1、第第 4 课时课时二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式 学习目标1.会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公 式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用 导语 同学们，唐代诗人王维曾写出“独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲”，一个“倍”字道出了 思念亲人的急迫心情，这里的“倍”何止二倍、三倍，更是百倍、千倍，就像大家期盼寒假 一样的心情，同学们，让我们加倍努力，期待我们的成绩加倍提高，说不定，寒假时，你们 的父母会对你们有加倍的奖励哦，今天，就让我们共同探究三角函数中的“二倍”关系 一、二倍角的正弦、余弦、正切公式
2、 问题 1请同学们写出两角和的正弦、余弦、正切公式 提示sin()sin cos cos sin ； cos()cos cos sin sin ； tan() tan tan 1tan tan . 问题 2当时，你能写出 sin 2，cos 2，tan 2的表达式吗？ 提示sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos ； cos 2cos()cos cos sin sin cos2sin2； tan 2tan() 2tan 1tan2. 知识梳理 1二倍角的正弦公式 sin 22sin cos ，其中R，简记作 S2. 2二倍角的余弦公式 cos 2cos2sin22c
3、os2112sin2，其中R，简记作 C2. 3二倍角的正切公式 tan 2 2tan 1tan2，简记作 T 2. 注意点： (1)这里的倍角专指二倍角，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去；(2)倍角公式不 仅可运用于 2是的二倍的情况，还可运用于 4作为 2的二倍，作为 2的二倍，3作为 3 2 的 二倍，作为 2 的二倍等情况，这里蕴含着换元的思想；(3)正切二倍角的范围：k 2 4且 2k(kZ)；(4)常见二倍角公式的变形：cos 2(cos sin )(cos sin )； 1sin 2sin2cos22sin cos (sin cos )2； 降幂公式：sin cos 1
4、 2sin 2；cos 21cos 2 2 ；sin21cos 2 2 . 升幂公式：1cos 22cos2；1cos 22sin2. 例 1求下列各式的值： (1)sin25 12cos 25 12； (2) 1tan2 8 tan 8 ； (3)cos 20cos 40cos 80. 解(1)原式 cos25 12sin 25 12 cos 5 6 cos 6 cos 6 3 2 . (2)原式2 1tan2 8 2tan 8 2 1 2tan 8 1tan2 8 2 1 tan 4 2. (3)原式2sin 20cos 20cos 40cos 80 2sin 20 2sin 40cos
5、40cos 80 4sin 20 2sin 80cos 80 8sin 20 sin 160 8sin 20 sin 20 8sin 20 1 8. 反思感悟对于给角求值问题，一般有两类 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转 化，一般可以化为特殊角 (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘， 则一般逆用二倍角的正弦公式， 在求解过程中， 需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的 形式 跟踪训练 1求下列各式的值： (1)sin 12cos 12； (2) tan 22.5 1tan222.5； (3)co
6、s4 12sin 4 12. 解(1)原式1 22sin 12cos 12 1 2sin 6 1 4. (2)原式1 2 2tan 22.5 1tan222.5 1 2tan 45 1 2. (3)原式 cos2 12sin 2 12 cos2 12sin 2 12 cos2 12sin 2 12 cos 6 3 2 . 二、给值求值 例 2(教材 221 页例 5 改编)已知 cos 4 3 5，02，求 sin 2，cos 2，tan 2的值 解由 02，得 0 4 2，所以 sin 4 4 5， 所以 sin 22sin 4cos 42 3 5 4 5 24 25； cos 2cos 2
7、 4sin 2 4 3 5 2 4 5 27 25； tan 2 sin 2 cos 2 24 25 7 25 24 7 . 反思感悟解决给值求值问题的方法 (1)给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： 有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化； 寻找角之间的关系， 看是否适合相关公式的使用， 注意常见角的变换和角之间的二倍关系 (2)注意几种公式的灵活应用，如： sin 2xcos 22xcos 2 4x 2cos2 4x112sin2 4x. cos 2xsin 22xsin 2 4x 2sin 4xcos 4x. 跟踪训练 2已知 sin 4x 5 13，0
8、x 4，求 cos 2x cos 4x 的值 解原式 sin 22x cos 4x 2sin 4xcos 4x cos 4x 2sin 4x. sin 4xcos 4x 5 13，且 0 x2 恒成立，求实数 m 的取值范围 解(1)f(B)4cos B1cos 2B 2 3cos 2B2cos B 2cos B(1sin B) 3cos 2B2cos B 2cos Bsin B 3cos 2B sin 2B 3cos 2B2sin 2B 3 ， 因为 f(B)2，所以 2sin 2B 3 2， 即 sin 2B 3 1. 所以 2B 3 22k，kZ. 又因为 0B2 恒成立， 即 2sin
9、 2B 3 2m 恒成立 因为 0B， 所以 32B 3 7 3 ， 所以 2sin 2B 3 2,2， 所以 2m2，所以 m4， 故实数 m 的取值范围是(，4) 反思感悟要结合之前所学的所有的公式，对它们灵活运用，融会贯通，在解决具体问题时， 要注意题目中的隐含条件，要会对三角函数值的符号进行判断尤其是在三角形中，其最多 只有一个直角或钝角，正弦值均为正、余弦和正切值并不一定为正 跟踪训练 3若(0，)，cos ，sin 是一元二次方程 x21 3x 4 90 的两个实根，则 cos 2 等于() A. 17 9 B 17 9 C 17 9 D. 17 3 答案A 解析cos ，sin
10、是一元二次方程 x21 3x 4 90 的两个实根， cos sin 1 3， cos sin 4 9. 又(0，)，cos sin 4 90，cos 0， cos sin 0， cos sin cos sin 2 cos sin 24cos sin 1 3 24 4 9 17 3 ， cos 2cos2sin2 (cos sin )(cos sin ) 1 3 17 3 17 9 . 1知识清单： (1)二倍角公式的推导 (2)利用二倍角公式的正用、逆用进行化简、求值和证明 2方法归纳：转化法 3常见误区：化简求值开根号时，忽视角的范围、实际问题中隐含的条件 1下列各式中，值为 3 2 的是
11、() A2sin 15cos 15Bcos215sin215 C2sin215Dsin215cos215 答案B 解析2sin 15cos 15sin 301 2； cos215sin215cos 30 3 2 ； 2sin2151cos 301 3 2 ； sin215cos2151，故选 B. 2若 sin 2 3 3 ，则 cos 等于() A2 3 B1 3 C.1 3 D.2 3 答案C 解析因为 sin 2 3 3 ， 所以 cos 12sin2 212 3 3 21 3. 3sin 21 3，则 cos 2 4 的值为() A2 3 B1 3 C.1 3 D.2 3 答案C 解析
12、cos2 4 1cos 2 4 2 1cos 2 2 2 1sin 2 2 11 3 2 1 3. 4设 sin 2sin ， 2，则 tan 2的值是 答案3 解析sin 2sin ， 2sin cos sin . 由 2，知 sin 0， cos 1 2， 2 3 ， sin 3 2 ，tan 3， tan 2 2tan 1tan2 2 3 1 32 3. 课时对点练课时对点练 1cos275cos215cos 75cos 15的值等于() A. 6 2 B.3 2 C.5 4 D1 3 4 答案C 解析原式sin215cos215sin 15cos 15 11 2sin 301 1 4
13、5 4. 2若 tan 3，则sin 2 cos2 的值等于() A2B. 3C4D6 答案D 解析 sin 2 cos2 2sin cos cos2 2tan 6. 3已知 sin 3 5，sin cos 0，则 sin 2的值为( ) A12 25 B24 25 C.12 25 D.24 25 答案B 解析由 sin 3 5，sin cos 0，则 cos 0， 所以 cos 1sin24 5， 所以 sin 22sin cos 23 5 4 5 24 25. 4数学家华罗庚倡导的“0.618 优选法”在各领域都应用广泛，0.618 就是黄金分割比 m 51 2 的近似值，黄金分割比还可以
14、表示成 2sin 18，则 m 4m2 2cos2271 等于() A4B. 51C2D. 51 答案C 解析由题意可知 2sin 18m 51 2 ， 所以 m24sin218， 则 m 4m2 2cos2271 2sin 18 44sin218 2cos2271 2sin 182cos 18 cos 54 2sin 36 cos 54 2. 5已知是第二象限角，P(x,4)为其终边上一点，且 cos x 5，则 tan 2等于( ) A24 7 B.12 7 C12 7 D.24 7 答案D 解析因为是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，所以 x0， 因为|OP| x216，cos
15、x 5 x x216， 所以 x3，所以 tan 4 3， 所以 tan 2 2tan 1tan2 2 4 3 1 4 3 2 24 7 . 6设 sin 1 3，23，则 sin 2cos 2等于( ) A2 3 3 B.2 3 3 C.4 3 D 3 3 答案A 解析sin 1 3， sin 2cos 2 21sin 4 3. 又 23， 2 3 2 ， sin 2cos 2 2 3 3 . 7已知等腰三角形底角的正弦值为4 5，则顶角的余弦值是 答案 7 25 解析设等腰三角形的底角为 ，则顶角为2. cos(2)cos 2(12sin2)2sin212 4 5 217 25. 8. 1
16、 sin 50 3 cos 50的值为 答案4 解析原式cos 50 3sin 50 sin 50cos 50 2 1 2cos 50 3 2 sin 50 1 22sin 50cos 50 2sin 80 1 2sin 100 2sin 80 1 2sin 80 4. 9化简：2 2 22cos (34) 解因为 34， 所以3 2 22， 3 4 4， 3 8 80，cos 40. 所以原式224cos2 2 222cos 2 24cos2 4 22cos 4 4cos2 82cos 8. 10已知为第二象限角，且 sin 15 4 ，求 sin 4 sin 2cos 21的值 解原式 2
17、 2 sin cos 2sin cos 2cos2 2sin cos 4cos sin cos . 因为为第二象限角，且 sin 15 4 ， 所以 sin cos 0，cos 1 4， 所以原式 2 4cos 2. 11sin 10sin 30sin 50sin 70的值为() A. 1 16 B 1 16 C. 3 16 D 3 16 答案A 解析sin 10sin 30sin 50sin 70 1 2cos 20cos 40cos 80 2sin 20cos 20cos 40cos 80 4sin 20 2sin 40cos 40cos 80 8sin 20 2sin 80cos 80
18、16sin 20 sin 160 16sin 20 1 16. 12函数 f(x)sin2x 3sin xcos x 在区间 4， 2 上的最大值是() A.3 2 B1C.1 3 2 D1 3 答案A 解析f(x)1cos 2x 2 3 2 sin 2x 1 2sin 2x 6 . 4x 2， 32x 6 5 6 ， f(x)max1 21 3 2. 13“2sin xcos x1”是“tan x 2 1 2”的( ) A必要不充分条件B充分不必要条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案A 解析由 tan x 2 1 2，得 tan x 2 1 2 sin x 2 cos x 2 2si
19、n x 2cos x 2 2cos2x 2 sin x 1cos x，即 2sin x1cos x 成立，即 必要性成立， 当 x时，满足 2sin xcos x1，但 tan x 2无意义，即充分性不成立， 则“2sin xcos x1”是“tan x 2 1 2”的必要不充分条件 14已知(0，)，且 sin cos 1 2，则 cos 2的值为 答案 7 4 解析sin cos 1 2，12sin cos 1 4， sin cos 3 8.又(0，)， sin 0，cos 0， (sin cos )212sin cos 7 4， sin cos 7 2 ，cos 2cos2sin2 (c
20、os sin )(cos sin ) 7 4 . 15若 sin x3 4 cos x 4 1 4，则 cos 4x . 答案 1 2 解析sin x3 4 cos 2x 3 4 cos x 4 ， cos2 x 4 1 4， 1cos 2x 2 2 1 4， cos 2x 2 1 2， 即 sin 2x1 2， cos 4x12sin22x1 2. 16已知 sin x 22cos x 20. (1)求 tan x 的值； (2)求 cos 2x cos 5 4 x sinx 的值 解(1)由 sin x 22cos x 20， 知 cos x 20，所以 tan x 22， 所以 tan x 2tan x 2 1tan2x 2 22 122 4 3. (2)由(1)知 tan x4 3， 所以 cos 2x cos 5 4 x sinx cos 2x cos 4xsin x cos2xsin2x 2 2 cos x 2 2 sin x sin x cos xsin xcos xsin x 2 2 cos xsin xsin x 2cos xsin x sin x 21tan x tan x 2 4 .
