1、3.2.2奇偶性奇偶性 第第 1 课时课时奇偶性的概念奇偶性的概念 学习目标1.了解函数奇偶性的定义.2掌握判断和证明函数奇偶性的方法.3应用函数的奇偶 性解决简单的求值问题 导语 古语有云：“夫美者，上下，内外，大小，远近皆无害焉，故曰美”大家知道，我国的建 筑，无论宫殿、庙宇、亭台、园林，无不有着对称之美，还能给人以稳重、博大、端庄的感 觉，你能说出生活中和对称有关的例子吗？而对称美在数学中更是体现的淋漓尽致，今天我 们来探究数学中的对称美 一、函数奇偶性的概念 问题 1观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 提示这两个函数图象都关于 y 轴对称 问题 2如何利用符号语
2、言精确地描述“函数图象关于 y 轴对称”呢？不妨取自变量的一些 特殊值，观察下表相应函数值的情况 x3210123 f(x)x29410149 g(x)2|x|1012101 提示可以发现当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等 问题 3观察函数 f(x)x 和 g(x)1 x的图象， 你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你 能用符号语言精确地描述这一特征吗？并自主探究结果 提示可以发现，两个函数的图象都关于原点成中心对称图形 知识梳理 偶函数的定义：一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果xI，都有xI，且 f(x)f(x)， 那么函数 f(x)就叫做偶函数 奇函数的定义： 一般
3、地， 设函数 f(x)的定义域为 I， 如果xI， 都有xI， 且 f(x)f(x)， 那么函数 f(x)就叫做奇函数 注意点： 函数的奇偶性是函数的整体性质； 先判断定义域是否关于原点对称， 如果xI， 都有xI，即便定义域关于原点对称，还需判断 f(x)与 f(x)的关系，若 f(x)f(x)，则函 数是偶函数，若 f(x)f(x)，则函数是奇函数，若 f(x)f(x)，则函数为非奇非偶函数； 偶函数图象关于 y 轴对称，奇函数图象关于原点对称；若奇函数在原点处有意义，则必 有 f(0)0；若 f(x)f(x)，且 f(x)f(x)，则 f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的 函数有且只
4、有一类，即 f(x)0，xD，D 是关于原点对称的实数集 二、函数奇偶性的判断 例 1判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)|x|； (2)f(x) x21 1x2； (3)f(x) x x1. (4)f(x)x1 x. 解(1)函数 f(x)的定义域为 R，关于原点对称，又 f(x)|x|x|f(x)，f(x)为偶函 数 (2)函数 f(x)的定义域为1,1，关于原点对称，且 f(x)0，又 f(x)f(x)，f(x)f(x)， f(x)既是奇函数又是偶函数 (3)函数 f(x)的定义域为x|x1，不关于原点对称， f(x)是非奇非偶函数 (4)函数 f(x)的定义域为x|x0，xx|x0，
5、都有xx|x0， 且 f(x)x 1 x x1 x f(x)， f(x)是奇函数 反思感悟判断函数奇偶性的方法： (1)定义法： (2)图象法： 跟踪训练 1判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)1 x； (2)f(x)x2(x22) 解(1)f(x)1 x的定义域为(，0)(0，)， f(x)1 xf(x)， f(x)1 x是奇函数 (2)f(x)x2(x22)的定义域为 R. f(x)f(x)， f(x)x2(x22)是偶函数 三、奇、偶函数的图象及应用 例 2已知函数 yf(x)是定义在 R 上的偶函数， 且当 x0 时， f(x)x22x.现已画出函数 f(x) 在 y 轴左侧的图象，如
6、图所示 (1)请补全函数 yf(x)的图象； (2)根据图象写出函数 yf(x)的单调递增区间； (3)根据图象写出使 f(x)0 的 x 的取值集合 解(1)由题意作出函数图象如图 (2)由图可知，单调递增区间为(1,0)，(1，) (3)由图可知，使 f(x)0 的 x 的取值集合为x|2x2，且 x0 延伸探究若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？ 解(1)由题意作出函数图象如图所示 (2)由图可知，单调递增区间为(1,1) (3)由图可知，使 f(x)0 的 x 的取值集合为x|2x2 反思感悟巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数图象关于原点对称
7、，偶函数图象关于 y 轴对称 (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题 跟踪训练 2定义在3，11,3上的函数 f(x)是奇函数，其部分图象如图所示 (1)请在坐标系中补全函数 f(x)的图象； (2)比较 f(1)与 f(3)的大小 解(1)由于 f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示 (2)观察图象，知 f(3)1)是奇函数，则 a 等于() A1B0 C1D无法确定 答案C 解析奇函数的定义域关于原点对称， a10，即 a1. 2下列图象表示的函数中具有奇偶性的是() 答案B 解析选项 A 中的图象关于原点或 y 轴均不对称，故排除；
8、选项 C，D 中的图象表示的函数 的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项 B 中的图象关于 y 轴对称，其表示 的函数是偶函数 3(多选)下列函数是奇函数的是() Ayx(x0,1)By3x2 Cy1 x Dyx|x| 答案CD 解析利用奇函数的定义，首先定义域关于原点对称，排除选项 A； 又奇函数需满足 f(x)f(x)，排除选项 B. 4已知函数 yf(x)为偶函数，其图象与 x 轴有四个交点，则方程 f(x)0 的所有实根之和是 _ 答案0 解析由于偶函数的图象关于 y 轴对称，所以偶函数的图象与 x 轴的交点也关于 y 轴对称， 因此，四个交点中，有两个在 x 轴的负半轴上
9、，另两个在 x 轴的正半轴上，所以四个实根的 和为 0. 课时对点练课时对点练 1已知 yf(x)，x(a，a)，F(x)f(x)f(x)，则 F(x)是() A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数 答案B 解析F(x)f(x)f(x)F(x)， 又 x(a，a)关于原点对称， F(x)是偶函数 2若 f(x)3x35xa1 为奇函数，则 a 的值为() A0B1C1D2 答案C 解析f(x)为 R 上的奇函数， f(0)0，得 a1. 3若函数 f(x)满足fx fx 1，则 f(x)的图象的对称轴是() Ax 轴By 轴 C直线 yxD不能确定 答案B 解析 fx fx
10、 1f(x)f(x)，f(x)为偶函数， 其图象的对称轴为 y 轴 4如图，给出奇函数 yf(x)的局部图象，则 f(2)f(1)的值为() A2B2C1D0 答案A 解析f(2)f(1)f(2)f(1) 3 2 1 22. 5(多选)若 f(x)为 R 上的奇函数，给出下列四个说法，其中一定正确的为() Af(x)f(x)0Bf(x)f(x)2f(x) Cf(x)f(x)0D. fx fx1 答案AB 解析f(x)在 R 上为奇函数，f(x)f(x) f(x)f(x)f(x)f(x)0，故 A 正确 f(x)f(x)f(x)f(x)2f(x)，故 B 正确 当 x0 时，f(x)f(x)0，
11、故 C 不正确 当 x0 时， fx fx分母为 0，无意义，故 D 不正确 6(多选)下列函数中为奇函数的是() Af(x)x3Bf(x)x5 Cf(x)x1 x Df(x)1 x2 答案ABC 解析选项 ABC 中的函数满足定义域关于原点对称，且 f(x)f(x)，由奇函数的定义可 知选 ABC. 7设偶函数 f(x)的定义域为5,5，若当 x0,5时，f(x)的图象如图所示，则不等式 f(x)0 的解集是_ 答案x|5x2 或 2x5 解析因为偶函数的图象关于 y 轴对称，所以可根据对称性确定不等式 f(x)0 的解集 因为当 x0,5时，f(x)0 的解集为x|2x5， 所以当 x5,
12、0时，f(x)0 的解集为x|5x2 所以 f(x)0 的解集是x|5x2 或 20 时， f(x)的图象如图所示， 那么 f(x) 的值域是_ 答案3，1)(1,3 解析因为当 0 x3 时，函数单调递增，由图象可知 1f(x)3，由于函数 f(x)是奇函数，所 以当3x0 时，3f(x)0， x2x，x0 时，x0， 则 f(x)(x)2(x)x2xf(x)； 当 x0， 则 f(x)(x)2(x)x2xf(x)， 所以 f(x)是偶函数 10(1)如图，给出奇函数 yf(x)的局部图象，试作出 y 轴右侧的图象并求出 f(3)的值； (2)如图，给出偶函数 yf(x)的局部图象，试作出
13、y 轴右侧的图象并比较 f(1)与 f(3)的大小 解(1)奇函数 yf(x)在 y 轴左侧图象上任一点 P(x，f(x)关于原点的对称点为 P(x， f(x)，图为图补充后的图象，易知 f(3)2. (2)偶函数 yf(x)在 y 轴左侧图象上任一点 P(x，f(x)关于 y 轴的对称点为 P(x，f(x)， 图为图补充后的图象，易知 f(1)f(3) 11已知 f(x)ax3bx2是定义在a1,3a上的奇函数，那么 ab 等于() A1 4 B.1 4 C.1 2 D1 2 答案B 解析f(x)ax3bx2是定义在a1,3a上的奇函数， 定义域关于原点对称，即 a13a0，解得 a1 4，
14、 则函数 f(x)1 4x 3bx2. 再由奇函数的定义得 f(x)f(x)， 1 4x 3bx2 1 4x 3bx2 ， b0，则 ab1 4. 12函数 f(x) 1，x 是有理数， 0，x 是无理数 是() A奇函数B偶函数 C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数 答案B 解析若 x 是有理数，则x 也是有理数， f(x)f(x)1；若 x 是无理数，则x 也是无理数， f(x)f(x)0. 函数 f(x)是偶函数 13(多选)设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中 不正确的是() Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)
15、是奇函数 Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数 答案ABD 解析f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数再根据两个奇函数 的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得 f(x)|g(x)|为奇函数 14已知定义域为a4,2a2的奇函数 f(x)2 021x35xb2，则 f(a)f(b)的值为 _ 答案0 解析奇函数的图象关于原点对称， 所以 a42a20， 所以 a2， 因为函数 f(x)是奇函数， 所以 f(0)0， 即 b20，故 b2， 所以 f(a)f(b)f(2)f(2)f(2)f(
16、2)0. 15已知函数 f(x)x 2x1 x21 ，若 f(a)2 3，则 f(a)_. 答案 4 3 解析根据题意，f(x)x 2x1 x21 1 x x21， 而 h(x) x x21是奇函数， 故 f(a)1h(a)1h(a)21h(a) 2f(a)22 3 4 3. 16已知函数 f(x)对一切实数 x，y 都有 f(xy)f(x)f(y)， (1)求证：f(x)是奇函数； (2)若 f(3)a，试用 a 表示 f(12) (1)证明由已知 f(xy)f(x)f(y)， 令 yx 得 f(0)f(x)f(x)， 令 xy0 得 f(0)2f(0)， 所以 f(0)0. 所以 f(x)f(x)0， 即 f(x)f(x)， 故 f(x)是奇函数 (2)解由(1)知 f(x)为奇函数 所以 f(3)f(3)a，所以 f(3)a. 又 f(12)f(6)f(6)2f(3)2f(3)4f(3)， 所以 f(12)4a.
