1、恩施州恩施州 2022 届高三年级第一次教学质量监测考试届高三年级第一次教学质量监测考试 数学数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在出答题卡 上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.设集合04,AxxxN， 1 5 3 Bxx ，则AB （） A. 1 0, 3 B. 1
2、4 3 xx C.1,2,3D.0,5 2.已知1 i1 iz ，则复数z的虚部是（） A.iB.iC.1D.1 3.已知等差数列 n a满足 24 2aa， 5 3a ，则数列 n a的前 7 项和为（） A.6B.9C.12D.14 4.甲、乙、丙三人计划参加学校趣味运动会中的陀螺、蹴球、高脚竞速三个比赛项目，由于 时间关系，每个人只能随机选择参加一个项目，则甲、乙、丙三人恰好参加同一个比赛项目 的概率为（） A. 1 9 B. 1 3 C. 3 8 D. 1 2 5.已知直线20 xym与圆 22 :4O xy相交于A，B两点，则“10m ”是 “0OA OB ”的（） A.充分不必要条
3、件B必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.双曲线 22 22 :1 xy C ab （0a ，0b ）的左顶点为A，右焦点为F，过点A的直线交 双曲线C于另一点B， 当BFAF时满足2AFBF， 则双曲线离心率e的取值范围是 （） A.12eB. 3 1 2 eC. 3 2 2 eD. 33 1 2 e 7.圆内接四边形ABCD中2AD ，4CD ，BD是圆的直径，则AC BD （） A.12B.12C.20D.20 8.牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为 0 T， 则经过 一定时间t后的温度T满足 0 1 2 t h aa TTTT ，其
4、中 a T是环境温度，h称为半衰期， 现有一杯 80的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在 55.经测量室温 为 25，茶水降至 75大约用时 1 分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需 要等待（） （参考数据：lg30.4771，lg50.6990，lg111.0414） A.4 分钟B.5 分钟C.6 分钟D.7 分钟 二、多项选择：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分. 9.若10abc ，则有（） A.loglog cc abB. cc ab C
5、.a bcb acD. ab bc 10.已知函数 1 2 cosf xxxx，则以下说法正确的是（） A.( )f x是偶函数 B.( )f x在(0,)上单调递增 C.当0 x 时，( )1f x D.方程( )0f x 有且只有两个实根 11.已知函数 sincosf xxx，则以下叙述正确的是（） A.若 12 f xf x，则 12 xxk（kZ） B. f x的最小正周期为2 C. f x在 3 , 44 上单调递减 D. f x的图像关于xk（kZ）对称 12.在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，点P满足 1 DPDDDA ，0,1， 0,1，则以下说法正确的
6、是（） A.当时，/BP平面 11 CB D B.当 1 2 时，存在唯一点P使得DP与直线 1 CB的夹角为 3 C.当1时，CP长度的最小值为 6 2 D.当1时，CP与平面 11 BCC B所成的角不可能为 3 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 8 1 x x 的展开式中 2 x的系数为_. 14.若对任意的实数x，函数 f x的值都取 2 x，43x，310 x中的最小值，则 f x的 最大值为_. 15.设点P是椭圆 22 1 95 xy 上的点， 1 F， 2 F是该椭圆的两个焦点， 若 12 PFF的面积为 5 2 ， 则 12 sinFPF_
7、. 16.一块边长为 4 的正方形纸板，如图所示，M是AB的中点，现将该纸板沿MC，MD折 起，使MA，MB重合，得到一个四面体，则该四面体的外接球的体积为_. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10 分） 已知 n S为数列 n a的前n项和，且22n n S ，数列 n b满足 2 log nn ba. （1）求 n a，; n b （2）若 nnn ca b，求数列 n c的前n项和 n T. 18.（12 分） 在ABC中 ， 角A，B，C所 对 的 边 分 别 为a，b，c， 222 sinsinsisinnsinBCBCA
8、. （1）求A； （2）若6bc，求ABC的中线AM的最小值. 19.（12 分） 如图所示，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，ABAD，/AB CD， 24ABADPACD，G为PD的中点. （1）求证AG 平面PCD； （2）若点F为PB的中点，线段PC上是否存在一点H，使得平面GHF 平面PCD?若 存在，请确定H的位置；若不存在，请说明理由. 20.（12 分） 已知抛物线 2 :2C ypx（0p ） 的顶点为A， 直线yx与拋物线C的交点 （异于点A） 到点A的距离为4 2， （1）求C的标准方程； （2） 过点A作斜率为k（0k ） 的直线l与C交于点M（异于点A） ，
9、直线l关于直线yx 对称的直线 1 l与C交于点N（异于点A） ，求证：直线MN过定点. 21.（12 分） 某企业创新形式推进党史学习教育走深走实， 举行两轮制的党史知识竞赛初赛， 每部门派出 两个小组参赛，两轮都通过的小组才具备参与决赛的资格，该企业某部门派出甲、乙两个小 组， 若第一轮比赛时两组通过的概率分别是 4 5 ， 2 3 ， 第二轮比赛时两组通过的概率分别是 3 4 ， 3 5 ，两轮比赛过程相互独立. （1）若将该部门获得决赛资格的小组数记为X，求X的分布列与数学期望； （2）比赛规定：参与决赛的小组由 4 人组成，每人必须答题且只答题一次（与答题顺序无 关） ，若 4 人全
10、部答对就给予奖金，若没有全部答对但至少 2 人答对就被评为“优秀小组. 该部门对通过初赛的某一小组进行党史知识培训，使得每个成员答对每题的概率均为p （01p）且相互独立，设该参赛小组被评为“优秀小组”的概率为 fp，当 0 pp 时， fp最大，试求 0 p的值. 22.（12 分） 已知函数 lnf xxx. （1）判断 f x的单调性； （2）设方程 210f xx 的两个根为 1 x， 2 x，求证： 2 12 2eexx. 恩施州恩施州 2022 届高三年级第一次教学质量监测考试届高三年级第一次教学质量监测考试 数学试卷参考答案数学试卷参考答案 一、单项选择题 12345678 CD
11、DAABBC 二、多项选择题 9101112 BCABDBCDACD 三、填空题 13.5614.415. 4 5 16. 76 57 27 四、解答题 17.解答 （1） 11 4aS， 1 1 2n nnn aSS ，2 分 1 4,1 2,2 n n n a n ， 2,1 1,2 n n b nn ；4 分 （2） 1 8,1 1 2,2 nnnn n ca b nn ，5 分 当1n 时， 1 8T .6 分 当2n时， 231 822 23 21 2n n Tn 234 21622 23 2(1)2n n Tn 两式相减得 2341 622221 2 nn n Tn 8 分 2 4
12、 1 2 61 2102 2 1 2 n nn nn ， 即102 2n n Tn.又当1n 时也满足上式 则数列 n c的前n项和为102 2n n Tn10 分 18.解答 （1）由题意得 222 sinsinsinsinsinABCBC 222 abcbc2 分 222 1 cos 22 bca A bc ，4 分 则 3 A ；6 分 （2）由题意 1 2 AMABAC ，则 2 21 4 AMABAC 7 分 2 22 11 44 bcbcbcbc 2 2127 424 bc bc 10 分 则 3 3 2 AM ，即ABC的中线AM的最小值为 3 3 2 .12 分 19.解答 （
13、1） 证明：PA 平面ABCD， 所以PAAB， 又ADAB，DAAPA ， 所以AB 面PAD， 又/AB CD，所以CD 面PAD，AG 面PAD，CDAG. 又PAAD，G为PD的中点，所以AGPD，PDDCD，所以AG 平面 PCD.4 分 （2）建立如图所示的空间直角坐标系，则 0,0,0A，0,4,0B，4,2,0C，4,0,0D，0,0,4P，0,2,2F， 2,0,2G.5 分 则4,2, 4PC . 设PHkPC （01k） ，所以4 ,2 , 4PHkkk ，点H坐标为4 ,2 , 44kkk. 设平面GHF的法向量为, ,nx y z ，则0n GH ，0n FG ， 即
14、 422420 220 kxkykz xy ，8 分 可取21,21,31nkkk ，10 分 由（1）可知2,0,2AG 为平面PCD的一个法向量， 若平面GHF 平面PCD，则0n AG ， 解得 2 5 k .即 2 5 PHPC时平面GHF 平面PCD12 分 （若学生取 31 1,1, 21 k n k （ 1 2 k ） ，还需说明当 1 2 k 时，平面/GHF平面ABCD， 显然不垂直） 20.解答 （1）可求得交点坐标为2 ,2pp，所以 22 224 2pp，2p ， 抛物线的标准方程为 2 4yx4 分 （2）证明：设 11 ,M x y， 22 ,N xy， 将: l
15、ykx代入抛物线方程得 22 40k xx， 所以 2 4 x k ， 1 4 y k .6 分 设直线 11 :lyk x，同理 2 2 1 4 x k ， 2 1 4 y k ， 因为l与直线 11 :lyk x关于直线yx对称， 由图形对称性，计算可得 1 1k k .8 分 所以 2 2 4xk， 2 4yk， 又 2 21 42 2 21 2 4 4 1 4 11 4 MN k k k yyk k k xxkk k k ，10 分 所以直线MN的方程为 22 44 1 k yx kkk ， 化简有 2 4 1 k yx k ，所以恒过定4,0.12 分 21.解答 （1）设甲乙通过两
16、轮制的初赛分别为事件 1 A， 2 A.则 1 343 455 P A， 2 322 535 P A.2 分 由题意X的取值可能为 0，1，2.则 326 011 5525 P X ， 323213 111 555525 P X ， 326 2 5525 P X .5 分 那么X的分布列为： X012 P 6 25 13 25 6 25 6136 0121 252525 E X .6 分 （ 2 ） 由 题 意 ， 小 组 中 2 人 答 对 的 概 率 为 2 22 4 1Cpp， 3 人 答 对 的 概 率 为 33 4 1Cp p，8 分 则 2 23432 6 14 1286fpppp
17、 pppp.9 分 322 824124263fppppppp，（10 分） 令 0fp得 1 0p ， 2 33 2 p ， 3 33 2 p ， 所以在 33 0, 2 上， fp单调递增，在 33 ,1 2 上， fp单调递减.11 分 故 0 33 2 p 时， fp最大.12 分 22.解答 （1） ln1fxx，0,x，那么 0fx， 1 e x ， 所以 f x在 1 0, e 单调递减，在 1 , e 单调递增.2 分 （2）令 21g xf xx， ln10gxx ， 则ex ， g x在0,e单 调 递 减 ，e,单 调 递 增 ， 又 e0F， 不 妨 设 12 0exx
18、4 分 先证明 12 2exx.只要证明 21 2exx，即只要证明 21 2eg xgx. 因为 21 ,g xg x 令 2eh xg xgx，0,ex，则 2 22 ln2ln 2ln 22lne20h xxexexxxe 6 分 h x在0,e单调递减，所以 e0h xh. 从而必有 21 2 e g xgx 8 分 下面证明 2 21 exx. 因为 1 ln1x ， 111 lnxxx，所以 1111 ln2xxxx ， 又 111222 ln2ln21xxxxxx ，所以 1222 2lnxxxx， 12222 3lnxxxxx10 分 令 3lnxxxx，e,x， 2lnxx， 令 0 x， 2 ex ， x在 2 e,e上单调递增，在 2 e ,上单调递减， 故 22 12 max eexxx. 综上， 2 21 2eexx.12 分
