x 6 4sin2x2 3 2 sin 2x1 2cos 2x4 1cos 2x 2 2 3 2 sin 2x3 2cos 2x 3sin 2x 3 ， T 2 2，T，T 2 2
3、，解得1， f(x) 3sin 2x 3 . (2)将 f(x)的图象向左平移 m(m0)个单位长度得到 g(x)的图象， g(x) 3sin 2x2m 3 ， 函数 g(x)的图象经过点 3，0， 3sin 2 3 2m 30，即 sin 2m 3 0， 2m 3k，kZ， mk 2 6，kZ， m0，当 k0 时，m 取得最小值 6， 此时，g(x) 3sin 2x2 3 . 令 6x 7 12，则 32x 2 3 11 6 ， 当 32x 2 3 2或 3 2 2x2 3 11 6 ， 即当 6x 12或 5 12x 7 12时，函数 g(x)单调递增； 当 22x 2 3 3 2 ，即
4、 12x 5 12时，函数 g(x)单调递减， g(x)在 6， 7 12 上的单调递增区间为 6， 12 ， 5 12， 7 12 ；单调递减区间为 12， 5 12 . 反思感悟对于综合性问题，需要准备之前所学知识，熟悉诱导公式、两角和差的正弦余弦 公式、二倍角公式等，熟悉三角函数的性质，函数图象的特点 跟踪训练 1已知函数 f(x) 3sin xcos xcos2x1 2(0)的两条相邻对称轴之间的距离 为 2. (1)求的值； (2)将函数 f(x)的图象向左平移 6个单位长度， 再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长为原 来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数 yg(x)的图象，若函数
5、yg(x)k 在区间 6， 2 3 上存 在零点，求实数 k 的取值范围 解(1)f(x) 3sin xcos xcos2x1 2 3 2 sin 2xcos 2x1 2 1 2 3 2 sin 2x1 2cos 2xsin 2x 6 ， 因为函数图象上两条相邻对称轴之间的距离为 2. 所以函数 yf(x)的最小正周期 T， 所以 T2 2 ，解得1. (2)将函数 yf(x)的图象向左平移 6个单位长度后， 得到 ysin 2x 3 6 cos 2x 的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到 ycos x 的图象，故 g(x)cos x， 因为 x 6，
6、 2 3 ， 当 x2 3 时，函数 g(x)取得最小值，g 2 3 1 2； 当 x0 时，函数 g(x)取得最大值，g(0)1， 故 g(x) 1 2，1. 因为函数 yg(x)k 在区间 6， 2 3 上存在零点， 所以 kg(x)有解， 所以实数 k 的取值范围为 1 2，1. 二、利用函数 yAsin(x)解决实际问题 问题 2结合三角函数周期性的变换规律，你认为生活中哪些现象可以构造三角函数模型？ 提示转动的摩天轮、潮起潮落、每天的气温变化等 例 2建设生态文明，是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计某市通宵营业的大型商 场， 为响应节能减排的号召， 在气温超过 28 时， 才开放
7、中央空调降温， 否则关闭中央空调 如 图是该市夏季一天的气温(单位：)随时间(0t24，单位：h)的大致变化曲线，该曲线近 似地满足函数关系 yAsin(t)b(A0，0，|) (1)求函数 yf(t)的解析式； (2)请根据(1)的结论，判断该商场的中央空调应在本天内何时开启？何时关闭？ 解(1)由题图知，T2(142)24， 所以 T2 24，解得 12. 由图知，b1632 2 24，A3216 2 8， 所以 f(t)8sin 12t24. 将点(2,16)代入函数解析式得， 248sin 12216， 得 62k 2(kZ)， 即2k2 3 (kZ)， 又因为|28， 可得 sin
8、12t 2 3 1 2， 所以 2k 6 12t 2 3 2k5 6 (kZ)， 解得 24k10t24k18(kZ)， 令 k0，得 10t0，00,00，0,02)的部分图象如图所示，已知 g(0)g 5 6 3， 函数 yf(x)的图象可由 yg(x)的图象向右平移 3个单位长度而得到，则函数 f(x)的解析式为 () Af(x)2sin 2xBf(x)2sin 2x 3 Cf(x)2sin 2xDf(x)2sin 2x 3 答案A 解析由图象可知 g(x)的最小正周期 T4 5 6 0 2 6 ，2 T 2， 又g(x)在 x5 12时取最小值， 25 12 22k(kZ)， 4 3
9、2k(kZ) 又00)， f 6 f 3 ， 且 f(x)在区间 6， 3 上有最小值，无最大值， 则_. 答案 14 3 解析依题意知 f(x)sin x 3 (0)，f 6 f 3 ，且 f(x)在区间 6， 3 上有最小值，无最 大值， f(x)的图象关于直线 x 6 3 2 对称， 即关于直线 x 4对称， 4 3 3 2 2k，kZ，又 3 6T 2 ， 即 01 时，才对冲浪爱好者开放， y1 2cos 6t11，即 cos 6t0， 则 2k 2 6t2k 2，kZ， 解得 12k3t12k3(kZ) 又 0t24，0t3 或 9t15 或 21t24， 在规定时间内冲浪爱好者只
10、有 6 个小时可以进行活动，即 9t0)个单位长度后，恰好得到函数 g(x)sin 3xcos 3x 的图象，则的值可以为() A. 6 B. 4 C. 2 D 答案D 解析由题意，可知 f(x) 2sin 3x 4 ， g(x) 2 2 2 sin 3x 2 2 cos 3x 2sin 3x3 4 ， 则 3 4 3 4 2k(kZ)，即 3 2k 3 (kZ)， 当 k1 时，. 13同时具有性质“最小正周期是；图象关于直线 x 3对称；在 6， 3 上单调递 增”的一个函数是() Aysin x 2 6Bycos 2x 3 Cysin 2x 6Dycos 2x 6 答案C 解析由知 T2
11、 ，2，排除 A. 由知当 x 3时，f(x)取最大值， 验证知只有 C 符合要求 14 将函数 f(x)sin x 的图象向右平移 3个单位长度后得到函数 yg(x)的图象， 则函数 yf(x) g(x)，x 2，的最小值为_ 答案 3 2 解析由题意得 g(x)sin x 3 ， yf(x)g(x)sin xsin x 3 sin xsin xcos 3cos xsin 3 3 2sin x 3 2 cos x 3sin x 6 . x 2，x 6 3， 5 6 ， 当 x 6 5 6 时，ymin 3 2 . 15 若函数 f(x)sin xcos x2sin xcos x1a 在 3
12、4 ， 4 上有零点， 则实数 a 的取值范 围为() A. 2，2B. 2，9 4 C.2， 2D. 2，9 4 答案A 解析函数 f(x)sin xcos x2sin xcos x1a 在 3 4 ， 4 上有零点， 方程 a1sin xcos x2sin xcos x 在 3 4 ， 4 上有解， 设 tsin xcos x 2sin x 4 ， x 3 4 ， 4 ，x 4 2，0， t 2，0，t212sin xcos x， ysin xcos x2sin xcos xtt21 t1 2 25 4，t 2，0， 当 t0 时，y 取得最大值 1；当 t 2时，y 取得最小值 21，
13、故可得 21a11， 2a2. 16.如图所示，已知 OPQ 是半径为 1，圆心角为 3的扇形，O 是坐标原点，OP 落在 x 轴非负 半轴上，点 Q 在第一象限，C 是扇形弧上的一点，四边形 ABCD 是扇形的内接矩形 (1)当 C 是扇形弧上的四等分点(靠近 Q)时，求点 C 的纵坐标； (2)当 C 在扇形弧上运动时，求矩形 ABCD 面积的最大值 解(1)根据题意，得当 C 是扇形弧上的四等分点(靠近 Q)时，POC 4， 所以点 C 的纵坐标 ysin 4 2 2 . (2)设COP 0 3 ，矩形的面积为 S， 则 SABBC(OBOA)BC cos 3 3 sin sin sin cos 3 3 sin2 1 2sin 2 3 6 cos 2 3 6 3 3 sin 2 6 3 6 ， 所以当 6时，S max 3 3 3 6 3 6 .
