1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 45 讲 立体几何中的向量方法 (二 ) 求空间角和距离 考纲要求 考情分析 命题趋势 能用向量方法解决直线与直线 、 直线与平面 、 平面与平面的夹角的计算问题 ， 了解向量方法在研究立体几何问题中的应用 . 2017 全国卷 ， 18 2017 全国卷 ， 19 2017 全国卷 ， 19 2017 江苏卷 ， 22 用向量法证明线线 、 线面 、 面面的平行与垂直 ， 用向量法求空间角和空间距离 ， 用向量法解决探索性问题 . 分值： 6 8 分 1 两条异面直线所成角的求法 设 a， b 分别是两异面直线 l1， l2的方向向量 ， 则 l1与 l
2、2所成的角 a 与 b 的夹角 范围 ? ?0， 2 (0， ) 求法 cos _|ab|a|b|_ cos ab|a|b| 2 直线与平面所成角的求法 设直线 l 的方向向量为 a， 平面 的法向量为 n， 直线 l 与平面 所成角为 ， a 与n 的夹角为 ， 则 sin |cos | _|an|a|n|_. 3 求二面角的大小 (1)如图 ， AB， CD 分别是二面角 l 的两个面内与棱 l 垂直的直线 ， 则二面角的大小 为 _ AB ， CD _. (2)如图 ， n1， n2分别是二面角 l 的两个半平面 ， 的法向量 ， 则二面角的大小 满足 |cos | _|cos n1，
3、n2 |_， 二面角的平面角大小是向量 n1与 n2的夹角 (或其补角 ) 4 利用空间向量求距离 (供选用 ) (1)两点间的距离 设点 A(x1， y1， z1)， 点 B(x2， y2， z2)， 则 |AB| |AB | _ ?x2 x1?2 ?y2 y1?2 ?z2 z1?2=【 ;精品教育资源文库 】 = _. (2)点到平面的距离 如图所示 ， 已知 AB 为平面 的一条斜线段 ， n 为平面 的法向量 ， 则 B 到平面 的距离为 |BO | |AB n|n| . 1 思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角 ( ) (2)
4、直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与 平面所成的角 ( ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角 ( ) (4)两异面直线夹角的范围是 ? ?0， 2 ， 直线与平面所成角的范围是 ? ?0， 2 ， 二面角的范围是 0， ( ) 2 已知向量 m， n 分别是直线 l 和平面 的方向向量和法向量 ， 若 cos m， n 12，则 l 与 所成的角为 ( A ) A 30 B 60 C 120 D 150 解析 cos m， n 12， 0 m， n 180 ， m， n 120 ， l 与 所成角为 90 (180 120) 30 ， 故选 A 3 正三棱柱 (如右
5、图 ， 底面是正三角形的直棱柱 )ABC A1B1C1 的底面边长为 2， 侧棱长为 2 2， 则 AC1与侧面 ABB1A1所成的角为 _30 _. 解析 取 A1B1的中点 E， 连接 C1E， AE， 由正三棱柱性质得平面 A1B1C1 平面 A1B1BA， 又 C1E A1B1， A1B1是平面 A1B1C1与平面 A1B1BA 的交线 ， C1E 平面 A1B1BA， 则 C1AE 为所求 又 A1B1 2， AA1 2 2， AE 3， C1E 3， =【 ;精品教育资源文库 】 = tan C1AE C1EAE 33 ， C1AE 30 ， AC1与平面 ABB1A1所成角为 3
6、0. 4 二面角的棱上有 A， B 两点 ， 直线 AC， BD 分别在这个二面角的两个半平面内 ， 且都垂直于 AB 已知 AB 4， AC 6， BD 8， CD 2 17， 则该二面角的大小为 _60 _. 解析 由条件 ， 知 CA AB 0， AB BD 0， CD CA AB BD ， |CD |2 |CA |2 |AB |2 |BD |2 2CA AB 2AB BD 2CA BD 62 42 82268 cos CA ， BD (2 17)2， cos CA ， BD 12， 即 CA ， BD 120 ， 二面角的大小为 60. 5 P 是二面角 AB 棱上一点 ， 分别在平面
7、 ， 上引射线 PM， PN， 如果 BPM BPN 45 ， MPN 60 ， 那么二面角 AB 的大小为 _90 _. 解析 过 AB 上一点 Q 分别在 ， 内作 AB 的垂线 ， 交 PM， PN 于 M， N， 则 MQN 为二面角 AB 的平面角设 PQ a， BPM BPN 45 ， QM QN a， PM PN 2a. 又 MPN 60 ， 知 PMN 为正三角形 ， 则 MN 2a， 解三角形 QMN， 易知 MQN 90. 一 求异面直线所成的角 用向量法求异面直线所成角的一般步骤 (1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系； (2)确定异面直线上两个点的坐标 ，从而确
8、定异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值 【例 1】 (2017 江苏卷 )如图 ， 在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中 ， AA1 平面 ABCD， 且AB AD 2， AA1 3， BAD 120. (1)求异面直线 A1B 与 AC1所成角的余弦值； (2)求二面角 B A1D A 的正弦值 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 在平面 ABCD 内 ， 过点 A 作 AE AD， 交 BC 于点 E.因为 AA1 平面 ABCD， 所以 AA1 AE， AA1 AD 如图 ， 以 AE ，
9、 AD ， AA1 为正交基底 ， 建立空间直角坐标系 Axyz. 因为 AB AD 2， AA1 3， BAD 120 ， 则 B( 3， 1,0)， D(0,2,0)， E( 3， 0,0)， A1(0,0， 3)， C1( 3， 1， 3) (1)A1B ( 3， 1， 3)， AC1 ( 3， 1， 3) 则 cos A1B ， AC1 A1B AC1|A1B |AC1 | 3 1 37 7 17. 因此异面直线 A1B 与 AC1所成角的余弦值为 17. (2)平面 A1DA 的一个法向量为 AE ( 3， 0,0) 设 m (x， y， z)为平面 BA1D 的一个法向量 ， 又
10、A1B ( 3， 1， 3)， BD ( 3， 3,0)， 则? m A1B 0，m BD 0，即 ? 3 y 3z 0， 3x 3y 0.不妨取 x 3， 则 y 3， z 2， 所以 m (3， 3， 2)为平面 BA1D 的一个法向量 ， 从而 cos AE ， m AE m|AE |m| ? 3， 0， 0? ?3， 3， 2?34 34. 设二面 角 B A1D A 的大小为 ， 则 |cos | 34. 因为 ， ， 所以 sin 1 cos 2 74 . 因此二面角 B A1D A 的正弦值为 74 . 二 求直线与平面所成的角 =【 ;精品教育资源文库 】 = 利用向量法求线面
11、角的方法 (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量 ， 转化为求两个方向向量的夹角(或其补角 ) (2)通过平面的法向量来求 ， 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所成的锐角 ， 取其余角就是斜线和平面所成的角 【例 2】 如图 ， 长方体 ABCD A1B1C1D1中 ， AB 16， BC 10， AA1 8， 点 E， F 分别在A1B1， D1C1上 ， A1E D1F 4.过点 E， F 的平面 与此长方体的底面相交 ， 交线围成一个正方形 (1)在图中画出这个正方形 (不必说明画法和理由 )； (2)求直线 AF 与平面 所成角的正弦值 解析 (1)交线围成的正方形 EH
12、GF 如图： (2)作 EM AB， 垂足为 M， 则 AM A1E 4， EM AA1 8. 因为四边形 EHGF 为正方形 ， 所以 EH EF BC 10. 于是 MH EH2 EM2 6， 所以 AH 10.以 D 为坐标原点 ， DA 的方向为 x 轴正方向 ， 建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz， 则 A(10,0,0)， H(10,10,0)， E(10,4,8)， F(0,4,8)， FE (10,0,0)， HE (0， 6,8) 设 n (x， y， z)是平面 EHGF 的法向量 ， 则? n FE 0，n HE 0，即? 10x 0， 6y 8z 0， 所以可取 n
13、 (0,4,3) 又 AF ( 10,4,8)， 故 |cos n， AF | |n AF |n|AF | 4 515 . 所以 AF 与平面 所成角的正弦值为 4 515 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 三 求二面角 求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在面的法向量 ， 然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小 ， 但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角 【例 3】 (2017 浙江卷 )如图 ， 已知正四面体 D ABC(所有棱长均相等的三棱锥 )， P，Q， R 分别为 AB， BC， CA 上的点 ， AP PB， BQQC CRRA 2.分别记二面角
14、 D PR Q， D PQ R，D QR P 的平面角为 ， ， ， 则 ( B ) A |OG|OF|， tan tan tan ， 又 ， ， 为锐角 ， ， 故选 B 【例 4】 (2017 北京卷 )如图 ， 在四棱锥 P ABCD 中 ， 底面 ABCD 为正方形 ， 平面 PAD 平面 ABCD， 点 M 在线段 PB 上 ， PD 平面 MAC， PA PD 6， AB 4. (1)求证： M 为 PB 的中点； (2)求二面角为 B PD A 的大小； (3)求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值 解析 (1)如图 ， 设 AC， BD 的交点 E， 连接 ME. 因为 PD 平面 MAC， 平面 MAC 平面 PDB ME， 所以 PD ME， 因为 ABCD 是正方形 ， 所以 E 为 BD 的中点 ， 所以 M 为 PB 的中点 (2)取 AD 的中点 O， 连接 OP， OE. 因为 PA PD， 所以 OP AD 又因为平面 PAD 平面 ABCD， 且 OP?平面 PAD， 所以 OP 平面 ABCD 因为 OE?平面 ABCD， 所以 OP OE. 因为 ABCD 是正方形 ， 所以 OE AD 如图建立空间直角坐标 系 Oxyz， 则 P(0,0， 2)， D(2,0,0)， B( 2,
