1、第四章三角函数解三角形 第一节弧度制及任意角的三角函数 复习要点1.了解任意角的概念和弧度制的概念 2能进行弧度与角度的互化 3理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 知识点一角的概念 1角的形成 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置_到另一个位置所成的_ 3所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合：S|k360，kZ或|2k，k Z 答案：1.旋转图形2.逆时针顺时针 知识点二弧度的定义和公式 1定义：长度等于_的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，弧度记作 rad. 2公式：(1)弧度与角度的换算：360_弧度， 180_弧度； (2)弧长公式：l_； (3)扇形面积公
2、式：S扇形_和 S扇形_. 说明：(2)(3)公式中的必须为弧度制！ 答案：1.半径长2.(1)2(2)|r(3)1 2lR 1 2|R 2 知识点三任意角的三角函数 1定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，则 sin _，cos _，tan _(x0) 2几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示. 正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起点都是原 点，正切线的起点都是(1,0) 如图中有向线段 MP，OM，AT 分别叫做角的_、_和_ 答案：1.yx y x 2.正弦线余弦线正切线 链/接/教/材 1必修 4P10A 组 T7 改编角225_弧度，这个角在第_象限
3、 答案：5 4 二 2必修 4P15练习 T2 改编设角的终边经过点 P(4，3)，那么 2cos sin _. 答案：11 5 3必修 4P10A 组 T6 改编一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为_弧度 答案： 3 易/错/问/题 1混淆几种角的概念：任意角；终边相同的角；象限角 下列命题叙述正确的有_个 小于 90的角是锐角； 终边相同的角相等； 第二象限角大于第一象限角 答案：0 2三角函数概念理解误区：根据终边上的点 P 坐标求值 (1)角的三角函数值与终边上的点 P 的位置_关(填“有”或“无”) (2)已知角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的非负半轴，若 P(4，y)是角
4、终边上一点，且 sin 2 5 5 ，则 y _. (3)已知角的终边经过点 P( 3，m)(m0)且 sin 2 4 m，试判断角所在的象限，并求 cos 和 tan 的值 答案：(1)无(2)8 (3)解：由题意得 r 3m2， 所以 sin m 3m2 2 4 m(m0)， 所以 m 5， 故角是第二或第三象限角 当 m 5时，r2 2，点 P 的坐标为( 3， 5)， 所以 cos x r 3 2 2 6 4 ， tan y x 5 3 15 3 . 当 m 5时，r2 2， 点 P 的坐标为( 3， 5)， 所以 cos x r 3 2 2 6 4 ， tan y x 5 3 15
5、3 . 综上可知，cos 6 4 ，tan 15 3 或 cos 6 4 ，tan 15 3 . 核/心/素/养 在一块顶角为 120、腰长为 2 的等腰三角形厚钢板废料 OAB 中用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案， 既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？ 题型任意角的概念 角度.区域角、象限角、终边相同的角 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 1已知角的终边落在阴影所表示的范围内(包括边界)，则角的集合为_ 答案|90n180135n180，nZ 2下列各角中，与角 330的终边相同的是() A150B390 C510D150 答案B 3与2 020终边相同
6、的最小正角是_ 答案140 4已知角是第三象限角，试判断： (1)是第几象限角？ (2) 2是第几象限角？ (3)2是第几象限角？ 解(1)是第三象限角， 2k2k3 2 ，kZ， 2k 22k，kZ， 是第四象限角 (2)k 2 2k 3 4 ，kZ， 2是第二或第四象限角 (3)4k220Bcos 20Dsin 20 答案D解析本题考查象限角以及三角函数值的符号因为为第四象限角，所以 22k2k，k Z， 故4k24k， kZ， 所以 2为第三、 四象限角或 y 轴负半轴上的角 所以 cos 2的正负不确定， sin 2 2，即 A 2B，又 A，B 0， 2 ，所以 sin Acos B
7、， 所以 sin Acos B0， 同理 cos Asin C0，所以为第四象限角，所以 sin 0， tan 0，所以 sin |sin | cos |cos | tan |tan |1111，故选 B. 2已知 sin 0. (1)求角的集合 (2)求 2终边所在的象限 (3)试判断 tan 2sin 2cos 2的符号 解(1)因为 sin 0， 所以是第三象限角，故角的集合为 |2k2k 3 2 ，kZ . (2)由(1)知，2k2k3 2 ， kZ，故 k 2 2k 3 4 ，kZ， 当 k2n(nZ)时，2n 2 22n 3 4 ，nZ，即 2是第二象限角 当 k2n1(nZ)时，
8、2n3 2 22n 7 4 ，nZ，即 2是第四象限角 综上， 2的终边在第二或第四象限 (3)当 2是第二象限角时，tan 20，cos 20. 当 2是第四象限角时，tan 20，sin 20， 故 tan 2sin 2cos 20. 综上，tan 2sin 2cos 2取正号 角度.根据三角函数的定义求值 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 3多选已知角的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 P(x0，y0)若 20Bx20y0 Cy0 x0y 0Dx0y00 答案ACD解析本题考查三角函数的定义、三角恒等变换公式及三角函数性质的综合应用 由三角函
9、数的定义得 x0cos ，y0sin ， 则 tan y0 x0，x 0y0sin cos 2sin 4 . 2 3 4 ，3 4 40，故 A 正确 由于 x20y0cos2sin 1sin2sin sin 1 2 25 4. 2 3 4 ，sin 2 2 ，1 ， x20y00，故 B 错误 tan y0 x00， y0 x0y 0，故 C 正确 x0cos 0， x0y00 恒成 立，则实数的取值范围是() A 12， 5 12B 6， 4 C 4， 3 4D 6， 5 6 答案A解析令 f(x)(cos sin 1)x2(2sin 1)xsin ， 由0，)，知 cos sin 10
10、恒成立， 若 f(x)0 在1,0上恒成立， 只需满足 f10， f00， f 2sin 1 21cos sin 0 cos 0， sin 0， sin 21 2， 得 12， 5 12 . 6(1)不等式 sin x 3 2 的解集为_ (2)不等式 cos x1 2的解集为_ (3)函数 f(x) 2sin x1lg(2cos x 2)的定义域为_ 答案(1)x|2k 3x2k 2 3 ，kZ (2)x|2k 2 3 x2k2 3 ，kZ (3)x|2k 6x0， 得 sin x1 2， cos x 2 2 ， 在单位圆中分别画出不等式的解集对应的区域，其公共区域为不等式组的解集， 函数
11、f(x)的定义域为x|2k 6x0， 则原式化为 12t35t 21 2 ， 解得 t7 5或 t 5 7(舍去)， 故 sin cos 7 5， 则 sin cos 12 25， 即 sin cos sin2cos2 12 25， 即 tan 1tan2 12 25，12tan 225tan 120， 解得 tan 3 4或 4 3， 则 tan 2 2tan 1tan2 24 7 ，故选 D. 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 关于 sin 与 cos 的齐 n 次分式或齐二次整式的化简求值的解题策略 已知 tan ，求关于 sin 与 cos 的齐 n 次分式或齐二次整式的值 1
12、类型一 所求式子为关于 sin 与 cos 的齐 n 次分式 方法： 将分子、分母同除以 cosn，转化为关于 tan 的式子，代入求解即可 当分子或分母中含常数时，可利用 1sin2cos2将式子转化为齐次式 2类型二 所求式子为关于 sin 与 cos 的齐二次整式 方法： 将这个整式看作分母为 1 的分式，然后将分母 1 替换成 sin2cos2，再将分子、分母同时除以 cos2，转化为 关于 tan 的式子，代入求解即可 当求 sin cos 时，可将该式平方，转化为齐二次整式求出结果后，再开方得出该式的值 角度.sin cos ，sin cos ，sin cos 知一求二 试/题/调
13、/研(题题精选，每题都代表一个方向) 5若 sin ，cos 是方程 4x22mxm0 的两根，则 m 的值为() A1 5B1 5 C1 5D1 5 答案B 6已知 x(，0)，sin xcos x1 5. (1)求 sin xcos x 的值； (2)求sin 2x2sin 2x 1tan x 的值 答案(1)7 5 (2) 24 175 解/题/感/悟(小提示，大智慧) (1)对于 sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，已知其中一个式子的值，均可利用(sin cos )2 12sin cos 求出另外两个式子的值 (2)当已知 sin cos ，sin cos
14、其中一个式子求 sin ，cos 时，可根据 sin ，cos 是方程 x2(sin cos )x sin cos 0 的两根求得结果 注意遇到 ab，ab 同时出现时，要联想到一元二次方程 x2(ab)xab0 的根 题型三角函数诱导公式及其应用 角度.利用诱导公式化简求值 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 12021 河北邯郸重点中学联考已知 3sin 33 14 5cos 5 14，则 tan 5 14() A5 3 B3 5 C3 5 D5 3 答案A解析由 3sin 33 14 5cos 5 14， 得 sin 5 145 3cos 5 14， 所以 tan 5 14
15、sin 5 14 cos 5 14 5 3. 2已知 cos 29a，则 sin 241tan 151的值是() A 1a2B 1a2 C 1a2D 1a2 答案B 32021 河南洛阳阶段性测试在平面直角坐标系 xOy 中，角的顶点为坐标原点，始边在 x 轴的非负半轴上， 终边经过点 P(3,4)，则 sin 2 017 2() A4 5 B3 5 C3 5 D4 5 答案B解析角的终边经过点 P(3,4)， sin 4 5，cos 3 5. sin 2 017 2 sin 2 017 2 2 018 2 sin 2 cos 3 5. 故选 B. 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 利
16、用诱导公式化简求值 第一步：负化正，将负角的三角函数化为正角的三角函数； 第二步：大化小，将大于 360的角的三角函数化为 0360角的三角函数； 第三步：小化锐，将大于 90的角的三角函数化为 090角的三角函数； 第四步：锐求值，得到 090角的三角函数后直接求值 角度.利用角之间的关系求值 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 4多选定义角与都是任意角，若满足 2，则称与“广义互余”已知 sin() 1 4，则下列角 中，可能与角“广义互余”的是() Asin 15 4 Bcos()1 4 Ctan 15Dtan 15 5 答案AC解析本题考查三角函数诱导公式及同角三角函数关系
17、的应用 sin()sin 1 4， sin 1 4. 若 2，则 2. sin sin 2cos 15 4 ，故 A 正确； 由 cos()cos 3 2 sin 1 4，故 B 不正确； 由 tan 15，得 sin 15cos ， 又 sin2cos21， sin 15 4 ，故 C 正确； 由 tan 15 5 ，得 sin 15 5 cos ， 又 sin2cos21， sin 6 4 ，故 D 不正确故选 AC. 5已知 sin 12 1 3，则 cos 7 12 的值为() A1 3 B1 3 C2 2 3 D2 2 3 答案B 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 1常见的互
18、余角 3与 6， 3与 6， 4与 4. 2常见的互补角 3与 2 3 ， 4与 3 4 . 3三角形中的三角函数关系式 sin(AB)sin(C)sin C； cos(AB)cos(C)cos C； tan(AB)tan(C)tan C； sin A 2 B 2 sin 2 C 2 cos C 2； cos A 2 B 2 cos 2 C 2 sin C 2. 题型同角三角函数关系及诱导公式的灵活应用 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 1已知 sin 2 5 5 ，求 tan() sin 5 2 cos 5 2 的值 解因为 sin 2 5 5 0， 所以为第一或第二象限角，
19、tan() sin 5 2 cos 5 2 tan cos sin sin cos cos sin 1 sin cos . (1)当是第一象限角时，cos 1sin2 5 5 ， 原式 1 sin cos 5 2. (2)当是第二象限角时，cos 1sin2 5 5 ， 原式 1 sin cos 5 2. 综合(1)(2)知，原式5 2或 5 2. 2是否存在 2， 2 ，(0，)，使等式 sin(3) 2cos 2， 3cos() 2cos()同时成立？ 若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由 解假设存在角，满足条件 由已知条件可得 sin 2sin ， 3cos 2cos ， 由22，得
20、 sin23cos22. sin21 2，sin 2 2 . 2， 2 ， 4. 当 4时，由式知 cos 3 2 ， 又(0，)， 6，此时式成立； 当 4时，由式知 cos 3 2 ， 又(0，)， 6，此时式不成立，故舍去 存在 4， 6满足条件 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 同角三角函数基本关系在求值与化简时的常用方法 1弦切互化法 主要利用公式 tan xsin x cos x进行切化弦或弦化切，如 asin xbcos x csin xdcos x，asin 2xbsin xcos xccos2x 等类型可进行弦 化切 2和积转换法 对于 sin cos ，sin co
21、s ，sin cos 这三个式子，利用(sin cos )212sin cos 可以知一求二 3巧用“1”的变换 1sin2cos2cos2(1tan2)sin2 1 1 tan2 tan 4 提醒 完成限时跟踪检测(十七) 第三节两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式 复习要点1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 2会利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式 3会利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解 它们的内在联系 4能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆) 知识点一两角和
22、与差的正弦、余弦和正切公式 知识点二二倍角的正弦、余弦和正切公式 公式名公式 二倍角的正弦sin 2_ 二倍角的余弦 cos 2_ _ 二倍角的正切tan 2_ 答案：2sin cos cos2sin212sin22cos21 2tan 1tan2 链/接/教/材 1必修 4P135练习 T2 改编已知 sin cos 4 3，则 sin 2( ) A7 9 B2 9 C2 9 D7 9 答案：A 2必修 4P129例 3 改编若 cos 4 5，是第三象限的角，则 sin 4 () A 2 10 B 2 10 C7 2 10 D7 2 10 答案：C 3必修 4P131练习 T5 改编计算：
23、sin 108cos 42cos 72sin 42_. 答案：1 2 通/性/通/法 辅助角公式 (1)函数 f(x)sin xcos x 的最大值为_ (2)一般地，函数 f()asin bcos (a，b 为常数)，可以化为 f()_ 其中 tan b a 或 f() _ 其中 tan a b . (1)答案： 2解析：sin xcos x 2 sin xcos 4cos xsin 4 2sin x 4 2. (2)答案： a2b2sin()a2b2cos() 核/心/素/养 已知：tan 10tan 20tan 20tan 60tan 60tan 101，tan 5tan 10tan 1
24、0tan 75tan 75tan 51， tan 20tan 30tan 30tan 40tan 40tan 201 成立，由此得到一个由特殊到一般的推广此推广是什么？并证 明 解：观察到：10206090，5751090，20304090， 猜想此推广为：若90，且，都不为 k18090(kZ)， 则 tan tan tan tan tan tan 1. 证明如下： 因为90， 所以90()， 故 tan tan90() sin90 cos90 cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin 1tan tan tan tan . 所以 tan tan tan
25、tan 1tan tan ， 即 tan tan tan tan tan tan 1. 题型两角和与差公式的应用 角度.两角和与差公式的基本应用 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 12020 全国卷，文已知 sin sin 3 1，则 sin 6 () A1 2 B 3 3 C2 3 D 2 2 答案B解析本题考查两角和的正弦公式以及辅助角公式 因为 sin sin 3 sin 1 2sin 3 2 cos 3 2sin 3 2 cos 3sin 6 1， 所以 sin 6 3 3 .故选 B. 22020 全国卷，理已知 2tan tan 4 7，则 tan () A2B1 C
26、1D2 答案D解析本题考查两角和的正切公式的应用2tan tan 4 7， 2tan 1tan 1tan 7， 2tan 2tan21tan 77tan ， 即 tan24tan 40，解得 tan 2. 角度.两角和与差公式的逆用 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 3设，0，且满足 sin cos cos sin 1，则 sin(2)sin(2)的取值范围为_ 答案1,1解析由 sin cos cos sin 1，得 sin()1， 又，0， 2， 0， 0 2， 即 2， sin(2)sin(2) sin 2 2 sin(2) cos sin 2sin 4 . 2， 3 4
27、4 5 4 ， 1 2sin 4 1， 即 sin(2)sin(2)的取值范围为1,1 4多选已知 00，tan 0， tan tan() tantan 1tantan 8tan 19tan2 8 1 tan 9tan 8 23 4 3 当且仅当 1 tan 9tan 时等号成立， (tan )max4 3. 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路 1角的变换 明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互 转化，如：2()()，()()，406020， 4 4 2， 22 4等 2名的变换
28、明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为 正弦、余弦 题型三角函数式的化简求值 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 12021 江苏南京师大附中模拟在ABC 中，已知 sin A13sin Bsin C，cos A13cos Bcos C，则 tan Atan B tan C 的值为_ 答案196解析由题意知，cos A，cos B，cos C 均不为 0， 由 sin A13sin Bsin C， cos A13cos Bcos C， 得 tan Atan Btan C 又因为 cos A13cos Bcos C， 且 co
29、s Acos(BC)sin Bsin Ccos Bcos C， 所以 sin Bsin C14cos Bcos C， 所以 tan Btan C14. 又 tan Btan C tan(BC)(1tan Btan C) tan A(1tan Btan C)， 所以 tan Atan Btan C tan Atan Btan C 196. 22021 山东淄博模拟2 1sin 4 22cos 4() A2cos 2B2sin 2 C4sin 22cos 2D2sin 24cos 2 答案B解析2 1sin 4 22cos 4 2 sin222sin 2cos 2cos22 222cos221 2
30、 sin 2cos 22 4cos22 2|sin 2cos 2|2|cos 2|， 22 3 4 ， 2 是第二象限角， cos 20. 3 4 2 40， 原式2(sin 2cos 2)2cos 22sin 2. 故选 B. 3求值：1cos 20 2sin 20 sin 10 1 tan 5tan 5. 答案 3 2 4化简： 2cos4x2cos2x1 2 2tan 4xsin2 4x . 解原式 1 22cos 2x24cos2x1 2sin 4x cos 4x sin2 2 4x 1 22cos 2x12 2sin 4x cos 4x cos2 4x 1 2cos 22x 2sin
31、 4xcos 4x 1 2cos 22x sin 2 4x 1 2cos 22x sin 22x 1 2cos 22x cos 2x 1 2cos 2x. 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 三角函数式的化简目标 (1)项数尽可能少； (2)三角函数名称尽可能少； (3)角尽可能小和少； (4)次数尽可能低； (5)分母尽可能不含三角式； (6)尽可能不带根号； (7)能求出值的求出值 提醒 完成限时跟踪检测(十八) 第四节简单的三角恒等变换 复习要点能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等 变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三
32、组公式不要求记忆) 知识点半角公式(不要求记忆) 1sin 2_； 2cos 2_； 3tan 2_ sin 1cos 1cos sin . 答案：1. 1cos 2 2. 1cos 2 3. 1cos 1cos 链/接/教/材 1必修 4P143B 组 T2若 sin 76m，则 cos 7_(用含 m 的式子表示) 答案： m1 2 解析：由于 762790，所以 sin 76sin(9014)cos 14m，即 2cos271m，得 cos 7 m1 2 . 2必修 4P147B 组 T4已知 cos 4x3 5， 17 12 x7 4 ，则sin 2x2sin 2x 1tan x _.
33、 答案：28 75 解析：sin 2x2sin 2x 1tan x 2sin xcos x2sin2x 1sin x cos x 2sin xcos xcos xsin x cos xsin x sin 2x1tan x 1tan xsin 2xtan 4x. 由17 12 x7 4 ，得5 3 x 42， 又 cos 4x3 5， 所以 sin 4x4 5，tan 4x4 3. cos xcos 4x 4 2 10， sin x7 2 10 ，sin 2x 7 25. 所以sin 2x2sin 2x 1tan x 28 75. 易/错/问/题 倍角公式中的特殊情形 判断正误： (1)存在实数
34、，使 cos 22cos .() (2)存在实数，使 sin 22sin .() (3)存在实数，使 tan 22tan .() 答案：(1)(2)(3) 核/心/素/养 2021 山东济南模拟广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径 为 2 m 的扇形 AOB 和三角区域 BCO 构成，其中 C，O，A 在一条直线上，ACB 4，记该设施平面图的面积为 S(x) m2，AOBx rad，其中 2x. (1)写出 S(x)关于 x 的函数关系式； (2)如何设计AOB，使得 S(x)有最大值？ 解：(1)因为扇形 AOB 的半径为 2 m，AOBx rad
35、， 所以 S 扇形1 2x2 22x， 过点 B 作边 AC 的垂线，垂足为点 D，如图所示 则BODx， 所以 BD2sin(x)2sin x， OD2cos(x)2cos x， 因为ACB 4， 所以 CDBD2sin x， 所以 SBOC1 2COBD 1 2(2sin x2cos x)2sin x 2sin2x2sin xcos x 1cos 2xsin 2x， 所以 S(x)1cos 2xsin 2x2x，x 2，. (2)根据(1)，得到 S(x)1cos 2xsin 2x2x， 所以 S(x)2sin 2x2cos 2x2， 令 S(x)0， 所以 2 2sin 2x 4 2，
36、所以 sin 2x 4 2 2 ， 又 2x0，0 6 2， 0 3， 32 3， sin 2 3 24 25. sin 2 12 sin 2 3 4 sin 2 3 cos 4cos 2 3 sin 4 24 25 2 2 7 25 2 2 31 2 50 . 解/题/感/悟(小提示，大智慧) 已知角 6与所求角 2 12之间没有直接关系， 因此要另辟蹊径， 观察系数变化发现二倍角的关系， 2 12 2 6 4.另：角的范围的讨论是确定符号的关键 需形成条件反射的特殊角的拆分： 7 12 3 4， 5 12 4 6， 12 3 4. 42021 河南郑州第一中学月考设，为锐角，且 2 2，
37、tan cos xsin 1，则 x() A1B2 C 3D 2 答案A解析2 2， 2 2， tan cos 2 2 xsin 2 2 1， 即tan sin 2 xcos 2 1， xcos 2tan sin 2cos 22sin21，故选 A. 方/法/总/结(来自课堂的最有用的方法) 1常用的角的代换 单角化复角：() 2 2 单角化倍角：2 2 将化为 2的 2 倍 倍角化复角：2()() 4 4 2给值求值问题的解题策略 已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值 解题关键：把“所求角”用“已知角”表示 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的
38、形式或者和或差的二倍形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和、差或倍数关系，然后应用诱导公式、 和差公式、倍角公式求解 角度.给值求角问题 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 5已知，(0，)，且 tan()1 2，tan 1 7， 则 2_. 答案3 4 解析tan tan() tantan 1tantan 1 2 1 7 11 2 1 7 1 31，(0，)， 0 4， tan(2)tan() tan tan 1tan tan 1 3 1 2 11 3 1 2 1. 0，tan 1 70， 2. 又 0 4，20， 23 4 . 62021 安
39、徽安庆模拟设 0， 2 ， 0， 2 ，且 cos tan (1sin )，则() A 4 B 2 C2 2 D2 2 答案D解析由 cos tan (1sin )，可得 cos sin cos (1sin )，整理得 cos cos sin sin sin cos 2，即 cos()cos 2.又 0， 2 ， 0， 2 ，则(0，)， 2 0， 2 .故 2， 即 2 2.故选 D. 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 已知某些角的三角函数值，求相关角的大小 “给值求角”实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的范围)，在选取函 数时，遵循以下原则： (1
40、)已知正切函数值，选正切函数 (2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数若角的范围是 0， 2 ，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0， )，选余弦函数；若角的范围为 2， 2 ，选正弦函数 (3)谨记“给值求角”问题口诀 求角大小象限定，函数转化标准型 题型利用三角恒等变换化简与证明 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 1化简：1sin cos sin 2cos 2 22cos (0)_. 答案cos 解析 原式 2sin 2cos 22cos 2 2 sin 2cos 2 4cos2 2 cos 2 sin2 2cos 2 2 |cos 2| cos 2cos |cos 2|
41、. 0，0 20，原式cos . 2证明：cos cos 2sin 2 sin 2 . 证明因为 2 2 ， 2 2 ， 所以 cos cos cos 2 2cos 2 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 2sin 2 sin 2 . 3证明： 2sin xcos x sin xcos x1sin xcos x1 1cos x sin x . 证明证法一：等式左边 2sin xcos x 2sin x 2cos x 22sin 2x 2 2sin x 2cos x 22sin 2x 2 2sin xcos x 2sin x 2 c
42、os x 2sin x 2 2sin x 2 cos x 2sin x 2 2sin xcos x 4sin2x 2 cos2x 2sin 2x 2 2sin xcos x 4sin2x 2cos x sin x 2sin2x 2 2sin x 2cos x 2 2sin2x 2 cos x 2 sin x 2 ， 等式右边 2cos2x 2 2sin x 2cos x 2 cos x 2 sin x 2 . 左边右边，原等式成立 证法二：等式左边 2sin xcos x sin xcos x1sin xcos x1 2sin xcos x sin2xcos x12 2sin xcos x s
43、in2xcos2x2cos x1 2sin xcos x 2cos2x2cos x sin x cos x1， 则原等式等价于 sin x cos x1 1cos x sin x ， 即 sin2x(1cos x)(1cos x)， 即 sin2x1cos2x， 即 sin2xcos2x1，该等式恒成立， 原等式成立 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 三角恒等式的证明策略 1绝对三角恒等式的证明 (1)由繁杂的式子证到简单的式子； (2)证明左右两边等于同一式子； (3)证明与原恒等式等价的式子，从而推出原式成立 2条件三角恒等式的证明 分析已知条件与所证等式的特点、角的关系，寻找证明
44、突破口，常用的方法有：代入法、消元法、两头凑法 题型利用三角恒等变换解决实际问题 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 1如图，在矩形 OABC 中，AB1，OA2，以 B 为圆心，BA 为半径在矩形内部作弧，点 P 是弧上一动点， PMOA，垂足为 M，PNOC，垂足为 N，求四边形 OMPN 的周长的最小值 解连接 BP，设CBP，其中 0 2， 则 PM1sin ，PN2cos ， 则四边形 DMPN 的周长 C62(sin cos )62 2sin 4 ， 因为 0 2，所以 4 4 3 4 ， 故当 4 2，即 4时，周长 C 有最小值 62 2. 探究若本例题中条件“OA
45、2”改为“OA1”，其他条件不变，求四边形 OMPN 面积的最大值 解连接 BP，设CBP，其中 0 2， 则 PM1sin ，PN1cos ， 四边形 OMPN 的面积 S(1sin )(1cos )1(sin cos )sin cos ， 令 sin cos t， 则 sin cos 1 2(t 21)， S1t1 2(t 21)1 2(t1) 2， 因为 tsin cos 2sin 4 ， 由 0 2，得 4 40)个单位得到的，则的最 小值为() A 6 B5 6 C 12 D5 12 答案C 角度.利用三角恒等变换研究三角函数的性质问题 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
46、 3已知函数 f(x) 2(sin xcos x)cos x 2 2 (0)的图象的一条对称轴为 x3 8. (1)求的最小值； (2)当取最小值时，若 f 2 4 3 5， 20，所以的最小值为 1. (2)由(1)知 f(x)sin 2x 4 . 则 f 2 4 sin 2 2 4 4 sin 4 3 5. 因为 20， 所以 4 40， 则 cos 4 4 5. 所以2sin 2 4 2sin 2 4 3 4 sin 2 4 cos 2 4 2sin 4 cos 4 2cos2 4 1 23 5 4 52 4 5 21 31 25. 42016 天津卷已知函数 f(x)4tan xsin
47、 2xcos x 3 3. (1)求 f(x)的定义域与最小正周期； (2)讨论 f(x)在区间 4， 4 上的单调性 解(1)f(x)的定义域为 x|x 2k，kZ. f(x)4tan xcos xcos x 3 3 4sin xcos x 3 3 4sin x 1 2cos x 3 2 sin x 3 2sin xcos x2 3sin2x 3 sin 2x 3(1cos 2x) 3 sin 2x 3cos 2x 2sin 2x 3 . 所以，f(x)的最小正周期 T2 2 . (2)令 z2x 3，函数 y2sin z 的单调递增区间是 22k， 22k，kZ. 由 22k2x 3 22
48、k， 得 12kx 5 12k，kZ. 设 A 4， 4 ，Bx| 12kx 5 12k，kZ， 易知 AB 12， 4 . 所以，当 x 4， 4 时，f(x)在区间 12， 4 上单调递增，在区间 4， 12 上单调递减 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 求与三角函数有关的函数的周期、单调区间、对称轴、对称中心和值域等问题时，一般先要转化为 yAsin(x )k 或 yAcos(x)k 的形式 解答此类题目的步骤 第一步：将 f(x)化为 asin xbcos xk 的形式； 第二步：构造 f(x) a2b2 a a2b2sin x b a2b2cos xk； 第 三 步 ： 逆
49、用 和 差公 式 得 f(x) a2b2sin(x ) k 其中 tan b a 或 f(x) a2b2cos(x ) k 其中 tan a b ； 第四步：研究 f(x) a2b2sin(x)k 或 f(x) a2b2cos(x)k 的性质 提醒 完成限时跟踪检测(十九) 第五节三角函数的图象与性质 复习要点1.能画出 ysin x，ycos x，ytan x 的图象，了解三角函数的周期性 2理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与 x 轴的交点等)，理解 正切函数在区间 2， 2 内的单调性 知识点正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数ysin
50、xycos xytan x 图象 定义域xRxR x|xR 且 x 2 k，kZ 值域_ 单调性 在_上 递增； 在_上 递减 在_上递 增； 在_上递 减 在 _ 上递增 最值 x_时， ymax 1； x_时， ymin 1 x_时，ymax 1； x_时，ymin 1 无最值 奇偶性_ 对 称 性 对称中心_ 对称轴_无对称轴 最小正 周期 _ 答案：1,11,1R 22k， 22k(kZ) 22k，3 2 2k (kZ)(2k1)，2k(kZ) 2k，(2k1)(kZ) 2k， 2k(kZ) 22k(kZ) 22k(kZ) 2k(kZ) 2k(kZ)奇偶奇(k，0)，kZ k 2，0，
