1、第2课时直线与圆的方程的实际应用 第二章 2.5.1直线与圆的位置关系 1. 理解并掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用. 2.会用“数形结合”的数学思想解决问题. 学 习 目 标 当前台风中心P在某海滨城市O向东300 km处生成，并以40 km/h的速度 向西偏北45方向移动.已知距离台风中心250 km以内的地方都属于台 风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭？受台 风侵袭大概持续多长时间？ 导 语 随堂演练课时对点练 一、圆的方程的实际应用 二、直线与圆的方程的实际应用 内容索引 一、圆的方程的实际应用 例1如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，
2、 水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为_m. 解析如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖 直直线为y轴，建立直角坐标系. 设圆心为C，圆的方程设为x2(yr)2r2(r0)，水面所 在弦的端点为A，B，则A(6，2).将A(6，2)代入圆的 方程，得r10， 则圆的方程为x2(y10)2100.当水面下降1 m后，可设点A(x0，3) (x00)， 延伸探究某圆拱桥的水面跨度为20 m，拱高为4 m.现有一船，宽10 m， 水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？ 解建立如图所示的坐标系，使圆心C在y轴上. 依题意，有B(10,0)，P(0,4)，D(5,0). 设圆心C的坐标为
3、(0，b)，圆的半径为r， 设这座圆拱桥的拱圆的方程是 x2(yb)2r2， 把P，B两点的坐标代入圆的方程， 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 x2(y10.5)214.52(0y4). 把点D的横坐标x5代入上式，得y3.1. 由于船在水面以上高3 m,30)， 则当该直线与圆O相切时，小路长度最小， 1.知识清单： (1)直线与圆的方程的应用. (2)坐标法的应用. 2.方法归纳：数学建模、坐标法. 3.常见误区：不能正确进行数学建模. 课堂小结 随堂演练 1.一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方程是 A.x2y225 B.x2y225(y0) C.(x5)2y225(y0) D
4、.随建立直角坐标系的变化而变化 1234 2.y|x|的图象和圆x2y24在x轴上方所围成的图形的面积是 1234 3.设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x2)2(y3)24表示， 村外一小路方程可用xy20表示，则从村庄外围到小路的最短距离 是_. 1234 解析从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，3)到直线xy20的 距离减去圆的半径2， 解析如图，以台风中心为原点O，以东西方向为x 轴，建立直角坐标系，其中，取10 km为单位长度. 则台风影响的圆形区域所对应的圆心为O，圆的方 程为x2y29；轮船航线所在的直线l的方程为4x 7y280.可知直线与圆相离，故轮船不会受到台风
5、的影响. 4.一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心 位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域.已知 港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它 _(填“会”“不会”)受到台风的影响. 不会 1234 课时对点练 1.如图，圆弧形拱桥的跨度|AB|12米，拱高|CD|4米，则拱桥的直径为 A.15米B.13米 C.9米D.6.5米 解析如图，设圆心为O，半径为r， 则由勾股定理得|OB|2|OD|2|BD|2， 即r2(r4)262， 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以拱桥的直径为
6、13米. 2.已知点A(1,1)和圆C：(x5)2(y7)24，一束光线从点A经x轴反射 到圆C上的最短路程是 所求最短路程为1028. 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.如图所示，A，B是直线l上的两点，且AB2.两个半径相等的动圆分别 与l相切于A，B点，C是两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成 图形面积S的取值范围为 解析 如图所示，由题意知，当两动圆外切时，围成图形面积S取得最 大值， 此时四边形ABO2O1为矩形， 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附
7、近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A， 接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公 路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建 一条由D通往公路BC的专用线DE，则DE的最短距离为 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和 y轴，建立平面直角坐标系(图略)， 则圆O的方程为x2y21， 因为点B(8,0)，C(0,8)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 5.设某公园外围成圆形，其所在曲线的方程可用x2y22x0表示，在 公园外两
8、点A(2,0)，B(0,2)与公园边上任意一点修建一处舞台，则舞台 面积的最小值为 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.(多选)从点A(3,3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射后，照射到圆C：x2 y24x4y70上，则下列结论正确的是 A.若反射光线与圆C相切，则切线方程为3x4y30 B.若反射光线穿过圆C的圆心，则反射光线方程为xy0 C.若反射光线照射到圆上后被吸收，则光线经过的最短路程是 D.若反射光线反射后被圆C遮挡，则在x轴上被挡住的范围是 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析点A(3,3)关于x轴的对称点为A(3，3).圆
9、的方程为(x2)2 (y2)21，求题意知反射光线的斜率存在，设反射光线方程为y3k(x 3)，即kxy3k30. 12345678910 11 12 13 14 15 16 即4x3y30或3x4y30，故A错误. 又A(3，3)，C(2,2)的方程为yx，故B正确； 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.某圆弧形拱桥的水面跨度是20 m，拱高为4 m.现有一船宽9 m，在水面 以上部分高3 m，通行无阻.近日水位暴涨了1.5 m，为此，必须加重船载， 降低船身，当船身至少降低_m时，船才能安全通过桥洞.(结果精 确到0.01 m) 1.22 12345678910
10、 11 12 13 14 15 16 解析以水位未涨前的水面AB的中点为原点，建立平面直角坐标系，如 图所示， 设圆拱所在圆的方程为x2(yb)2r2， 圆经过点B(10,0)，C(0,4)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 圆的方程是x2(y10.5)214.52(0y4)， 令x4.5，得y3.28， 故当水位暴涨1.5 m后，船身至少应降低1.5(3.283)1.22 (m)，船才 能安全通过桥洞. 8.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内 的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间 为_h.1
11、 解析如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴， 建立平面直角坐标系， 则台风中心经过以B(40,0)为圆心，30为半径的圆内时 城市B处于危险区， 12345678910 11 12 13 14 15 16 即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，可求得|MN|20， 所以时间为1 h. 9.设有半径长为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲 向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于 村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇.设甲、乙两人的速度都一定， 且其速度比为31，问：甲、乙两人在何处相遇？ 12345678910 11 12 13 14 15 16
12、解如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x轴，南北方向 为y轴建立平面直角坐标系. 设甲向东走到D转向到C恰好与乙相遇， 设D点坐标为(a，0)，C点坐标为(0，b)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以乙向北前进3.75 km时甲、乙两人相遇. 10.如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆 形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位 于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否 被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法) 12345678910 11 12 13
13、 14 15 16 解如图，以O为坐标原点，东西方向为x轴建立平面直角坐标系， 则A(40,0)，B(0,30)，圆O的方程为x2y2252. 12345678910 11 12 13 14 15 16 即3x4y1200. 设点O到直线AB的距离为d， 所以外籍轮船能被海监船监测到. 设监测时间为t， 11.(多选)如图所示，已知直线l的方程是y 并且与x轴、y轴分别交 于A，B两点，一个半径为1.5的圆C，圆心C从点(0,1.5) 开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C 与直线l相切时，该圆运动的时间可以为 A.6秒 B.8秒 C.10秒 D.16秒 12345678910
14、11 12 13 14 15 16 综合运用 解析设当圆与直线l相切时，圆心坐标为(0，m)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12.某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36 m，拱高OP是6 m， 在建造时，每隔3 m需用一个支柱支撑，则支柱A2P2的长为 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析如图，以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点 建立平面直角坐标系，那么点A，B，P的坐标分别为(18,0)，(18,0)， (0,6). 设圆拱所在的圆的方程是x2y2DxEyF0. 因为A，B，P在此圆上， 1234567
15、8910 11 12 13 14 15 16 故圆拱所在圆的方程是x2y248y3240. 将点P2的横坐标x6代入上式， 12345678910 11 12 13 14 15 16 13.如图是一公路隧道截面图，下方ABCD是矩形，且AB4 m，BC8 m， 隧道顶APD是一圆弧，拱高OP2 m，隧道有两车道EF 和FG，每车道宽3.5 m，车道两边留有0.5 m人行道BE和 GC，为了行驶安全，车顶与隧道顶端至少有0.6 m的间 隙，则此隧道允许通行车辆的限高是_m.(精确到0.01 m，3.97 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析建立如图所示的平面直角坐标系
16、xOy， 设弧APD所在圆的圆心坐标为O1(0，b)，半径为r，则其方程为x2(yb)2r2. 将P(0,2)，D(4,0)的坐标代入以上方程， 解得b3，r5， 故圆O1的方程为x2(y3)225. 过点E作AD的垂线交AD于点M，延长交弧AD于点N， 将N(3.5，h)代入圆O1的方程， 解得h0.571，即|MN|0.571， 则|EN|40.5714.571， 从而车辆的限高为4.5710.63.97 (m). 12345678910 11 12 13 14 15 16 14.自圆外一点P作圆O：x2y21的两条切线PM，PN(M，N为切点)，若 MPN90，则动点P的轨迹方程是_.
17、解析设点P的坐标为(x，y)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 x2y22 MPN90，四边形OMPN为正方形， 解析以半圆所在直径为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如 图所示的平面直角坐标系. 易知半圆所在的圆的方程为x2y23.62(y0)， 由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高， 此时x0.8或x0.8，代入x2y23.62， 得y3.5(负值舍去). 15.一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这 辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为 A.2.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2.0米 拓广探究 1234
18、5678910 11 12 13 14 15 16 16.如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个 圆形保护区.规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距 离均不少于80 m.经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正 东方向170 m处(OC为河岸)，tan BCO (1)求新桥BC的长； 12345678910 11 12 13 14 15 16 解如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy. 由条件知，A(0,60)，C(170,0)， 12345678
19、910 11 12 13 14 15 16 又因为ABBC， 设点B的坐标为(a，b)， 联立解得a80，b120. 12345678910 11 12 13 14 15 16 因此新桥BC的长为150 m. (2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？ 12345678910 11 12 13 14 15 16 解设保护区的边界圆M的半径为r m，|OM|d m(0d60). 12345678910 11 12 13 14 15 16 即4x3y6800. 由于圆M与直线BC相切， 故点M(0，d)到直线BC的距离是r， 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m， 解得10d35. 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以当|OM|10 m时，圆形保护区的面积最大. 本课结束 更多精彩内容请登录：
