1、抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 （4545 分钟分钟100100 分）分） 一、选择题一、选择题( (每小题每小题 6 6 分分, ,共共 3030 分分) ) 1.(2013济宁高二检测)设抛物线 y 2=12x 的焦点为 F,点 P 在此抛物线上且横坐 标为 5,则|PF|等于() A.4B.6C.8D.10 2.(2013宜春高二检测)抛物线顶点在原点,焦点在 y 轴上,其上一点 P(m,1)到 焦点的距离为 5,则抛物线方程为() A.x 2=8y B.x 2=-8y C.x 2=16y D.x 2=-16y 3.(2013四川高考)抛物线 y 2=8x 的焦点到直线 x-
2、y=0 的距离是() A.2B.2C.D.1 4.(2013 冀州高二检测)设 F 为抛物线 y 2=2px(p0)的焦点,A,B,C 为该抛物线上 三点,当+=0,且|+|+|=3 时,此抛物线的方程为() A.y 2=2x B.y 2=4x C.y 2=6x D.y 2=8x 5.点A是抛物线C1:y 2=2px(p0)与双曲线C 2: - =1(a0,b0)的一条渐近线的交 点,若点 A 到抛物线 C1的准线的距离为 p,则双曲线 C2的离心率等于() A.B.C.D. 二、填空题二、填空题( (每小题每小题 8 8 分分, ,共共 2424 分分) ) 6.(2013安阳高二检测)经过
3、抛物线 y= x 2 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1), B(x2,y2)两点,若 y1+y2=5,则线段 AB 的长等于. 7.已知点(-2,3)与抛物线 y 2=2px(p0)的焦点的距离是 5,则 p= . 8.(2013天水高二检测)AB 是过 C:y 2=4x 焦点的弦,且|AB|=10,则 AB 中点的横 坐标是. 三、解答题三、解答题(9(9 题题,10,10 题题 1414 分分,11,11 题题 1818 分分) ) 9.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦点,M 为准线与 y 轴的交点,A 为抛物 线上一点,且|AM|=,|AF|=3,求此抛物线的标准方程. 1
4、0.直角AOB的三个顶点都在抛物线y 2=2px上,其中直角顶点O为原点,OA所在 直线的方程为 y=x,AOB 的面积为 6,求该抛物线的方程. 11.(能力挑战题)如图,已知直线 l:y=2x-4 交抛物线 y 2=4x 于 A,B 两点,试在抛物 线 AOB 这段曲线上求一点 P,使PAB 的面积最大,并求出这个最大面积. 答案解析答案解析 1.【解析】选 C.y 2=12x 中,p=6,由焦半径公式得|PF|=x P+ =5+ =8. 2.【解题指南】运用焦半径公式. 【解析】选 C.由条件可知,抛物线开口向上,设抛物线方程为 x 2=2py(p0),由 1+ =5. p=8,故抛物线
5、方程为 x 2=16y. 3.【解析】选 D.根据点到直线的距离公式,可得抛物线 y 2=8x 的焦点(2,0)到直 线 x-y=0 的距离 d=1. 4.【解题指南】利用向量的性质及焦半径公式求解. 【解析】选 A.设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3), +=0, (x1- )+(x2- )+(x3- )=0, 即 x1+x2+x3= p. 又|+|+|=3, (x1+ )+(x2+ )+(x3+ )=3, 即 3p=3, p=1,故抛物线方徎为 y 2=2x. 5.【解析】选 C.求抛物线 C1:y 2=2px(p0)与双曲线 C 2: - =1(a0,b0)的一条 渐
6、近线的交点: 解得所以= ,c 2=5a2,e= ,选 C. 【变式备选】(2013南安高二检测)双曲线 - =1(a0,b0)的右焦点是抛物线 y 2=8x 的焦点,两曲线的一个公共点为 P,且|PF|=5,则该双曲线的离心率为 () A.B.C.2D. 【解析】选 C.抛物线的准线为 x=-2,设 P(x0,y0), 则 x0+2=5, x0=3,=24. 解得 离心率 e= =2. 6.【解题指南】利用焦点弦的弦长公式,即 y1+y2+p. 【解析】抛物线 y= x 2,即 x2=4y 的准线方程为 y=-1, |AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=5+2=7. 答案:7 7.【
7、解析】y 2=2px(p0)的焦点为( ,0).由题意得 =5,解得 p=4 或 p=-12(舍去). 答案:4 【误区警示】容易把点(-2,3)看成抛物线上的点,使用焦半径公式,而导致出错. 8.【解题指南】利用焦点弦公式. 【解析】设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB 的中点的横坐标 x0=. 又抛物线的准线方程为 x=-1,且|AB|=10, x1+x2+p=x1+x2+2=10. x1+x2=8,=4. 答案:4 9.【解析】设所求抛物线的标准方程为 x 2=2py(p0),设 A(x 0,y0),M(0,- ). |AF|=3,y0+ =3, |AM|=,+(y0+ )
8、2=17, =8,代入方程=2py0得, 8=2p(3- ),解得 p=2 或 p=4. 所求抛物线的标准方程为 x 2=4y 或 x2=8y. 10.【解题指南】运用解方程组分别求出 A,B 坐标,从而求出|OA|和|OB|,利用面 积公式求出 p 即可. 【解析】因为 OAOB,且 OA 所在直线的方程为 y=x,所以 OB 所在直线的方程 为 y=-x. 由得 A 点坐标(,), 由得 B 点坐标(6p,-2p). |OA|= |p|,|OB|=4|p|, SOAB=p 2=6 ,所以 p= . 即该抛物线的方程为 y 2=3x 或 y2=-3x. 【拓展提升】抛物线中恒过定点问题 过抛
9、物线 y 2=2px(p0)的顶点任作两条互相垂直的直线 OA 和 OB,则直线 AB 恒 过定点(2p,0). 【举一反三】若本题中 OA 的直线方程为 y=kx,“AOB 的面积为 6”去掉,证 明 AB 恒过定点(2p,0). 【证明】由得 A 的坐标为(,), OAOB,OB 的直线方程为 y=- x. 由得 B 的坐标为(2pk 2,-2pk). kAB=, AB 的方程为 y+2pk=(x-2pk 2), 整理得 k(x-2p)+(k 2-1)y=0. 由得 故直线恒过定点(2p,0). 11.【解题指南】先求出弦长|AB|,再求出点 P 到直线 AB 的距离,从而可表示出 PAB 的面积,再求最大值即可. 【解析】由解得或 A(4,4),B(1,-2), |AB|=3,设 P(x0,y0)为抛物线 AOB 这段曲线上一点,d 为点 P 到直线 AB 的距 离,则有 d=|-y0-4| =|(y0-1) 2-9|. -2y04,(y0-1) 2-90. d=9-(y0-1) 2. 从而当 y0=1 时,dmax=, Smax= 3= . 因此,当 P 为( ,1)时,PAB 的面积取得最大值,最大值为 . 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块文档返回原板块
