1、=【 ;精品教育 资源文库 】 = 第 44 讲 立体几何中的向量方法 (一 ) 证明平行与垂直 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.理解直线的方向向量与平面法向量的意义 2 能用向量语言表达直线与直线 、直线与平面 、 平面与平面的垂直和平行关系 3 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理 (包括三垂线定理 ). 2016 山东卷， 17 2016 浙江卷， 17 2016 天津卷， 17 空间直角坐标系 、空间向量及其运算在高考中主要作为解题工具 ， 解决直线 、 平面的平行 、 垂直位置关系的判定等问题 . 分值： 5 6 分 1 直线的方向 向量与平面的法向量的确定 (1)直线
2、的方向向量：在直线上任取一 _非零 _向量作为它的方向向量 (2)平面的法向量可利用方程组求出：设 a， b 是平面 内两不共线向量 ， n 为平面 的法向量 ， 则求法向量的方程组为? na 0，nb 0. 2 用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2， 则 l1 l2(或 l1与 l2重合 )?_v1 v2_. (2)设直线 l 的方向向量为 v， 与平面 共面的两个不共线向量 v1和 v2， 则 l 或l? ?_存在两个实数 x， y， 使 v xv1 yv2_. (3)设直线 l 的方向向量为 v， 平面 的法向量为 u， 则 l 或 l?
3、?_v u_. (4)设平面 和 的法向量分别为 u1， u2， 则 ?_u1 u2_. 3 用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2， 则 l1 l2?_v1 v2_?_v1v 2 0_. (2)设直线 l 的方向向量为 v， 平面 的法向量为 u， 则 l ?_v u_. (3)设平面 和 的法向量分别为 u1和 u2， 则 ?_u1 u2_?_u1u 2 0_. 1 思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) (1)直线的方向向量是唯一确定的 ( ) (2)若两直线的方向向量不平行 ， 则两直线不平行 ( ) =【 ;精品教育 资源文库 】 =
4、 (3)若两平面的法向量平行 ， 则两平面平行或重合 ( ) (4)若空间向量 a 平行于平面 ， 则 a 所在直线与平面 平行 ( ) 2 已知 A(1,0,0)， B(0,1,0)， C(0,0,1)， 则下列向量是平面 ABC 法向量的是 ( C ) A ( 1,1,1) B (1， 1,1) C ? ? 33 ， 33 ， 33 D ? ?33 ， 33 ， 33 解析 AB ( 1,1,0)， AC ( 1,0,1)， 经计算得 C 符合题意 3 已知直线 l 的方向向量 v (1,2,3)， 平面 的法向量为 u (5,2， 3)， 则 l 与 的位 置关系是 _l a 或 l?
5、_. 解析 v (1,2,3)， u (5,2， 3)， 15 22 3( 3) 0， v u， l a 或 l? . 4 设 u， v 分别是平面 ， 的法向量 ， u ( 2,2,5)， 当 v (3， 2,2)时 ， 与 的位置关系为 _ _；当 v (4， 4， 10)时 ， 与 的位置关系为 _ _. 解析 当 v (3， 2,2)时 ， u v， 则 ， 当 v (4， 4， 10)时 ， u v， 则 . 5 如图所示 ， 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 ， O 是底面正方形 ABCD 的 中心 ， M 是 D1D 的中点 ， N 是 A1B1的中点 ， 则直线 ON，
6、AM 的位置关系是 _异面垂直 _. 解析 以 D 为原点 ， DA 为 x 轴 ， DC 为 y 轴 ， DD1为 z 轴 ， 建立直角坐标系 ， 设正方体棱长为 2， 则 A(2,0,0)， M(0,0,1)， O(1,1,0)， N(2,1,2)， 则 ON (1,0,2)， ON AM 0， ON AM ， ON AM. 一 利用空间向量证明平行问题 (1)恰当建立空间直角坐标系 ， 准确表示各点与相关向量的坐标 ， 是运用向量法证明平行和垂直的关键 (2)证明直线与平面平行 ， 只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零 ， 或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面 ，
7、 或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 ， 然后说明直线在平面外即可这样就把几何的证明问题转化为向量运算 =【 ;精品教育 资源文库 】 = 【例 1】 如图所示 ， 平面 PAD 平面 ABCD， ABCD 为正方形 ， PAD 是直角三角形 ， 且PA AD 2， E， F， G 分别是线 段 PA， PD， CD 的中点求证： PB 平面 EFG. 证明 平面 PAD 平面 ABCD， 且 ABCD 为正方形 ， AB， AP， AD 两两垂直 ， 以 A 为坐标原点 ， 建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz， 则 A(0,0,0)， B(2,0,0)， C(2,2,0)，
8、D(0,2,0)，P(0,0,2)， E(0,0,1)， F(0,1,1)， G(1,2,0) PB (2,0， 2)， FE (0， 1,0)， FG (1,1， 1)， 设 PB sFE tFG ， 即 (2,0， 2) s(0， 1,0) t(1,1， 1)， ? t 2，t s 0， t 2，解得 s t 2. PB 2FE 2FG ， 又 FE 与 FG 不共线 ， PB ， FE 与 FG 共面 PB?平面 EFG， PB 平面 EFG. 二 利用空间向量证明垂直问题 证明垂直问题的方法 (1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系 ， 准确写出相关点的坐标 ， 从而将几何证明转
9、化为向量运算其中灵活建系是解题的关键 (2)证明直线与直线垂直 ， 只需要证明两条直线的方向向量垂直；证明线面垂直 ， 只 需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可 ， 当然 ， 也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；证明面面垂直： 证明两平面的法向量互相垂直； 利用面面垂直的判定定理 ， 只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可 【例 2】 如图所示 ， 正三棱柱 (底面为正三角形的直三棱柱 )ABC A1B1C1 的所有棱长都为 2， D 为 CC1的中点求证： AB1 平面 A1BD =【 ;精品教育 资源文库 】 = 证明 如图所示 ， 取 BC
10、的中点 O， 连接 AO. 因为 ABC 为正三角形 ， 所以 AO BC 因为在正三棱柱 ABC A1B1C1中 ， 平面 ABC 平面 BCC1B1， 所以 AO 平面 BCC1B1. 取 B1C1的中点 O1， 以 O 为原点 ， 分别以 OB ， OO1 ， OA 所在直线为 x 轴 ， y 轴 ， z 轴建立空间直角坐标系 ， 则 B(1,0,0)， D( 1,1,0)， A(0,0， 3)， A1(0,2， 3)， B1(1,2,0) 设平面 A1BD 的法向量为 n (x， y， z)， BA1 ( 1,2， 3)， BD ( 2,1,0) 因为 n BA1 ， n BD ， 故
11、? n BA1 0，n BD 0，? x 2y 3z 0， 2x y 0， 令 x 1， 则 y 2， z 3， 故 n (1,2， 3)为平面 A1BD 的一个法向量 ， 而 AB1 (1,2， 3)， 所以 AB1 n， 所以 AB1 n， 故 AB1 平面 A1BD 【例 3】 如图 ， 在三棱锥 P ABC 中 ， AB AC， D 为 BC 的中点 ， PO 平面 ABC， 垂足 O落在线段 AD 上已知 BC 8， PO 4， AO 3， OD 2. (1)证明 AP BC； (2)若点 M 是线段 AP 上一点 ， 且 AM 3.试证明平面 AMC 平面 BMC 证明 (1)如图
12、所示 ， 以 O 为坐标原点 ， 以过 O 平行于 BD 的直线为 x 轴 ， 以 AD， OP 分别为 y， z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz. =【 ;精品教育 资源文库 】 = 则 O(0,0,0)， A(0， 3,0)， B(4,2,0)， C( 4,2,0)， P(0,0,4) 于是 AP (0,3,4)， BC ( 8,0,0)， AP BC (0,3,4)( 8,0,0) 0， AP BC ， 即 AP BC (2)由 (1)知 |AP| 5， 又 |AM| 3， 且点 M 在线段 AP 上 ， AM 35AP ? ?0， 95， 125 ， 又 BC ( 8,0,0)， AC
13、 ( 4,5,0)， BA ( 4， 5,0)， BM BA AM ? ? 4， 165 ， 125 ， 则 AP BM (0,3,4) ? ? 4， 165 ， 125 0， AP BM ， 即 AP BM， 又根据 (1)的结论知 AP BC， 且 BM BC C， AP 平面 BMC，于是 AM 平面 BMC 又 AM?平面 AMC， 平面 AMC 平面 BMC 三 利用空间向量解决探索性问题 对于 “ 是否存在 ” 型问题的探索方式有两种：一种是先根据条件作出判断 ， 再进一步论证；另一种是利用空间向量 ， 先假设存在点的坐标 ， 再根据条件求该点的坐标 ， 即找到 “ 存在点 ” ，
14、 若该点坐标不能求 出 ， 或有矛盾 ， 则判定 “ 不存在 ” 【例 4】 如图 ， 棱柱 ABCD A1B1C1D1的所有棱长都等于 2， ABC 和 A1AC 均为 60 ，平面 AA1C1C 平面 ABCD (1)求证： BD AA1； (2)在直线 CC1上是否存在点 P， 使 BP 平面 DA1C1.若存在 ， 求出点 P 的位置 ， 若不存在 ，请说明理由 解析 (1)证明：设 BD 与 AC 交于点 O， 则 BD AC， 连接 A1O， 在 AA1O 中 ， AA1 2， AO 1， A1AO 60 ， =【 ;精品教育 资源文库 】 = 由余弦定理 ， 得 A1O2 AA2
15、1 AO2 2AA1 AOcos 60 3， AO2 A1O2 AA21， A1O AO. 由于平面 AA1C1C 平面 ABCD， A1O 平面 ABCD 以 OB， OC， OA1所在直线分 別 为 x 轴 ， y 轴 ， z 轴 ， 建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 A(0， 1,0)， B( 3， 0,0)， C(0,1,0)， D( 3， 0,0)， A1(0,0， 3)， C1(0,2， 3) 由于 BD ( 2 3， 0,0)， AA1 (0,1， 3)， AA1 BD 0( 2 3) 10 30 0， BD AA1 ， 即 BD AA1. (2)假设在直线 CC1上存在点 P， 使 BP 平面 DA1C1， 设 CP CC1 ， P(x， y， z)， 则 (x， y 1， z) (0,1， 3) 从而有 P(0,1 ， 3 )， BP ( 3， 1 ， 3 ) 设 n3 (x3， y3， z3)为平面 DA1C1的一个法向量 ，
