1、3.2函数的基本性质函数的基本性质 3.2.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值 第第 1 课时课时函数的单调性函数的单调性 学习目标1.能借助函数图象理解函数在某区间上单调递增(或递减)和增函数、减函数的概 念.2.理解函数在某区间上具有(严格的)单调性和单调区间的概念.3.能运用定义法证明函数的 单调性 导语 同学们，大家有没有体验过过山车？我可是过山车的资深体验师哦，风驰电掣、疯狂刺激的 上升与下落伴随着呐喊声和尖叫声，简直是一场视觉与听觉的盛宴当然，过山车的设计可 是离不开数学家的身影，我们今天的这节课就和这刺激的游戏有关哦 一、直观感知函数的单调性 问题 1观察下面三个函数图形，他
2、们的图象有什么变化规律？这反映了相应函数值的哪些 变化规律？ 提示函数 yx 的图象从左向右看是上升的；函数 yx2的图象在 y 轴左侧是下降的，在 y 轴右侧是上升的；函数 yx2的图象在 y 轴左侧是上升的，在 y 轴右侧是下降的 问题 2如何理解函数图象是上升的？ 提示按从左向右的方向看函数的图象，意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量 逐渐增大图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大，也就是对应的函数值逐渐增 大也就是说从左向右看图象上升，反映了函数值随着自变量的增大而增大 知识梳理 函数的单调性 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，区间 DI：如果x1，x2D，当 x1x
3、2时，都有 f(x1)f(x2)， 那么就称函数 f(x)在区间 D 上单调递增 特别地，当函数 f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 如果x1，x2D，当 x1f(x2)，那么就称函数 f(x)在区间 D 上单调递减 特别地，当函数 f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 注意点： 区间 D 可以是整个定义域 I， 也可以是定义域的真子集； 同区间性， 即 x1， x2D； 任意性，即不可以用区间 D 上的特殊值代替；有序性，即要规定 x1，x2的大小；“单 调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与 f(x2)的大小”知二求一，但自变量和函数值的不等
4、方向要一致，简称为“步调一致增(减)函数”；单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减) 函数是函数的整体性质 例 1已知函数 f(x)x24|x|3，xR.根据图象写出它的单调区间 解f(x)x24|x|3 x24x3，x0， x24x3，x0. 如图 由图象可知，函数的单调递增区间为2,0)，2，)，单调递减区间为(，2)，0,2) 反思感悟(1)求函数单调区间时， 若所给函数是常见的一次函数、 二次函数、 反比例函数等， 可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图象容易作出，可作出其 图象，根据图象写出其单调区间 (2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“”连
5、接两个单调区间，而要用 “和”或“，”连接 跟踪训练 1画出函数 y|x|(x2)的图象，并指出函数的单调区间 解y|x|(x2) x22xx121，x0， x22xx121，x0， 函数的图象如图实线部分所示 由函数的图象知，函数的单调递增区间为(，0和1，)，单调递减区间为(0,1) 二、利用定义证明函数的单调性 例 2证明函数 f(x) 1 x24在区间(2，)上单调递减 证明x1，x2(2，)，且 x1x2， f(x1)f(x2) 1 x214 1 x224 x22x21 x214x224 x2x1x2x1 x214x224 . 因为 2x10，x214，x224， 所以 f(x1)f
6、(x2)0，即 f(x1)f(x2) 所以函数 f(x) 1 x24在(2，)上单调递减 反思感悟利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值并规定大小：设 x1，x2是该区间内的任意两个值，且 x1x2； (2)作差变形：作差 f(x1)f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判 断正负的关系式； (3)定号：确定 f(x1)f(x2)的符号，当符号不确定时，进行分类讨论 (4)结论：根据定义确定单调性 跟踪训练 2求证：函数 f(x)1 x1 在区间(，0)上单调递增 证明x1，x2(，0)，且 x1x20， 因为 f(x1)f(x2)1 x11 1 x211 x2 1
7、x1 x1x2 x1x2 ， 由题设可得，x1x20， 所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(5x6)，则实数 x 的取值范围为 _ 答案(，1) 解析f(x)在(，)上是增函数，且 f(2x3)f(5x6)， 2x35x6，即 x0， 5x60， 2x33 2， x 的取值范围为 3 2，. 反思感悟由函数单调性求参数范围的处理方法 (1)由函数解析式求参数 若为二次函数判断开口方向与对称轴利用单调性确定参数满足的条件 若为一次函数由一次项系数的正负决定单调性 若为复合函数 y|f(x)|或 yf(|x|)数形结合，探求参数满足的条件 (2)当函数 f(x)的解析式未知时，欲求解不
8、等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号 “f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域 跟踪训练 3已知函数 f(x) x2，x1， 4a 2 x1，x1. 若 f(x)是 R 上的增函数， 则实数 a 的取值 范围为_ 答案4,8) 解析因为 f(x)是 R 上的增函数，所以 4a 20， 4a 211， 解得 4a8. 1知识清单： (1)增函数、减函数的定义 (2)函数的单调区间 2方法归纳：数形结合法 3常见误区： (1)函数的单调区间不能用并集 (2)利用函数的单调性求参数的取值范围忽略函数的定义域 1.函数 yf(x)，x4,4的图象如图所示，则 f
9、(x)的单调递增区间是() A4,4B4，31,4 C3,1D3,4 答案C 解析由图象知单调递增区间为3,1 2若函数 f(x)在 R 上是减函数，则有() Af(3)f(5)Df(3)f(5) 答案C 解析因为函数 f(x)在 R 上是减函数，3f(5) 3若 y(2k1)xb 是 R 上的减函数，则有() Ak1 2 Bk1 2 Ck1 2 Dk1 2 答案C 解析由 2k10，得 k1 2. 4已知 f(x)是定义在 R 上的增函数，且 f(x22)f(x)，则 x 的取值范围是_ 答案(2,1) 解析由 x22x，即 x2x20，解得2x0 B(x1x2)f(x1)f(x2)0 C若
10、 x1x2，则 f(a)f(x1)f(x2)0 答案C 解析因为 f(x)在a，b上单调递增，对于任意的 x1，x2a，b(x1x2)，x1x2与 f(x1)f(x2) 的符号相同，故 A，B，D 都正确，而 C 中应为若 x1x2，则 f(a)f(x1)f(3)Bf(2)f(5) Cf(3)f(5)Df(3)f(6) 答案D 解析f(x)关于 x4 对称且在(4，)上单调递减， f(x)在(，4)上单调递增，且 f(5)f(3)，f(6)f(2)， f(3)f(2)f(6)，故选 D. 5已知函数 f(x)4x2kx8 在(，5上具有单调性，则实数 k 的取值范围是() A(24,40)B2
11、4,40 C(，24D40，) 答案D 解析函数 f(x)4x2kx8 的图象的对称轴方程为 xk 8， 且函数 f(x)4x2kx8 在(，5上具有单调性， 根据二次函数的性质可知k 85，解得 k40，则 k 的取值范围为40，)，故选 D. 6(多选)下列函数中，在区间(，0)上单调递增的是() Af(x)1 x Bf(x)x Cf(x)x2Df(x)1x 答案ABC 解析由函数的图象知 f(x)1 x，f(x)x，f(x)x 2 在(，0)上单调递增，故选 ABC. 7函数 y|x22x3|的单调递增区间是_ 答案1,1和3，) 解析y|x22x3| |(x1)24|， 作出该函数的图
12、象，如图 由图象可知， 其单调递增区间为1,1和3，) 8已知函数 yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且 f(1a)f(2a1)，则实数 a 的取值范围 为_ 答案 0，2 3 解析由题意知 11a1， 12a12a1， 解得 0a2 3，即所求 a 的取值范围是 0，2 3 . 9画出下列函数的图象，并写出它的单调区间 (1)f(x)|x2|； (2)f(x)|x23x2|. 解(1)图象如下， f(x)的单调递增区间为2，)， 单调递减区间为(，2) (2)图象如下， f(x)的单调递增区间为 1，3 2 和2，)， 单调递减区间为(，1)和 3 2，2. 10已知函数 f(x)xa
13、 x a 2在(1，)上单调递增，求实数 a 的取值范围 解设 1x11. 函数 f(x)在(1，)上单调递增， f(x1)f(x2)x1a x1 a 2 x2a x2 a 2 (x1x2) 1 a x1x20. x1x20，即 ax 1x2. x1x21，x1x21，a1. a 的取值范围是1，) 11已知函数 f(x) x24x，x0， 4xx2，xf(a)，则实数 a 的取值范围是() A(，2)B(2，) C(，2)D(2，) 答案A 解析画出 f(x)的图象(图略)可判断 f(x)在 R 上单调递增， 故 f(4a)f(a)4aa， 解得 a1 的实数 x 的取值范 围是() A(3
14、，)B(，3) C2,3)D0,3) 答案C 13已知函数 f(x) x2ax5，x1， a x，x1 在(，)上是增函数，则实数 a 的取值 范围是() A(，2B2,0) C3,0)D3，2 答案D 解析由于函数 f(x) x2ax5，x1， a x，x1 在(，)上是增函数， 因此函数 h(x)x2ax5 在区间(，1上单调递增， g(x)a x在区间(1，)上单调递增， 且 g(1)h(1)，即 a 21， a0， a1a5， 解得3a2，故选 D. 14 若函数 f(x)ax2(a3)x1 在(1， )上单调递减， 则实数 a 的取值范围是_ 答案3,0 解析a0 时，f(x)3x1
15、 在 R 上单调递减， a0 满足条件； a0 时，f(x)ax2(a3)x1， 对称轴为 xa3 2a ， a0， a3 2a 1， 解得3a0， 且满足条件 f(4)1， 对于任意 x1， x2(0， )， 有 f(x1x2) f(x1)f(x2)，且当 x1x2时，有fx2fx1 x2x1 0. (1)求 f(1)的值； (2)如果 f(x6)f(x)2，求 x 的取值范围 解(1)对任意 x1，x2(0，)，有 f(x1x2)f(x1)f(x2)，令 x1x21，得 f(11)f(1) f(1)，即 f(1)2f(1)，f(1)0. (2)设 0 x10，得 f(x2)f(x1)0，即 f(x1)f(16)， f(x6)x)f(16)， x60， x0， x6x16. 解得 x2，x 的取值范围是(2，)
