课时作业(四十六)　空间向量及其运算.DOC

1、课时作业(四十六)空间向量及其运算 基础过关组 一、单项选择题 1若直线 l1，l2的方向向量分别为 a(1,2，2)，b(2，3,2)，则 l1与 l2的位置关系是() Al1l2Bl1l2 Cl1与 l2相交但不垂直D不能确定 解析ab2640，所以 l1l2。故选 A。 答案A 2.(2021河北鹿泉一中月考)如图， 在四面体 OABC 中， OA a， OB b，OC c， 且OM 2MA ，BN NC ， 则MN () A.2 3a 2 3b 1 2c B.2 3a 2 3b 1 2c C2 3a 1 2b 1 2c D.1 2a 2 3b 1 2c 解析连接 ON(图略)，因为BN

2、 NC ，所以ON 1 2(OB OC )，因为OM 2MA ，所以OM 2 3OA ，所以MN ON OM 1 2(OB OC )2 3OA 2 3a 1 2b 1 2c。故选 C。 答案C 3已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a，E，F 分别是 BC，AD 的中点，则AE AF的 值为() A.a2B.1 2a 2 C.1 4a 2 D. 3 4 a2 解析AE AF1 2(AB AC)1 2AD 1 4(AB AD AC AD )1 4(a 2cos 60a2cos 60)1 4a 2。故选 C。 答案C 4.如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AM1

3、 2MC，A 1N2ND。设AB a，AD b，AA1 c，MN xaybzc，则 xyz() A.3 4 B.1 4 C.2 3 D.1 3 解析MN MA AA1 A1N 1 3AC AA1 2 3A 1D 1 3(AB AD )AA1 2 3(AD AA1 )1 3a 1 3bc 2 3b 2 3c 1 3a 1 3b 1 3c，所以 x 1 3，yz 1 3，故 xyz 1 3。故选 D。 答案D 5若平面，的法向量分别为 n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，则() AB C与相交但不垂直D以上均不正确 解析因为 n1n22(3)(3)15(4)0，所以 n1与 n2不垂直，又 n

4、1与 n2不平行，所以 与相交但不垂直。故选 C。 答案C 6.如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，E，F，G 分别是 DC，AB，CC1的中点， 则异面直线 A1E 与 GF 所成角的余弦值是() A0B. 3 3 C. 5 5 D. 15 5 解析A1E GF (A1A AD DE )(GC CB BF ) AA1 AD 1 2DC 1 2AA 1 AD 1 2DC 1 2AA 1 2 AD 21 4DC 21 241 1 440，故A 1E GF ，故异面直线 A1E 与 GF 所成角的余弦值为 0。故选 A。 答案A 二、多项选择题 7(2021葫芦岛期末

5、)若 a(1，2)，b(2，1，1)，a 与 b 的夹角为 120，则的值为() A17B17C1D1 解析因为 a(1，2)，b(2，1,1)，a 与 b 的夹角为 120，所以 cos 120 ab |a|b| 22 52 6， 解得1 或17。故选 AC。 答案AC 8已知向量 a(1,2,3)，b(3,0，1)，c(1,5，3)，下列等式中正确的是() A(ab)cbc B(ab)ca(bc) C(abc)2a2b2c2 D|abc|abc| 解析A 项，左边为向量，右边为实数，显然不相等，错误。B 项，左边(4,2,2)(1,5，3)0，右 边(1,2,3)(2,5，4)210120

6、，所以左边右边，因此正确。C 项，abc(3,7，1)，左边32 72(1)259，右边122232320(1)2(1)252(3)259，所以左边右边，因此正确。 D 项，由 C 可得|abc| 59，因为 abc(1，3，7)，所以|abc| 59，所以左边右边，因 此正确。故选 BCD。 答案BCD 三、填空题 9 已知向量 a(2,0,1)， b(1,2， x)， 若 ab， 则 x_； 若 2ab(3,2,5)， 则|ab|_。 解析若 ab，则 ab2x0，解得 x2。若 2ab(3,2,2x)(3,2,5)，则 2x5，解得 x 3，则 b(1,2,3)，所以 ab(1,2,4)

7、，于是|ab| 122242 21。 答案221 10已知在长方体 ABCDA1B1C1D1中，DADD11，DC 2，E 是 B1C1的中点，建立空间直角坐标系 Dxyz 如图所示，则|AE |_。 解析在长方体 ABCDA1B1C1D1中， DADD11， DC 2， E 是 B1C1的中点， 则 A(1， 0,0)， E 1 2， 2，1， 所以AE 1 2， 2，1，所以|AE | 1 2 2 2212 13 2 。 答案 13 2 11已知平面内的三点 A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面的一个法向量 n(1，1，1)，则不重 合的两个平面与的位置关系是_。 解

8、析由已知得， AB (0,1， 1)， AC(1,0， 1)， 设平面的一个法向量为 m(x， y， z)， 则 mAB 0， mAC 0， 得 yz0， xz0。 得 xz， yz， 令 z1，得 m(1,1,1)。又 n(1，1，1)，所以 mn，即 mn，所以 。 答案平行 四、解答题 12.如图所示，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，E，F，G 分别是 AB，AD，CD 的 中点。计算： (1)EF DC ； (2)EG 的长； (3)异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值。 解设AB a，ACb，AD c， 则|a|b|c|1， a，bb，cc，a60， (1

9、)EF 1 2BD 1 2c 1 2a， DC bc。 EF DC 1 2c 1 2a(bc)1 4。 (2)EG EB BCCG 1 2AB (ACAB)1 2(AD AC )1 2aba 1 2c 1 2b 1 2a 1 2b 1 2c， 所以|EG |21 4a 21 4b 21 4c 21 2ab 1 2bc 1 2ca 1 2， 则|EG | 2 2 。故 EG 的长为 2 2 。 (3)AG 1 2b 1 2c，CE CAAEb1 2a， 所以 cosAG ， CE AG CE |AG |CE | 2 3。 因为异面直线所成角的范围是 0， 2 ， 所以异面直线 AG 与 CE 所

10、成角的余弦值为2 3。 13.如图，在底面是矩形的四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，E，F 分别是 PC，PD 的中点，PAAB 1，BC2。求证： (1)EF平面 PAB； (2)平面 PAD平面 PDC。 证明以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，AP 所在直线为 z 轴，建立如图所示的空 间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)， 所以 E 1 2，1， 1 2 ，F 0，1，1 2 ，EF 1 2，0，0，PB (1,0，1)，PD (0,2，1)，AP (0,0,1)，

11、AD (0,2,0)，DC (1,0,0)，AB (1,0,0)。 (1)因为EF 1 2AB ，所以EFAB，即 EFAB。 又 AB平面 PAB，EF平面 PAB， 所以 EF平面 PAB。 (2)设平面 PDC 的一个法向量为 n(x，y，z)， 则 nPD 0， nDC 0， 即 2yz0， x0， 令 y1，则 n(0,1,2)。 易知平面 PAD 的一个法向量为AB (1,0,0)， 因为 nAB 0，所以平面 PAD平面 PDC。 素养提升组 14 如图所示， 已知四棱锥 PABCD 的底面是直角梯形， ABCBCD90， ABBCPBPC2CD， 侧面 PBC底面 ABCD。证

12、明： (1)PABD； (2)平面 PAD平面 PAB。 证明(1)取 BC 的中点 O，连接 PO，由PBC 为等边三角形，得 POBC， 因为平面 PBC底面 ABCD，BC 为交线， PO平面 PBC，所以 PO底面 ABCD。 以 BC 的中点 O 为坐标原点，以 BC 所在直线为 x 轴，过点 O 与 AB 平行的直线为 y 轴，OP 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示。 不妨设 CD1，则 ABBC2， PO 3。 所以 A(1，2,0)，B(1,0,0)，D(1，1,0)，P(0,0， 3)。 所以BD (2，1,0)，PA (1，2， 3)。 因为BD PA (2

13、)1(1)(2)0( 3)0， 所以PA BD ，所以 PABD。 (2)取 PA 的中点 M，连接 DM，则 M 1 2，1， 3 2 。 因为DM 3 2，0， 3 2 ，PB (1,0， 3)， 所以DM PB 3 2100 3 2 ( 3)0， 所以DM PB ，即 DMPB。 因为DM PA 3 210(2) 3 2 ( 3)0， 所以DM PA ，即 DMPA。 又因为 PAPBP，PA，PB平面 PAB， 所以 DM平面 PAB。 因为 DM平面 PAD， 所以平面 PAD平面 PAB。 15.如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为矩形。SA平面 ABCD，E，F 分

14、别为 AD，SC 的中点， EF 与平面 ABCD 所成的角为 45。 (1)证明：EF 为异面直线 AD 与 SC 的公垂线； (2)若 EF1 2BC，求二面角 BSCD 的余弦值。 解(1)证明：以 A 为坐标原点，AB 的方向为 x 轴正方向，|AB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标 系 Axyz。 设 D(0，b,0)，S(0,0，c)， 则 C(1，b,0)，E 0，b 2，0，F 1 2， b 2， c 2 ， EF 1 2，0， c 2 ，AS (0,0，c)，AD (0，b,0)。 因为 EF 与平面 ABCD 所成的角为 45， 所以EF 与平面 ABCD 的法向量AS

15、的夹角为 45。 AS EF|AS|EF|cos 45， 即c 2 2 2 2 c 1 4 c2 4 ，解得 c1， 故EF 1 2，0， 1 2 ，SC (1，b，1)， 从而EF SC0，EFAD 0， 所以 EFSC，EFAD。 因此 EF 为异面直线 AD 与 SC 的公垂线。 (2)由 B(1,0,0)，BC (0，b,0)， |EF |1 2|BC |，得 b 2。 于是 F 1 2， 2 2 ，1 2 ，C(1，2，0)， 连接 FB，故FB 1 2， 2 2 ，1 2 ， SC (1，2，1)， 从而FB SC0，即 FBSC。 取 CF 的中点 G，连接 GD， 则 G 3 4， 3 2 4 ，1 4 ，GD 3 4， 2 4 ，1 4 ， 从而GD SC 0，即 GDSC。 因此FB ， GD 等于二面角 BSCD 的平面角。 cosFB ， GD FB GD |FB |GD | 3 3 。 由图可得二面角 BSCD 为钝角， 所以二面角 BSCD 的余弦值为 3 3 。