1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 19 讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.理解同角三角函数的基本关系式： sin2x cos2x 1， sin xcos x tan x. 2能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 ， 的正弦、余弦、正切的诱导公式 2016 全国卷 ， 5 2016 四川卷， 11 2015 陕西卷， 6 利用同角三角函数的基本关系和诱导公式进行化简求值以及恒等变换，解决三角形内的相关问题 分值： 4 5 分 1同角三角函 数的基本关系 (1)平方关系： _sin2 cos2 1_. (2)商数关系： ！ tan sin cos ? ?
2、k 2 ， k Z #. 2三角函数的诱导公式 公式一： sin( 2k) sin ， cos( 2k) _cos_ _， tan( 2k) tan ，其中 k Z. 公式二： sin( ) _ sin_ _， cos( ) _ cos_ _， tan( ) _tan_ _. 公式三 ： sin( ) _ sin_ _， cos( ) _cos_ _， tan( ) _ tan_ _. 公式四 ： sin( ) sin ， cos( ) _ cos_ _， tan( ) tan . 3必会结论 (1)特殊角的三角函数值 0 6 4 3 2 32 sin 0 12 错误 ! 错误 ! 1 0 1
3、 cos 1 错误 ! 错误 ! 12 0 1 0 =【 ;精品教育资源文库 】 = tan 0 错误 ! 1 错误 ! 不存在 0 不存在 (2)诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限 “ 奇 ” 与 “ 偶 ” 指的是诱导公式k 2 中的 k 是奇数还是偶数 “ 变 ” 与 “ 不变 ” 是指函数的名称的变化，若 k 是奇数，则正、余弦互变；若 k 是偶数，则函数的 名称不变 “ 符号看象限 ” 指的是 k 2 中，将 看成锐角时 k 2 所在的象限 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “”) (1)120 角的正弦值是 12，余弦值是 32 .( ) (2)同角三角函数关系式中的角 是
4、任意角 ( ) (3)诱导公式中的角 可以是任意角 ( ) (4)诱导公式的口诀 “ 奇变偶不变，符号看象限 ” 中的 “ 符号 ” 与 的大小无关 ( ) 解析 (1)错误 sin 120 sin(180 60) sin 60 32 ， cos 120 cos(180 60) cos 60 12. (2)错误在 tan sin cos 中 k 2 ， k Z. (3)错误对于正、余弦的诱导公式角 可以为任意角，而对于正切的诱导公式 2 k ， k Z. (4)正确诱导公式的 “ 符号看象限 ” 中的符号是把任意角 都看成锐角时原函数值的符号，因而与 的大小无关 . 2 若 cos 13， a
5、 ? ? 2 ， 0 ，则 tan ( C ) A 24 B 24 C 2 2 D 2 2 解析 由已知得 sin 1 cos2 1 19 2 23 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 tan sin cos 2 2. 3若 tan 2，则 sin cos sin cos 的值为 ( C ) A 13 B 53 C 13 D 53 解析 sin cos sin cos tan 1tan 1 2 12 1 13. 4 (2016 四川卷 )sin 750 ！ 12 #. 解析 sin 750 sin(720 30) sin 30 12. 5 cos? ? 174 sin? ? 174 ！
6、 2 #. 解析 cos? ? 174 sin? ? 174 cos 174 sin 174 cos? ?4 4 sin? ?4 4 cos 4 sin 4 22 22 2. 一 同角三角函数关 系及其应用 同角三角函数关系在解题中的应用 (1)利用转化思想，对于 sin ， cos ， tan ，由公式 sin2 cos2 1， tan sin cos 进行转化，可以 “ 知一求二 ” (2)利用方程思想，对于 sin cos ， sin cos ，由下面三个关系式 (sin cos )2 12sin cos ， (sin cos )2 (sin cos )2 2，可以 “ 知一求二 ” (
7、3)sin ， cos 的齐次式的应用：分式中分子与分母 是关于 sin ， cos 的齐次式，或含有 sin2 ， cos2 及 sin cos 的式子求值时，可将所求式子的分母看作 “1” ，利用 “sin 2 cos2 1” 代换后转化为 “ 切 ” 求解 【例 1】 (1)(2016 全国卷 )若 tan 34，则 cos2 2sin 2 ( A ) A 6425 B 4825 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 1 D 1625 (2)sin21 sin22 ? sin289 ！ 892 #. 解析 (1)当 tan 34时，原式 cos2 4sin cos cos2 4sin c
8、os sin2 cos2 1 4tan tan2 1 1 4 34916 1 6425，故选 A (2)原式 (sin21 sin289) (sin22 sin288) ? (sin244 sin246) sin245 (sin21 cos21) (sin22 cos22) ? (sin244 cos244) 121 1 1 ? 144个 12 892. 【例 2】 (1)已知 tan 2，求值： 2sin 3cos 4sin 9cos ； 4sin2 3sin cos 5cos2 . (2)已知 (0， ) ，且 sin cos 13，求 sin cos 的值 解 析 (1) 2sin 3c
9、os 4sin 9cos 2tan 34tan 9 22 342 9 1. 4sin2 3sin cos 5cos 2 4sin2 3sin cos 5cos 2sin2 cos2 4tan2 3tan 5tan2 1 44 32 54 1 1. (2) sin cos 13， (sin cos )2 1 2sin cos 19， sin cos 49. (0， ) ， ? ? 2 ， ， sin 0cos ， sin cos 0. 由 (sin cos )2 1 2sin cos 1 89 179 ，得 sin cos 173 . 二 诱 导公式及应用 (1)学会诱导公式的逆用，如 sin
10、sin( )， cos cos( )等，再如y sin? ? 3 x sin? ?x 23 ，将 y sin? ? 3 x 中 x 的系数由负变正，且不改变 “ 正弦 ”=【 ;精品教育资源文库 】 = 前面的符号 (2)学会观察两角之间的关系，看看它们的和或差是否为 2 的整数倍，如 ? ? 3 x ?6 x 2 ， ?23 x ?6 x 2. 【例 3】 (1)计算： 2sin? ? 316 cos 12 tan 74 _1_. (2)已知 cos? ? 6 23，则 sin? ? 23 ！ 23 #. (3)已知 f(x)sin?2 x?cos ? ?32 xcos?3 x?sin ?
11、?112 x，则 f? ? 214 _ 1_. 解析 (1)原式 2sin? ? 6 56 cos 0 tan? ?2 4 2sin 56 1 tan 4 2sin? ? 6 1 1 2sin 6 1. (2)因为 ? ? 6 ? ? 23 2 ， 所以 sin? ? 23 sin? ? 2 ? ? 6 sin? ? 2 ? ? 6 cos? ? 6 23. (3)因为 f(x) sin? x?sin xcos? x?sin ? ?6 ? ? 2 x sin 2x cos x? ? sin? ? 2 x sin2xcos2x tan2x， 所以 f? ? 214 tan2? ? 214 tan
12、2? ? 5 4 tan2? ? 4 tan2 4 1. 1若点 (16， tan )在函数 y log2x 的图象上，则 sin 2cos2 ( D ) A 2 B 4 C 6 D 8 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由题意知 tan log216 4，所以 sin 2cos 2 2sin cos 2tan 8，故选 D 2给出下列各函数值： sin( 1 000) ； cos( 2 200) ； tan( 10)； sin 710 cos tan 179.其中是负数的是 ( C ) A B C D 解析 sin( 1 000) sin 800 ， cos( 2 200) cos (
13、 40) cos 400 ， tan ( 10) tan 100， tan 179 0. 3若 cos( ) 53 且 ? ? 2 ， ，则 sin( ) ( B ) A 53 B 23 C 13 D 23 解析 cos ( ) cos 53 ， cos 53 . 又 ? ? 2 ， ， sin 1 cos 2 1 ? ? 53 2 23， sin ( ) sin 23，故选 B 4若 sin ， cos 是方程 4x2 2mx m 0 的两个根，则 m 的值为 ( B ) A 1 5 B 1 5 C 1 5 D 1 5 解析 由题意得 sin cos m2， sin cos m4. 又 (sin cos )2 1 2sin cos ， m24 1m2，解得 m 1 5.又 4m2 16m0 ，解得 m0 或 m4 ， m 1 5，故选 B 易错点 忽视隐含的平方关系 =【 ;
