1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 18 讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数 考纲要求 考情分析 命题趋势 1了解任意角的概念，了解弧度制的概念 . 2能进行弧度与角度的互化 . 3理解任意角的三角函数 (正弦、余弦、正切 )的定义 . 2017 北京卷， 12 2016 全国卷 ， 9 1根据角的终边上的点的坐标求三角函数值 . 2根据三角函数值求参数值 . 3利用三角函数的定义判断三角函数的图象 . 分值： 3 5 分 1角的有关概念 (1)从运动的角度看，角可分为正角、 ！ 负角 #和 ！ 零角 #. (2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角 . (3)若 与 是终边相同的角，则
2、 用 表示为 ！ 2k ， k Z #. 2弧度与角度的互化 (1)1 弧度的角 长度等于 ！ 半径 #的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 . (2)角 的弧度数 如果半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l，那么角 的弧度数的绝对值是 | | ！ lr #. (3)角度与弧度的换算 1 ！ 180 #rad； 1 rad ！ ? ?180 #. (4)弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为 l，圆心角大小为 rad，半径为 r，则 l ！ | |r #，扇形的面积为 S 12lr ！ 12| | r2 #. 3任意角的三角函数 (1)定义：设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，
3、y)，那么 sin ！ =【 ;精品教育资源文库 】 = y #， cos ！ x #， tan ！ yx(x0) #；若 终边上有一 点 P(x，y)(与 O 不重合 )，则 sin yr， cos xr， tan yx，其中 r r2 y2. (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示 .正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是 (1,0).如图中有向线段 MP， OM， AT 分别叫做角 的 ！ 正弦线 #， ！ 余弦线 #和 ！ 正切线 #. 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “”). (1)顺时针旋转得到的角是 正角 .( ) (2)钝角是第二
4、象限的角 .( ) (3)若两个角的终边相同，则这两个角相等 .( ) (4)1 弧度的角就是长度为 1 的弧所对的圆心角 .( ) (5)终边在 y 轴上的角的正切值不存在 .( ) 解析 (1)错误 .顺时针旋转得到的角是负角 . (2)正确 .钝角的范围是 ? ? 2 ， ，显然是第二象限的角 . (3)错误 .角 180 的终边与角 180 的终边相同，显然它们不相等 . (4)错误 .1 弧度的角是单位圆中长度为 1 的 弧所对的圆心角 . (5)正确 .终边在 y 轴上的角与单位圆的交点坐标为 (0,1)， (0， 1).由三角函数的定义知，角的正切值不存在 . 2 870 的终边
5、在第几象限 ( C ) A一 B二 C三 D四 解析 因 870 2360 150 ， 150 是第三象限角 . 3已知角 的终边经过点 ( 3， 1)，则角 的最小正值是 ( B ) A 23 B 116 C 56 D 34 解析 sin 12 12，且 的终边在第四象限， 116 . 4若 sin 0，则 是 ( C ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 解析 由 sin 0，知 在第一或第三象限，因此 在第三象限 . 5弧长为 3 ，圆心角为 135 的扇形半径为 ！ 4 #，面积为 ！ 6 #. 解 析 弧长 l 3 ，圆心角 3
6、4 ，由弧长公式 l | | r 得 r l| | 334 4，面积 S 12lr 6. 一 象限角及终边相同的角 象限角和终边相同的角的判断及表示方法 (1)若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为 2k (0 0 时， r 5a， sin yr 45， cos xr 35， tan yx 43. =【 ;精品教育资源文库 】 = 【跟踪训练 1】 已知角 的终边在直线 y 3x 上，求 10sin 3cos 的值 . 解析 设 终边上任 一点为 P(k， 3k)， 则 r k2（ 3k） 2 10|k|. 当 k0 时， r 10k， sin 3k10k 310， 1cos
7、10kk 10， 10sin 3cos 3 10 3 10 0； 当 k0，则实数 a 的取值范围是 ( A ) A ( 2,3 B ( 2,3) C 2,3) D 2,3 解析 由 cos 0 ， sin 0 可知，角 的终边在第二象限或 y 轴的正半轴上，所以有? 3a 90 ，a 20， 解得 20， sin cos |cos |， cos 2 cos2 sin2 0)， 则 r x2 y2 5k，从而 cos xr 45， tan yx 34， cos 2tan 710. =【 ;精品教育资源文库 】 = 若点 P 位于第四象限，可设 P(4k， 3k)(k0)， 则 r x2 y2
8、5k， 从而 cos xr 45， tan yx 34， cos 2tan 710. 综上所述 ， 若点 P 位于第三象限 ， 则 cos 2tan 710； 若点 P 位于第四象限 ， 则 cos 2tan 710. 11已知扇形 AOB 的周长为 8. (1)若这个扇形的面积为 3，求圆心角的大小； (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦 AB 的长 . 解析 设扇形 AOB 的半径为 r，弧长为 l，圆心角为 ， (1)由题意可得? 2r l 8，12lr 3，解得? r 3，l 2， 或 ? r 1，l 6， lr 23或 lr 6. (2) 2r l 8， S 扇 12lr 12r(8 2r) r(4 r) (r 2)2 44 ，当且仅当 r 2，即 lr 2 时，扇形面积取得最大值 4. 弦长 AB 2sin 12 4sin 1 12已知 sin 0. (1)求 角的集合； (2)确定 2 的终边所在的象限； (3)试判断 tan 2sin 2cos 2 的符号 . 解析 (1)由 sin 0，知 的终边在第一 、三象限， 故 的终边在第三象限，其集合为 ? |?2k 1? 2k 32 ， k Z . (2)由 (2k 1) 2k 32 ， k Z，
