1、空间向量与空间角空间向量与空间角 （4545 分钟分钟100100 分）分） 一、选择题一、选择题( (每小题每小题 6 6 分分, ,共共 3030 分分) ) 1.在空间中,已知二面角-l-的大小为,n1,n2分别是平面,的法向量,则 的大小为() A.B.C.或D. 2.二面角的棱上有 A,B 两点,直线 AC,BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且 都垂直于 AB,已知 AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则该二面角的大小为() A.150B.45C.60D.120 3.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱DD1的中 点,点 O 为底面 ABCD 的中点,P 为棱
2、 A1B1上任一点, 则异面直线 OP 与 AM 所成的角的大小为() A.B. C.D.与点 P 的位置有关 4.直三棱柱 ABC-A1B1C1中,ACB=90,AC=1,CB=, 侧棱 AA1=1,侧面 AA1B1B 的两条对角线交点为 D,则平面 B1BD 与平面 CBD 所成角的 余弦值等于() A.-B.C.D.- 5.在矩形 ABCD 中,AB=1,BC=,PA平面 ABCD,PA=1,则 PC 与平面 ABCD 所成角 是() A.30B.45C.60D.90 二、填空题二、填空题( (每小题每小题 8 8 分分, ,共共 2424 分分) ) 6.(2013东莞高二检测)正方体
3、 ABCD-A1B1C1D1中,直线 BC1与平面 A1BD 所成角的 余弦值为. 7.(2013 金华高二检测)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,M,N 分别是 CD,CC1的中 点,则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是. 8.如图所示,已知点 P 为菱形 ABCD 外一点,且 PA平面 ABCD,PA=AD=AC,点 F 为 PC 中点,则二面角 C-BF-D 的正切值为. 三、解答题三、解答题(9(9 题题,10,10 题题 1414 分分,11,11 题题 1818 分分) ) 9.(2013厦门高二检测)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E 为 AB
4、 的中点. (1)求异面直线 BD1与 CE 所成角的余弦值. (2)求二面角 A1-EC-A 的余弦值. 10.(2013秦皇岛高二检测)如图,ABC 是以C 为直角的等腰直角三角形,直 角边长为 8,DEBC,AEEC=53,沿 DE 将ADE 折起使得点 A 在平面 BCED 上的 射影是点 C,MC= AC. (1)在 BD 上确定点 N 的位置,使得 MN平面 ADE. (2)在(1)的条件下,求 CN 与平面 ABD 所成角的正弦值. 11. (能力挑战题)(2013北京高考)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,AA1C1C 是边长为 4 的正方形.平面 ABC平面 AA1C1
5、C,AB=3,BC=5. (1)求证:AA1平面 ABC. (2)求二面角 A1-BC1-B1的余弦值. (3)证明:在线段 BC1存在点 D,使得 ADA1B,并求的值. 答案解析答案解析 1.【解析】选 C.当为锐角时,=-=;当为钝角 时,=.故选 C. 2.【解析】选 C.由条件知=0,=0,=+, | 2=( +) 2=62+42+82+268cos, 得 cos=- ,所求二面角的大小为 60. 【变式备选】如图,在底面为直角梯形的四棱锥 S-ABCD 中,ABC=90,SA平面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD= ,则平 面 SCD 与平面 SAB 所成二面角的余弦值为()
6、A.B.C.D. 【解析】选 B.建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0),D( ,0,0),C(1,1,0), S(0,0,1),平面 SAB 的一个法向量是=( ,0,0),并求 得平面 SCD 的一个法向量 n=(1,- , ),cos= =,结合图形知所求二面角的余弦值为. 3.【解题指南】本题可通过解立体几何的方法求解,或者建立空间直角坐标系用 向量法来解. 【解析】 选C.方法一:取AD的中点E,连接A1E,则A1AEADM,AA1E=DAM, AA1E+A1AM= ,AMA1E. 又 PO 在平面 ADD1A1内的射影为 A1E, 异面直线 OP 与 AM 所成的角的大
7、小为 . 方法二:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方 体棱长为 1,则 A(0,0,0),M(0,1, ),O( , ,0), 设 P(m,0,1). =(0,1, ),=(m- ,- ,1), cos=0, ,异面直线 OP 与 AM 所成的角的大小为 . 4.【解析】选 D.建立如图所示的坐标系,由题意可 知,B(,0,0),A(0,1,0),B1(,0,1),C(0,0,0), D(, , ), =(, , ),=(,0,0),=(-,1,0),= (0,0,1),设平面 CBD 和平面 B1BD 的一个法向量分别为 n1,n2,求得 n1=(0,1,-1), n2=(1,0),所以c
8、os=,结合图形判断得平面B1BD与平面 CBD 所成角的余弦值为-. 5.【解析】选 A.建立如图所示的空间直角坐标系,则 P(0,0,1),C(1,0),=(1,-1),平面 ABCD 的一个 法向量为 n=(0,0,1), 所以 cos=- ,所以=120, 所以斜线 PC 与平面 ABCD 的法向量所在直线所成角为 60, 所以斜线 PC 与平面 ABCD 所成角为 30. 6. 【解析】 如图,建立空间直角坐标系,设正方体棱长 为 1,则 D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1), =(1,0,1),=(1,1,0),=(-1,0,1), 设 n=(
9、x,y,z)为平面 A1BD 的法向量,则 取n=(1,-1,-1),设直线BC1与平面A1BD所成角为, 则 sin=|cos|=, cos=. 答案: 7.【解析】如图所示,建立空间直角坐标系 Dxyz,设 AB=1,则 A1(1,0,1),M(0, ,0),N(0,1, ), =(-1, ,-1),=(0,1, ), cos=0,即,则 A1M 与 DN 所成角的大小是 90. 答案:90 8.【解析】如图所示,令 ACBD=O,连接 OF.以 O 为原 点,OB,OC,OF 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角 坐标系.设 PA=AD=AC=1,则 BD=.所以 B(,0,0),
10、 F(0,0, ),C(0, ,0). 结合图形可知,=(0, ,0)且为平面 BOF 的一个法向量,由=(-, ,0), =(,0,- ),可求得平面 BCF 的一个法向量 n=(1,). 所以 cos=,sin=, 所以 tan=. 答案: 【误区警示】在本题中,由于空间几何体形状不是非常规则,故合理建系是关键, 否则会加大运算量,并易导致失误. 9.【解析】如图所示,建立空间直角坐标系 Dxyz,设 AB=1,则 B(1,1,0),D1(0,0,1),C(0,1,0),E(1, ,0), (1)=(-1,-1,1),=(1,- ,0),故 cos= =-,所以异面直线 BD1与 CE 所
11、成角的余弦值 是. (2)DD1平面 AEC,所以为平面 AEC 的一个法向量,=(0,0,1),设平面 A1EC 的法向量为 n=(x,y,z),又=(0, ,-1),=(-1,1,-1), 即取 n=(1,2,1), 所以 cos=. 结合图形知二面角 A1-EC-A 的余弦值为. 10.【解析】(1)由已知,点 A 在平面 BCED 上的射影是 点 C,则可知 AC平面 BCED,而 BCCE,如图建立空间 直角坐标系,则可知各点的坐标为 C(0,0,0), A(0,0,4),B(0,8,0),D(3,5,0),E(3,0,0), 由MC= AC,可知点M的坐标为(0,0, ),设点N的
12、坐标为 (a,b,0),则可知 b=8-a,即点 N 的坐标为(a,8-a,0),则 =(a,8-a,- ). 设平面 ADE 的法向量为 n1=(x,y,z),由题意可知而 =(0,-5,0), =(3,0,-4), 可得取 x=4,则 z=3, 可得 n1=(4,0,3). 要使 MN平面 ADE 等价于 n1=0,即 4a+0(8-a)-3 =0, 解之可得 a=2,即可知点 N 的坐标为(2,6,0),点 N 为 BD 的靠近 D 点的三等分点. (2)由(1)可知=(2,6,0),设平面 ADB 的法向量为 n2=(x,y,z),由题意可知 而=(-3,3,0),=(0,8,-4)可
13、得取 x=1,则 y=1,z=2, 可得 n2=(1,1,2). 设 CN 与平面 ABD 所成角为,则 sin=. 【拓展提升】线面角的求解策略 (1)利用直线与平面夹角的定义,找到线面角,转化为求解三角形问题. (2)利用最小角定理,即直线与平面内任一条直线所成的角中线面角最小,代入 公式 cos=cos1cos2求解, (3)建立空间直角坐标系,利用直线的方向向量和平面的法向量求解. 11.【解析】(1)因为四边形 AA1C1C 是正方形,所以 AA1AC. 又因为平面 ABC平面 AA1C1C,交线为 AC,所以 AA1平面 ABC. (2)因为 AC=4,BC=5,AB=3,所以 A
14、CAB.分别以 AC,AB,AA1为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则 A1(0,0,4),B(0,3,0),C1(4,0,4),B1(0,3,4), =(4,0,0),=(0,3,-4),=(4,-3,0),=(0,0,4). 设平面 A1BC1的法向量为 n1=(x1,y1,z1),平面 B1BC1的法向量为 n2=(x2,y2,z2), 由可得可取 n1=(0,4,3). 由可得可取 n2=(3,4,0). 所以 cos= =. 由图可知二面角 A1-BC1-B1为锐角,所以余弦值为. (3)设点D的竖轴坐标为t(0t4),在平面BCC1B1中作DEBC于E,根据比例关系 可知 D(t, (4-t),t)(0t4),所以=(t, (4-t),t),=(0,3,-4). 又因为,所以 (4-t)-4t=0,所以 t=,所以=. 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块文档返回原板块
