1、第1课时抛物线的简单几何性质 第三章 3.3.2抛物线的简单几何性质 1.掌握抛物线的几何性质. 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题. 学 习 目 标 图形标准方程焦点坐标准线方程 y22px(p0) y22px(p0) 在上一节中，我们已经学习了抛物线的定义及其标准方程，这一节我 们利用方程研究抛物线的几何性质. 导 语 x22py(p0) x22py(p0) 随堂演练课时对点练 一、抛物线的几何性质 二、抛物线的几何性质的应用 内容索引 一、抛物线的几何性质 问题1类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法， 你认为应研究抛物线y22px(p0)的哪些几何性质，如何研究这些
2、性质？ 提示1.范围 当x0时，抛物线y2 2px(p0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上 的任意一点M 的坐标(x，y)的横坐标满足不等式x0；当x 的值增大时， |y|的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.抛物线是无界 曲线. 2.对称性 观察图象，不难发现，抛物线y22px(p0)关于x轴对称， 我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线只有一条对称轴. 3.顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线的顶点坐标是坐标原点 (0,0). 4.离心率 抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离 心率.用e表示，e1. 标准方程 y22px(p0)
3、y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) 图形 范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR 对称轴轴轴轴轴xx 知识梳理 yy 1 焦点坐标 F_F_ 准线方程 x_x_y_y_ 顶点坐标O(0,0) 离心率e_ 注意点：注意点： 只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程. 例1抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x24y236短轴所在的 直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程. 其短轴在x轴上，抛物线的对称轴为x轴， 设抛物线的方程为y22px(p0)或y22px(p0). 抛物线的焦点到顶点的距离为3， 抛物线的标准方程为y
4、212x或y212x， 其准线方程分别为x3和x3. 反思感悟把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y， 一次项的系数是正还是负. (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴. (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通 径)长为2p；离心率恒等于1. 跟踪训练1边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，ABx轴，以O 为顶点且过A，B的抛物线方程是 解析设抛物线方程为y2ax(a0). 二、抛物线的几何性质的应用 例2(1)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A， B在抛物线
5、y22px(p0)上，求这个三角形的边长. 解如图所示， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 又|OA|OB|， 整理得(x1x2)(x1x22p)0. 因为x10，x20,2p0， 所以x1x2，由此可得|y1|y2|， 即线段AB关于x轴对称， 由此得AOx30， (2)已知A，B是抛物线y22px(p0)上两点，O为坐标原点，若|OA|OB|， 且AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程. 解如图，设点A(x0，y0)， 由题意可知点B(x0，y0)， AFOB，kAFkOB1， 反思感悟利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、
6、准线：解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点弦：解决焦点弦问题. 跟踪训练2(1)(多选)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在抛物线 C上，|MF|5，若y轴上存在点A(0,2)，使得 则p的值可以为 A.2 B.4 C.6 D.8 解析由题意可得，以MF为直径的圆过点(0,2)， 因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得， 据此可知该圆与y轴相切于点A(0,2)， 故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4， 代入抛物线方程得p210p160，所以p2或p8. (2)抛物线y24x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且AFO 12
7、0(O为坐标原点)，AKl，垂足为K，则AKF的面积是_. 解析由抛物线方程可知F(1,0)，准线l的方程为x1. 如图，设A(x0，y0)，过A作AHx轴于H， 在RtAFH中，|FH|x01， 1.知识清单： (1)抛物线的几何性质. (2)抛物线的几何性质的应用. 2.方法归纳：待定系数法. 3.常见误区：求抛物线方程时焦点的位置易判断失误. 课堂小结 随堂演练 1.对抛物线y4x2，下列描述正确的是 A.开口向上，焦点为(0,1) B.开口向上，焦点为 C.开口向右，焦点为(1,0) D.开口向右，焦点为 1234 解析由抛物线y4x2， 2. (多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过
8、焦点且与对称轴垂直的弦)长 为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为 A.y28x B.y28x C.x28y D.x28y 1234 解析设抛物线方程为x22py或x22py(p0)，2p8，p4. 抛物线方程为x28y或x28y. 3.若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐 标为 1234 解析设抛物线的焦点为F，原点为O，P(x0，y0)， 由条件及抛物线的定义知，|PF|PO|， 4.已知抛物线y22px(p0)，直线xm与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2) 两点，则y1y2_.0 1234 解析因为抛物线y22px(p0)关于x轴对称，xm与x轴
9、垂直， 故y1y2， 即y1y20. 课时对点练 1.若抛物线y22x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB| 则抛物线 的焦点到直线AB的距离为 解析由题意知，线段AB所在的直线方程为x1， 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 2.以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2y22x6y90的圆心 的抛物线的方程是 A.y3x2或y3x2 B.y3x2 C.y29x或y3x2 D.y3x2或y29x 解析圆的方程可化为(x1)2(y3)21，圆心为(1，3)， 由题意可设抛物线方程为y22px(p0)或x22py(p0). 把(1，3)代入得92p或16p，
10、12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.若抛物线y24x上一点P到x轴的距离为 则点P到抛物线的焦点F的 距离为 A.4 B.5 C.6 D.7 解析由题意，知抛物线y24x的准线方程为x1， 12345678910 11 12 13 14 15 16 点P到抛物线的准线的距离为314， 点P到抛物线的焦点F的距离为4. 解析曲线的方程可化为(x2)2y29， 其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆， 5.已知抛物线y22px(p0)的准线与曲线x2y24x50相切，则p的值为 12345678910 11 12
11、 13 14 15 16 6.(多选)点M(1,1)到抛物线yax2的准线的距离为2，则a的值可以为 12345678910 11 12 13 14 15 16 因为点M(1,1)到抛物线yax2的准线的距离为2， 7.已知点A(2,3)在抛物线C：y22px(p0)的准线上，记抛物线C的焦点 为F，则直线AF的斜率为_. 解析点A(2,3)在抛物线C的准线上， 12345678910 11 12 13 14 15 16 抛物线的方程为y28x，则焦点F的坐标为(2,0). 8.已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于 点N.若M是FN的中点，则|FN|_.6 解析
12、如图，过点M作MMy轴，垂足为M，|OF|2， M为FN的中点，|MM|1， 12345678910 11 12 13 14 15 16 |MF|3，|FN|6. 9.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点， A为抛物线上一点，且|AM| ，|AF|3，求此抛物线的标准方程. 解设所求抛物线的标准方程为x22py(p0)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以所求抛物线的标准方程为x24y或x28y. 10.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物 线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|BF|8，线段AB的垂
13、直平 分线恒经过点Q(6,0)，求抛物线的方程. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解设抛物线的方程为y22px(p0)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 |AF|BF|8， Q(6,0)在线段AB的中垂线上， |QA|QB|， 12345678910 11 12 13 14 15 16 (x1x2)(x1x2122p)0. AB与x轴不垂直，x1x2. 故x1x2122p8p122p0，即p4. 从而抛物线方程为y28x. 点A的坐标为(1，2). 12345678910 11 12 13 14 15 16 综合运用 12.已知P是抛物线
14、C：y22px(p0)上的一点，F是抛物线C的焦点，O为坐 标原点，若|PF|2，PFO ，则抛物线C的方程为 A.y26x B.y22x C.y2x D.y24x 解析过P向x轴作垂线，设垂足为Q， 12345678910 11 12 13 14 15 16 将P点的坐标代入y22px，得p3，故C的方程为y26x. 13.已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一 点，且|MF|4|OF|，MFO 的面积为 则抛物线方程为 A.y26x B.y28x C.y216x D.y2x 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设M(x1，y1)，
15、解得p4，即抛物线的方程为y28x. 14.抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线 相交于A， B两点，若ABF为等边三角形，则p_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 6 解得p236，p6. 15.如图，已知P为抛物线y24x上的动点，过P分别作 y轴与直线xy40的垂线，垂足分别为A，B，则 |PA|PB|的最小值为_. 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析抛物线的准线方程是x1， 又根据抛物线的几何性质知， 抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离， 所以|PA|PB|PF|PB|1，|PF|PB|的最小值就
16、是点F到直线xy 40的距离， 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.已知抛物线y28x. (1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围； 12345678910 11 12 13 14 15 16 解抛物线y28x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别 为(0,0)，(2,0)，x2，x轴，x0. (2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|OB|， 若焦点F是OAB的重心，求OAB的周长. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解如图所示，由|OA|OB|可知ABx轴，垂足为点M， 又焦点F是OAB的重心， 12345678910 11 12 13 14 15 16 因为F(2,0)， 所以M(3,0). 故设A(3，m)， 代入y28x得m224， 本课结束 更多精彩内容请登录：
