1、4.2.2指数函数的图象与性质指数函数的图象与性质(二二) 学习目标1.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式.2.能利用函数的单调性求 简单的函数定义域与值域的问题 一、利用单调性比较大小 例 1(1)1.11.1，1.10.9；(2)0.1 0.2，0.10.9；(3)30.1，0.1； (4)1.70.1，0.91.1；(5)0.70.8，0.80.7. 解(1)因为 y1.1x是增函数，1.10.9，故 1.11.11.10.9. (2)因为 y0.1x是减函数，0.20.10.9. (3)因为 yx0.1在(0，)上单调递增，3，故 30.11.701，0.91.10.91.1
2、. (5) 取 中 间 值 0.70.7， 因 为 0.70.80.70.70.80.7， 故 0.70.80.80.7( 也 可 取 中 间 值 0.80.8， 即 0.70.80.80.80.80.7) 反思感悟一般地，比较幂大小的方法有 (1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断 (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断 (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断 跟踪训练 1(1)下列大小关系正确的是() A0.4330.40B0.43030.4 C30.40.430D030.40.43 答案B 解析0.430.4
3、0103030.4. (2)设 a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则 a，b，c 的大小关系是() AabcBacb CbacDbc1.501,0.60.60.60.6， 又函数 y0.6x在 R 上是减函数，且 1.50.6， 0.61.50.60.6，故 0.61.50.60.61.50.6. 即 bac. 二、简单的指数不等式的解法 例 2(1)解不等式 1 2 3x12； (2)已知 2 31xx a 0，a1)，求 x 的取值范围 解(1)2 1 2 1， 原不等式可以转化为 1 2 3x1 1 2 1. y 1 2 x在 R 上是减函数， 3x11，x0， 故原不等式
4、的解集是x|x0 (2)分情况讨论：当 0a0，a1)在 R 上是减函数， x23x1x6， x24x50， 解得 x5； 当 a1 时，函数 f(x)ax(a0，a1)在 R 上是增函数， x23x1x6， x24x50，解得1x5， 综上所述，当 0a1 时， x 的取值范围是x|x5； 当 a1 时，x 的取值范围是x|1xag(x)(a0，a1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的 习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即 af(x)ag(x)f(x)g(x)(a1)或 f(x)g(x)(0a1) 跟踪训练 2(1)求下列函数的定义域 y1 1 2 x；y 2x1. 解
5、由题意知 1 1 2 x0， 1 2 x1 1 2 0， x0，函数 y1 1 2 x的定义域为0，) 由 2x10 解得 x0， 函数 y 2x1的定义域是0，) (2)不等式 23 2x0.53x4的解集为_ 答案x|x1 解析原不等式可化为 23 2x243x， 因为函数 y2x是 R 上的增函数， 所以 32x43x，解得 x1，则不等式的解集为x|x1,0a1 两种情 况讨论，单调性确定后，根据单调性求最值即可 (2)特别地，如果是最大值与最小值的和，则不需要讨论，因为无论单调递增还是递减，最值 总在端点处取到 跟踪训练 3若 2 1 2x 1 4 x2，则函数 y2x的值域是( )
6、 A. 1 8，2B. 1 8，2C. ，1 8D2，) 答案B 解析由 2 1 2x 1 4 x2242x得， x2142x，解得3x1，所以 2 32x2， 即函数 y2x的值域是 1 8，2. 四、指数函数图象和性质的综合运用 例 4已知定义域为 R 的函数 f(x)2 xa 2x1 是奇函数 (1)判断并证明该函数在定义域 R 上的单调性； (2)若对任意的 tR，不等式 f(t22t)f(2t2k)0 恒成立，求实数 k 的取值范围 解(1)由题意，得 f(0)1a 2 0， 所以 a1，所以 f(x)12 x 12x， 该函数是减函数，证明如下： 任取 x1，x2R，x1x2， f
7、(x2)f(x1) 21 21 1 21 2 1 21 2 xx xx 12 12 2 22 1 21 2 xx xx . 因为 x1x2，所以 0 12 22 xx ， 所以 12 22 xx 0， 所以 f(x2)f(x1)0，即 f(x2)f(x1) 所以该函数在定义域 R 上是减函数 (2)由 f(t22t)f(2t2k)0， 得 f(t22t)f(2t2k) 因为 f(x)是奇函数，所以 f(t22t)k2t2， 即 3t22tk0 对任意 tR 恒成立， 所以412k0，得 k0，函数 f(x)4 x a a 4x是定义域为 R 的偶函数 (1)求实数 a 的值； (2)求 f(x
8、)在1,3上的值域 解(1)由 f(x)f(x)，得4 x a a 4x 4 x a a 4 x， 即 4x 1 aa 1 4x a1 a 0， 所以 4x1 4x 1 aa0， 根据题意，可得1 aa0， 又 a0，所以 a1. (2)由(1)可知 f(x)4x1 4x， 设任意的 x1，x2(0，)，且 x1x2， 则 f(x1)f(x2) 12 12 11 44 44 xx xx 12 12 1 441 4 xx xx . 因为 0 x1x2，所以 12 44 xx ， 所以 12 44 xx 0，所以 12 4x x 1， 所以 1 12 1 4x x 0， 所以 f(x1)f(x2)
9、0， 即 f(x1)1 还是 0a0.3n，则 m，n 的大小关系为() AmnBm0.3n，所以 m0 时，f(x) 1 2 x是减函数 3函数 f(x) 12x 1 x3的定义域为( ) A(3,0B(3,1 C(，3)(3,0D(，3)(3,1 答案A 解析由题意知， 自变量 x 应满足 12x0， x30， 解得 x0， x3， 所以函数 f(x)的定义域为( 3,0 4不等式 2 224 11 22 xxx 的解集为_ 答案(1,2) 解析因为 y 1 2 x是减函数， 且 2 224 11 22 xxx ， 所以 x22x2x4， 即 x23x20， 解得 1x2. 课时对点练课时
10、对点练 1方程 42x 116 的解是( ) Ax3 2 Bx3 2 Cx1Dx2 答案B 解析42x 142，2x12，x3 2. 2若 1 4 2a1 1 4 82a，则实数 a 的取值范围是( ) A. 7 4，B(1，) C(，1)D. ，7 4 答案A 解析因为函数 y 1 4 x在 R 上为减函数， 且 1 4 2a182a，所以 a7 4. 3(多选)已知实数 a，b 满足等式 2 021a2 022b，下列等式可以成立的是() Aab0Bab0C0abD0ba 答案ABD 解析如图，观察易知，ab0 或 0bcbBabc CcabDbca 答案A 解析因为 y 2 5 x(x0
11、)为增函数，所以 ac. 因为 y 2 5 x(xR)为减函数，所以 cb， 所以 acb. 7已知函数 f(x)n3 x2 3x1 为奇函数，则 n 的值为_ 答案2 解析因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数， 所以 f(0)n2 110，解得 n2. 8函数 y 2x 18的定义域是_ 答案4，) 解析由题意得 2x 180，即 2x1823， x13，解得 x4. 9比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和 1.53.2； (2)0.6 1.2和 0.61.5； (3)1.50.3和 0.81.2. 解(1)函数 y1.5x在 R 上是增函数，2.53.2， 1.52.51.5，
12、0.6 1.21.501， 又 0.81.20.81.2. 10已知指数函数 f(x)的图象过点 P(3,8)，且函数 g(x)的图象与 f(x)的图象关于 y 轴对称，又 g(2x1)0 且 a1)， 因为 f(3)8，所以 a38，即 a2，所以 f(x)2x， 又因为 g(x)与 f(x)的图象关于 y 轴对称， 所以 g(x) 1 2 x， 因此由 g(2x1)g(3x)， 即 1 2 2x13x，解得 x1. 所以 x 的取值范围为(，1) 11(多选)以下关于数的大小的结论中正确的是() A1.72.51.73B0.8 0.10.80.2 C1.50.4 1 4 1 4 答案AB
13、解析函数 y1.7x在 R 上为增函数，2.53， 1.72.50.2， 0.8 0.11.501,0.82.60.82.6，C 错误； 12 1 3 1 3 1 3 41 81， 12 1 4 1 4 1 4 31 64， 1 81 1 64， 1 3 1 3 0，且 a1)在(0,2)内的值域是(1，a2)，则函数 yf(x)的大致图象是 () 答案B 解析因为函数 f(x)ax(a0，且 a1)在(0,2)内的值域是(1，a2)，又指数函数是单调函数， 所以 a1.由底数大于 1 的指数函数的图象上升，且在 x 轴上方，可知 B 正确 13 设定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x
14、)2x4(x0)， 若 f(x2)0， 则 x 的取值范围是() A(，0)B(0,4) C(4，)D(，0)(4，) 答案D 解析当 x0 时，令 f(x)2x40，解得 x2. 又f(x)是定义在 R 上的偶函数， 其图象关于 y 轴对称，不等式 f(x)0 在 R 上的解集为(，2)(2，) 不等式 f(x2)0 等价为 x2(，2)(2，)，解得 x(，0)(4，) 14函数 f(x) x3a，x0，且 a1)是 R 上的减函数，则 a 的取值范围是 _ 答案 1 3，1 解析由题意知 f(x)是 R 上的减函数， 则 0a1， 3aa0， 即1 3a1. 故 a 的取值范围是 1 3
15、，1. 15定义运算：ab b，ab， a，a0， 函数 f(x)的图象如图， 由图可知 f(x)的值域为(0,1 16已知函数 f(x)2 x. (1)求 f(0) 3 2 2 22 2的值； (2)若函数 h(x)f(x)g(x)，且 h(x)，g(x)满足下列条件： h(x)为偶函数； h(x)2 且xR 使得 h(x)2； g(x)0 且 g(x)恒过(0,1)点 写出一个符合题意的函数 g(x)，并说明理由 解(1)由题意知 f(0) 3 2 2 22 220 3 2 2 1 2 22 21 31 2 22 2 1200. (2)满足题意的函数 g(x)2x. 证明如下：因为 h(x)2x2 x， 所以 h(x)2 x2(x)2x2xh(x)， 所以 h(x)2x2 x为偶函数 h(x)2x2 x2 2x2x2 2xx2 202，当且仅当 2x2x， 即 x0 时等号成立， g(x)2x0，g(x)恒过(0,1)点
