1、“第三届全国高中青年教师优秀课观摩与评比活动”说课参赛教案 任意角的三角函数（第一课时）任意角的三角函数（第一课时） 云南省曲靖市第一中学张国坤 教材：人民教育出版社中学数学室编全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（下） （2003 年 12 月第一版， 2005 年 11 月第三次印刷）. 一、教学目标 1掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义（包括定义域、正负符号判断） ；了解任 意角的余切、正割、余割函数的定义. 2经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程，体验三角函数概念 的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验. 3培养学生通过现象看本质
2、的唯物主义认识论观点，渗透事物相互联系、相互转化的 辩证唯物主义世界观. 4培养学生求真务实、实事求是的科学态度. 二、重点、难点、关键 重点：任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、 （正负）符号判断法. 难点：把三角函数理解为以实数为自变量的函数. 关键：如何想到建立直角坐标系；六个比值的确定性（ 确定，比值也随之确定）与 依赖性（比值随着的变化而变化）. 三、教学理念和方法 教学中注意用新课程理念处理传统教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿 和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、 引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经
3、历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格，本节课采用“启发探索、讲启发探索、讲 练结合练结合”的方法组织教学. 四、教学过程 执教线索： 回想再认：函数的概念、锐角三角函数定义（锐角三角形边角关系）问题情境：能推广到任意角吗？它山之石： 建立直角坐标系（为何？）优化认知：用直角坐标系研究锐角三角函数探索发展：对任意角研究六个比值（与角之 间的关系：确定性、依赖性，满足函数定义吗？）自主定义：任意角三角函数定义登高望远：三角函数的要素分析 （对应法则、定义域、值域与正负符号判定）例题与练习回顾小结布置作业 （一）复习引入、回想再认 开门见山，面对全体学生提问： 在初中我们初步
4、学习了锐角三角函数，前几节课，我们把锐角推广到了任意角，学习了 角度制和弧度制，这节课该研究什么呢？ 探索任意角的三角函数（板书课题） ，请同学们回想，再明确一下： （情景 1）什么叫函数？或者说函数是怎样定义的？ 让学生回想后再点名回答，投影显示规范的定义，教师根据回答情况进行修正、强调： 传统定义传统定义：设在一个变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一 确定的值和它对应，那么就说 y 是 x 的函数，x 叫做自变量，自变量 x 的取值范围叫做函数 的定义域. 现代定义现代定义：设 A、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的 任
5、意一个数，在集合 B 中都有唯一确定的数 f（x）和它对应，那么就称映射：AB 为从集 合 A 到集合 B 的一个函数，记作：y= f（x） ，xA ，其中 x 叫自变量,自变量 x 的取值范围 A 叫做函数的定义域. 设计意图： 函数和三角函数是一般和特殊的关系，是共性和个性的关系，学生已经学习了函数的概念，因此对三角函数的学习就是 一个从一般到特殊的演绎的过程,也是以具体函数丰富函数概念的过程. 教学经验表明： 学生对函数两种定义的记忆是有一定 困难的，容易遗忘，此处让学生对函数概念进行回想再认，目的在于明确函数概念的本质，为演绎学习任意角三角函数概念 作好知识和认知准备. （情景 2）我
6、们在初中通过锐角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切等 三个三角函数.请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？ 学生口述后再投影展示，教师再根据投影进行强调： 对 边 邻边 sin= 斜边 对边 ，con= 斜边 邻边 ，tan= 邻边 对边 （图 1） 设计意图： 学生在初中学习了锐角的三角函数概念，现在学习任意角的三角函数，又是一种推广和拓展的过程（类似于从有理数到 实数的扩展）. 温故知新，要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，对锐角三 角函数的复习就必不可少. （二）引伸铺垫、创设情景 （情景 3） 我们已经把锐角推广到了任意角， 锐角的
7、三角函数概念也能推广到任意角吗？ 试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！ 留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导. 能推广吗？怎样推广？针对刚才的问题点名让学生回答. 用角的对边、临边、斜边比值 的说法显然是受到阻碍了，由于 4.1 节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生一般 会想到（否则教师进行提示）继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数. 设计意图： 从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲突，进行必要的启发，将学生思维引上自主探 索、合作交流的“再创造”征程. 教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系
8、重新研究锐角三 角函数定义！ 师生共做（学生口述，教师板书图形和比值） ： 把锐角安装安装（如何安装？角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴非负半轴重合）在直角 坐标系中，在角终边上任取一点 P，作 PMx 轴于 M，构造一个 RtOMP，则 MOP= （锐角） ，设 P（x,y） （x0、y0） ，的临边 OM =x、对边 MP=y，斜边长|OP=r. 根据锐角三角函数定义用 x、y、r 列出锐角的正弦、余弦、正切三个比值，并补充对 应列出三个倒数比值： 设计意图： 此处做法简单，思想重要. 为了顺利实现推广，可以构建中间桥梁或公共载体，使之既与初中的定义一致，又能自然地 迁移到任意角的情形
9、. 由于前一节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了， 学生自然能想到仍然以直角坐标系为工具来研 究任意角的三角函数. 初中以直角三角形边角关系来定义锐角三角函数，现在要用坐标系来研究，探索的结论既要满足任意 角的情形，又要包容初中锐角三角函数定义. 这是一个认识的飞跃，是理解任意角三角函数概念的关键之一，也是数学发现 的重要思想和方法，属于策略性知识,能够形成迁移能力,为学生在以后学习中对某些知识进行推广拓展奠定了基础（譬如从 平面向量到空间向量的扩展，从实数到复数的扩展等）. （情景 4）各个比值与角之间有怎样的关系？比值是角的函数吗？ 追问：锐角大小发生变化时，比值会改变吗？ 先让学生想象
10、思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：保持 r 不变，让 P 绕原点 O 旋转即在锐角范围内变化，六个比值随之变 化的直观形象。结论是：比值随的变化而变化. x O M P(x,y) y sin= 斜边 对边 = r y ，con= 斜边 邻边 = r x ，tan= 邻边 对边 = x y ?= y r ?= x r ?= y x （图 2） 引导学生观察图 3，联系相似三角形知识， 探索发现： 对于锐角的每一个确定值，六个比值都是 确定的，不会随 P 在终边上的移动而变化. 得出结论(强调)：当为锐角时，六个比值随的变化而变化；但对于锐角的每一个确定 值，六个比值都是
11、确定的，不会随 P 在终边上的移动而变化. 所以，六个比值分别是以角六个比值分别是以角为为 自变量、以比值为函数值的函数自变量、以比值为函数值的函数. 设计意图： 初中学生对函数理解较肤浅， 这里在学生思维的最近发展区进一步研究初中学过的锐角三角函数， 在思维上更上了一个 层次，扣准函数概念的内涵，突出变量之间的依赖关系或对应关系，是从函数知识演绎到三角函数知识的主要依据，是准确 理解三角函数概念的关键， 也是在认知上把三角函数知识纳入函数知识结构的关键. 这样做能够使学生有效地增强函数观念. （三）分析归纳、自主定义 （情境 5）能将锐角的比值情形推广到任意角吗? 水到渠成，师生共同进行探索
12、和推广： 对于一个任意角，它的终边所在位置包括下列两类共八种情形（投影展示并作分析） ： 终边分别在四个象限的情形：终边分别在四个半轴上的情形： x O M P y （图 3） P M P(x,y) y xO y x P(x,y) O 角终边 P(x,y) y xO P(x,y) y xO （图 4） P(x,y) y x O P(x,y) y xO P(x,y) y x O P(x,y) y xO （图 5） ； （指出：不画出角的方向，表明角具有任意性） 怎样刻画任意角的三角函数呢？研究它的六个比值： （板书）设是一个任意角，在终边上除原点外任意取一点 P（x，y） ，P 与原点 O 之间
13、 的距离记作 r（r= 22 yx 0） ，列出六个比值： r y r x x y y r x r y x =k+/2 时，x=0，比值 y/x、r/x 无意义； = k时，y=0，比值 x /y、r /y 无意义. 追问：大小发生变化时，比值会改变吗？ 先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：使 r 保持不变，P 绕原点 O 逆时针、顺时针旋转即角变化，六个比值随之改变的直观形象。结论 是：各比值随的变化而变化. 再引导学生利用相似三角形知识，探索发现： 对于任意角的每一个确定值，六个比值 都是确定的，不会随 P 在终边上的移动而变化. 综上得到（强调） ：当
14、角当角变化时变化时，六个比值随之变化六个比值随之变化；对对于确定的角于确定的角， 六个比值六个比值（如如 果存在的话果存在的话）都不会随都不会随 P 在角在角终边上的改变而改变终边上的改变而改变，六个比值是确定的六个比值是确定的(对应的多值性即诱导公式 一留到下节课分析). 因此，六个比值分别是以角因此，六个比值分别是以角 为自变量、以比值为函数值的函数为自变量、以比值为函数值的函数. . 根据历史上的规定， 对比值进行命名， 指出英文记法和读法， 记作（承前作复合板书） ： r y =sin（正弦）（正弦） r x =cos（余弦）（余弦） x y =tan（正切）（正切） y r =csc
15、（余割）（余割） x r =sec（正弦）（正弦） y x =cot（余切）（余切） 教师强调：sin表示 sin 与的乘积吗？不是，sin是函数记号，是一个整体,相当于函 数记号 f（x）. 其它几个三角函数也如此 投影显示图六，指导学生分析其对应关系，进一步体会其函数内涵： y r 正弦 x r 余弦 y x 正切 r y 余割 r x 正割 x y 余切 （图六） 指导学生识记六个比值及函数名称. 教师指出：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六个函数统称为三角函数，三角函 数有非常丰富的知识和思想方法，我们以后主要学习正弦、余弦、正切三个函数的相关知 识和方法，对于余切、正割、余割，只要
16、同学们了解它们的定义就够了（遵循大纲要求）. 引导学生进一步分析理解： 已知角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，对于每一个确定的实数，把它看 成一个弧度数， 就对应着唯一的一个角， 从而分别对应着六个唯一的三角函数值. 因此，（板 书）三角函数可以看成是以实数为自变量的函数三角函数可以看成是以实数为自变量的函数，这将为以后的应用带来很多方便. 设计意图： 把角的终边分别在四个象限、四条半轴上的情形全作出来，有利于对任意性的全面把握. 明确比值存在与否的条件，为 确定函数定义域作准备. 动画演示比值与角之间的依赖性与确定性关系，深化理解三角函数内涵. 引导学生在理解的基础上 自主地对三角函
17、数作出明确定义，是本节课的中心任务. 由于学生刚学弧度制，对弧度制的理解有待于在以后的学习应用中 逐步感悟，因此部分学生对“三角函数可以看成是以实数为自变量的函数”的理解有半信半疑之感，有待通过后续的应用加 深理解. （四）探索定义域 （情景 6） （1）函数概念的三要素是什么？ 函数三要素：对应法则、定义域、值域. 正弦函数 sin的对应法则是什么？ 正弦函数 sin的对应法则，实质上就是 sin的定义：对的每一个确定的值，有唯 一确定的比值 y/r 与之对应，即 y/r= sin. (2)布置任务情景：什么是三角函数的定义域？请求出六个三角函数的定义域，填写下 表： 三角 函数 sin c
18、os tancotcscsec 定义 域 引导学生自主探索： 如果没有特别说明，那么使解析式有意义的自变量的取值范围叫做函数的定义域，三角 函数的定义域自然是指：使比值有意义的角的取值范围. 关于 sin=y/r、cos=x/r，对于任意角（弧度数） ，r0，y/r、x/r 恒有意义，定义 域都是实数集 R. 对于 tan=y/x，= k+/2 时 x=0，y/x 无意义，tan的定义域是：|R，且k +/2 . 教师指出:sin、cos、tan的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的基础上记熟，cot、csc、sec的定义域 不要求记忆. （关于值域，到后面再学习）. 设计意图： 定义域是函数三
19、要素之一，研究函数必须明确定义域. 指导学生根据定义自主探索确定三角函数定义域，有利于在理解 的基础上记住它、应用它，也增进对三角函数概念的掌握. （五）符号判断、形象识记 （情景 7）能判断三角函数值的正、负吗？试试看！ 引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，r0,三角函数值的符号决定于三角函数值的符号决定于 x x、y y 值的正值的正 负负，根据终边所在位置总结出形象的识记口诀： （同好得正、异号得负） sin= y/r：上正下负横为 0cos=x/r：左负右正纵为 0tan=y/x：交叉正负 设计意图： 判断三角函数值的正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求. 要引导学生抓住定义
20、、数形结合判断和记忆三 y x y x y x 角函数值的正负符号，并总结出形象的识记口诀，这也是理解和记忆的关键. （六）练习巩固、理解记忆 1、自学 例 1：已知角的终边经过点 P（2，-3） ，求的六个三角函数值. 要求：读完题目，思考：计算什么?需要准备什么?闭目心算，对照解答，模仿书面表达 格式，巩固定义. 课堂练习： p19 题 1：已知角的终边经过点 P（-3，-1） ，求的六个三角函数值. 要求心算，并提问中下学生检验，- 点评：角终边上有无穷多个点，根据三角函数的定义，只要知道终边上任意一个点的 坐标，就可以计算这个角的三角函数值（或判断其无意义）. 补充例题：已知角的终边经
21、过点 P（x，-3） ，cos=4/5，求的其它五个三角函数值. 师生探索：已知 y=-3，要求其它五个三角函数值，须知 r=？，x=？.根据定义得 22 )3(xx=54（方程思想） ， x0，解得 x=4，从而 - -.解答略. 2、自学 例 2：求下列各角的六个三角函数值：(1) 0；(2)/2 ；(3) 3/2. 提问，据反馈信息作点评、修正. 师生探索：紧扣三角函数定义求解，首先要在终边上取定一点。终边在哪儿呢？取定哪 一点呢？任意点、还是特殊点？要灵活，只要能够算出三角函数值，都可以。 取特殊点能使计算更简明。 课堂练习：p19 题 2.（改编）填表： 角（角度）090180 27
22、0 360 角（弧度） sin cos tan 处理：要求取点用定义求解，针对计算过程提问、点评，理解巩固定义. 强调：终边在坐标轴上的角叫轴线角，如 0、/2 、3/2 等，今后经常用到轴线 角的三角函数值，要结合三角函数定义记熟这些值. 设计意图： 及时安排自学例题、自做教材练习题，一般性与特殊性相结合，进行适量的变式练习，以巩固和加深对三角函数概念的 理解，通过课堂积极主动的练习活动进行思维训练，把“培养学生分析解决问题的能力”贯穿在每一节课的课堂教学始终. （七）回顾小结、建构网络 要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记，提问检查并强调： 1 你是怎样把锐角三角函数定义推广到任意角的
23、？或者说任意角三角函数具体是怎样定 义的？（建立直角坐标系，使角的顶点与坐标原点重合，-，在终边上任意取定一点 P，-） 2你如何判断和记忆正弦、余弦、正切函数的定义域？（根据定义，-） 3你如何记忆正弦、余弦、正切函数值的符号？（根据定义，想象坐标位置， -） 设计意图： 遗忘的规律是先快后慢，回顾再现是记忆的重要途径，在课堂内及时总结识记主要内容是上策. 此处以问题形式让学生 自己归纳识记本节课的主体内容，抓住要害，人人参与，及时建构知识网络，优化知识结构，培养认知能力. （八）布置课外作业 1书面作业：习题 4.3 第 3、4、5 题. 2认真阅读 p22“阅读材料：三角函数与欧拉” ，
24、了解欧拉的生平和贡献，特别学习他 对科学的挚着精神和坚忍不拔的顽强毅力！有兴趣的同学可以上网查阅欧拉的相关情况. 教 学 设 计 说 明 一、对本节教材的理解 三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用. 星星之火，可以燎原. 直角三角形简单朴素的边角关系，以直角坐标系为工具进行自然地推广而得到简明的任 意角的三角函数定义，紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，自然地导出三角函数线、定 义域、符号判断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、辅助角公式、 图象和性质，本章教材就是这些内容的具体安排. 定义直接用于解析几何（如直线斜率公式、 极坐标、部分曲线的参数方程
25、等） ，定义还是直接解决某些问题的工具，三角函数知识是物理 学、高等数学、测量学、天文学的重要基础. 三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容 的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身. 二、教学法加工 数学教材通常用抽象概括的形式化的数学书面语言阐述其知识和方法， 教师只有通过 教学法加工，始终贯彻“以学生的发展为本”的科学教育观， “将数学的学术形态转化为教育 形态” （张奠宙语） ，引导学生积极主动地进行思考活动，直接参与体验数学知识产生发展的 背景、过程，返璞归真，揭示本质，体会其中的思想和方法，学生只有这样才能真
26、正理解掌 握数学知识和方法，有效地发展智力、培养能力. 在本节教材中，三角函数定义是重点，三角函数线是难点，为了较好地突出重点和突破 难点，分散重点和难点，同时兼顾例题、课堂练习的协调匹配，将不按教材顺序来进行教学， 第一课时安排三角函数的定义（突出重点） 、定义域、符号判断、例题 1、2 及 p19 课堂练习 1、2、3，第二课时安排三角函数线、p15 练习（突破难点） 、诱导公式一及课本例题 3、4 和 其它练习. 本课例属第一课时. 教学经验表明，三角函数定义“简单易记” ，学生很容易轻视它，不少学生机械记忆、一 知半解. 本课例坚持“教师主导、学生主体”的原则，采用“启发探索、讲练结合
27、”的常规 教学方法， 在学生的最近发展区围绕学生的学习目标设计了一系列符合学生认知规律的程序， 通过多媒体辅助教学动画演示比值与角之间的依赖关系，拓展思维活动时空，力求使学生全 员主动参与，积极思考，体会定义产生、发展的过程，通过思维过程来理解知识、培养能力. 将六个比值放在一起来研究，同时给出六个三角函数的定义，能够增强对比感和整体感， 至于大纲对两组函数掌握与了解的不同要求，在下一步的教学中注意区分就行了. 教学中关于符号 sin、 cos、 tan的出场安排，教材首先对比值取名并给出英文记法， 再研究它们与的函数关系；另外可以先研究六个比值与之间的函数关系，然后再对六个比 值取名给出记法. 后者更能突出函数内涵，揭示三角函数本质.本课例采用后者组织教学. 三、教学过程分析（见穿插在教案中的设计意图）.
