1、单元质量评估单元质量评估 （120120 分钟分钟150150 分）分） 一、选择题一、选择题( (本大题共本大题共 1212 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项 中中, ,只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的) ) 1.已知向量 a=(1, ,2),b=(2,-1,k),且 a 与 b 互相垂直,则 k 的值是() A.-1B.C.1D.- 2.若 a,b,c 是空间任意三个向量,R,下列关系中,不成立的是() A.a+b=b+aB.(a+b)=a+b C.(a+b)+c=a+(b+c)D.b=a
2、3 如图,空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 BC,CD 的中点,则+等于 () A.B.C.D. 4.若 A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),则ABC 的形状是() A.不等边锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.等边三角形 5.已知平面的一个法向量为n1=(-1,-2,-1),平面的一个法向量n2=(2,4,2), 则不重合的平面与平面() A.平行B.垂直 C.相交但不垂直D.不确定 6.若 a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,d=a+b+c,则, 分别为() A. ,-1,-B. ,1, C.-
3、,1,-D. ,1,- 7.(2013吉安高二检测)已知直线 l1的方向向量 a=(2,4,x),直线 l2的方向向量 b=(2,y,2),若|a|=6,且 ab,则 x+y 的值是() A.1 或-3B.-1 或 3 C.-3D.1 8.已知 A(1,-1,2),B(2,3,-1),C(-1,0,0),则ABC 的面积是() A.B.C.D. 9.下列命题正确的是() A.若=+,则 P,A,B 三点共线 B.若a,b,c是空间的一个基底,则a+b,b+c,a+c构成空间的另一个基底 C.(ab)c=|a|b|c| D.ABC 为直角三角形的充要条件是=0 10.如图所示,四边形ABCD为矩
4、形,AB=3,BC=1,EFBC且AE=2EB,G为BC的中点,K 为ADF 的外心.沿 EF 将矩形折成一个 120的二面角 A-EF-B,则此时 KG 的长是 () A.1B.3C.D. 11.如图所示,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F 分别为棱 AA1,BB1的中点,G 为棱 A1B1上的一点,且 A1G= (01),则点 G 到平面 D1EF 的距离为() A.B.C.D. 12.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的 正弦值为() A.B.C.D. 二二、 填空题填空题( (本大题共本大题
5、共 4 4 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 2020 分分. .请把正确答案填在题中横线请把正确答案填在题中横线 上上) ) 13.已知向量 a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2),若 ab,则与的值分别 是、. 14.若 A(0,2, ),B(1,-1, ),C(-2,1, )是平面内的三点,设平面的法向量为 n=(x,y,z),则 xyz=. 15.平面,两两相互垂直,且它们相交于一点 O,P 点到三个面的距离分别 是 1cm,2 cm,3cm,则 PO 的长为cm. 16.如图,平面 PAD平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形, PAD=90,且PA=AD
6、=2,E,F分别是线段PA,CD的中点,则异面 直线 EF 与 BD 所成角的余弦值为. 三三、 解答题解答题( (本大题共本大题共 6 6 小题小题, ,共共 7070 分分. .解答时应写出必要的解答时应写出必要的 文字说明、证明过程或演算步骤文字说明、证明过程或演算步骤) ) 17.(10 分)已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6), C(1,-1,5), (1)求以向量,为一组邻边的平行四边形的面积 S. (2)若向量 a 分别与向量,垂直,且|a|=,求向量 a 的坐标. 18.(12 分)如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,ACB= 90
7、,侧棱AA1=2,CA=2,D是CC1的中点,试问在线段A1B上是否存在一点E(不与端 点重合)使得点 A1到平面 AED 的距离为? 19.(12 分)在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E 为 CD 的中点. (1)求证:B1EAD1. (2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在, 说明理由. 20.(12 分 ) 如 图 所 示 , 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD-ABCD中,E,F 分别是 DD,DB 的中点,G 在棱 CD 上,CG= CD,H 为 CG 的中点. (1)求证:EFBC. (2)求 EF,C
8、G 所成角的余弦值. (3)求 FH 的长. 21.(12 分 ) 如 图 , 在 三 棱 锥 P-ABC 中 ,AB BC,AB=BC= PA.点O,D分别是AC,PC的中点,OP底面 ABC. (1)求证:OD平面 PAB. (2)求直线 OD 与平面 PBC 所成角的正弦值. 22.(12分)(能力挑战题)已知四棱锥P-ABCD中,PA 平面 ABCD,且 PA=4PQ=4,底面为直角梯形,CDA= BAD=90,AB=2,CD=1,AD=,M,N 分别是 PD,PB 的中点. (1)求证:MQ平面 PCB. (2)求截面 MCN 与底面 ABCD 所成二面角的大小. (3)求点 A 到
9、平面 MCN 的距离. 答案解析答案解析 1.【解析】选 D.ab=2- +2k=0,k=- . 2.【解析】选 D.由向量的运算律知,A,B,C 均正确,对于 D,当 a=0,b0 时,不成 立. 3.【解析】选 C.+=+=. 4.【解析】选 A.=(3,4,2),=(5,1,3), =(2,-3,1).由0,得 A 为锐角; 由0,得 C 为锐角; 由0,得 B 为锐角,且|, 所以ABC 为不等边锐角三角形. 5.【解析】选 A.n2=-2n1,n2n1,故. 6.【解析】选 A.由 d=a+b+c =(e1+e2+e3)+(e1+e2-e3)+(e1-e2+e3) =(+)e1+(+
10、-)e2+(-+)e3=e1+2e2+3e3.解得 = ,=-1,=- . 7. 【解析】 选A.根据|a|=6,可得x=4,当x=4时,y=-3,当x=-4时,y=1,所以x+y=1 或-3. 8.【解析】选 C.易知=(1,4,-3),=(-2,1,-2),|=,|=3, cos=,sin=, SABC= |sin=. 9.【解析】选 B.P,A,B 三点共面不一定共线,故 A 错误;由数量积公式知 C 错误; ABC 为直角三角形时可能=0,也可能=0,或=0,故 D 错误. 10.【解析】选 D.由题意知 K 为 AF 的中点,取 EF 的中点 H,连接 KH,GH 易证明 KHG 即
11、为二面角 A-EF-B 的平面角,在KHG 中,由 KH=HG=1,KHG=120,可解 得 KG=. 11. 【解题指南】 可以根据几何的有关性质转化为点 A1到直线 D1E 的距离,利用三 角形的面积可求;或建立空间直角坐标系,利用平面的法向量来求. 【解析】选 D.方法一:A1B1EF,G 在 A1B1上, G 到平面 D1EF 的距离即为 A1到平面 D1EF 的距离,也就是 A1到 D1E 的距离. D1E=, 由三角形面积可得 h=. 方法二:以 1 AB,AD,AA 的方向作为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系, 则 E(0,0, ),F(1,0, ),D1(0,
12、1,1),G(,0,1), =(1,0,0),=(0,1, ),=(-,1,0), 设平面EFD1的一个法向量是n=(x,y,z),则解得 取 y=1,则 n=(0,1,-2). 点 G 到平面 EFD1的距离是:h=. 12.【解析】选 D.如图建立空间直角坐标系,则 B(2,2,0),D1(0,0,1),C1(0,2,1), =(0,0,1),=(2,2,0),=(-2,0,1). 设平面 BB1D1D 的一个法向量 n=(x,y,z), 由可得 可取 n=(1,-1,0). cos=, BC1与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为. 13.【解析】ab,存在实数 k,使得 a=kb, 即
13、(+1,0,2)=k(6,2-1,2), 解得 k= ,= . 答案: 14.【解析】=(1,-3,- ),=(-2,-1,- ), xyz= yy(- y)=23(-4). 答案:23(-4) 15.【解析】如图所示,建立空间直角坐标系,不妨设 O(0,0,0),P(1,2,3), |OP|=(cm). 答案: 16.【解析】=-,=-+=-+,= (-)(-+)=4-2=2. | 2=(- +) 2=6, | |=,|=2, cos= =, 即异面直线 EF 与 BD 所成角的余弦值为. 答案: 【一题多解】如图所示,建立空间直角坐标系 Axyz, E(0,0,1),F(1,2,0),B(
14、2,0,0),D(0,2,0), =(1,2,-1),=(-2,2,0), cos=, 异面直线 EF 与 BD 所成角的余弦值为. 17.【解析】(1)=(-2,-1,3),=(1,-3,2), cosBAC= , BAC=60,S=|sin 60=7. (2)设 a=(x,y,z),则 a-2x-y+3z=0, ax-3y+2z=0,|a|=x 2+y2+z2=3, 解得 x=y=z=1 或 x=y=z=-1, a=(1,1,1),或 a=(-1,-1,-1). 18.【解析】存在.以 CA,CB,CC1所在的直线为 x 轴,y 轴和 z 轴,建立如图所示的 空间直角坐标系, 则 A(2,
15、0,0),A1(2,0,2), D(0,0,1),B(0,2,0), 设=,(0,1), 则 E(2,2(1-),2). 又=(-2,0,1), =(2(-1),2(1-),2), 设 n=(x,y,z)为平面 AED 的法向量, 则即 取 x=1,则 y=,z=2,即 n=(1,2). 由于 d=, =,又(0,1),解得= , 当点 E 为 A1B 的中点时,A1到平面 AED 的距离为. 【拓展提升】探索性问题的解法 在立体几何中,经常会遇到点、线、面处在什么位置时结论成立,或某一结论成 立时需要具备什么条件,或某一结论在某一条件下,某个元素在某个位置时是否 成立等类似的问题.这些问题都
16、属探索性问题,解决这些问题仅凭几何手段有时 会十分困难,我们借助向量将“形”转化为“数”,把点、线、面的位置数量化, 通过对代数式的运算就可得出相应的结论.这样可以使许多几何问题进行类化, 公式化,使问题的解决变得有“法”可依,有路可寻. 19.【解析】以 A 为原点,的方向分别 为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系. 设 AB=a,则 A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1), E( ,1,0),B1(a,0,1), (1)=(0,1,1),=(- ,1,-1), =- 0+11+(-1)1=0, B1EAD1. (2)假设在棱 AA1上存在一点 P(0,0
17、,z0),使得 DP平面 B1AE,此时=(0,-1,z0), 又设平面 B1AE 的法向量为 n=(x,y,z). n平面 B1AE,=(a,0,1),=( ,1,0), n,n,得 取 x=1,得平面 B1AE 的一个法向量 n=(1,- ,-a),要使 DP平面 B1AE, 只需 n,有 -az0=0,解得:z0= . AP= ,在棱 AA1上存在点 P,使得 DP平面 B1AE,且 P 为 AA1的中点. 20.【解题指南】要证明 EFBC,只需要证明=0;要求 EF,CG 所成角的 余弦值,只要求出,所成角的余弦值;要求 FH 的长,只要求出|即可. 【解析】(1)设=a,=b,=c
18、, 则 cb=ba=ca=0,|a| 2=a2=1,|b|2=b2=1,|c|2=c2=1. =+=- c+ (a-b) = (a-b-c), =-=b-c, = (a-b-c)(b-c)= (c 2-b2) = (1-1)=0.EFBC. (2)= (a-b-c),=+=-c- a, = (a-b-c)(-c- a) = (- a 2+c2)= , | 2= (a-b-c)2= (a2+b2+c2)= , | 2=(-c- a)2=c2+ a2= , |=,|=, cos=, EF,CG 所成角的余弦值为. (3)=+= (a-b)+b+c+= (a-b)+b+c+ (-c- a)= a+
19、b+ c, | 2=( a+ b+ c)2 =a 2+ b2+ c2= , FH 的长为. 21.【解析】方法一:(1)O,D 分别为 AC,PC 的中点, ODPA. 又 PA平面 PAB, OD平面 PAB, OD平面 PAB. (2)设 PA=2a,ABBC,OA=OC, OA=OB=OC=a. 又OP平面 ABC,PA=PB=PC=2a. 取 BC 中点 E,连接 PE,则 BC平面 POE. 作 OFPE 于 F,连接 DF,则 OF平面 PBC. ODF 是 OD 与平面 PBC 所成的角. PA=2a,OA=a,OP=a. 又OE= ,OF=a. 在 RtODF 中,sinODF
20、=, OD 与平面 PBC 所成角的正弦值为. 方法二:OP平面 ABC,OA=OC,AB=BC, OAOB,OAOP,OBOP. 以 O 为原点,建立空间直角坐标系 Oxyz(如图), 设 AB=a,则 A(a,0,0), B(0,a,0),C(-a,0,0). 设 OP=h,则 P(0,0,h). (1)D 为 PC 的中点, =(-a,0, h). 又=(a,0,-h),=-. ,又 PA平面 PAB,OD平面 PAB, OD平面 PAB. (2)PA=2a,h=a, =(-a,0,a). 可求得平面 PBC 的一个法向量 n=(-1,1,), cos=. 设 OD 与平面 PBC 所成
21、的角为, 则 sin=|cos|=. OD 与平面 PBC 所成角的正弦值为. 22.【解析】方法一:以 A 为原点,以 AD,AB,AP 所在直线 分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 Axyz,由 AB=2,CD=1,AD=,PA=4PQ=4,M,N分别是PD,PB的中点, 可得 A(0,0,0), B(0,2,0),C(,1,0), D(,0,0),P(0,0,4),Q(0,0,3),M(,0,2),N(0,1,2). (1)=(,-1,0),=(0,2,-4),=(-,0,1).设平面 PBC 的法向量为 n0=(x,y,z), 则有:n0(x,y,z) (,-1,0)=0
22、 x-y=0,n0(x,y,z) (0,2,-4)= 02y-4z=0, 令 z=1,则 x=,y=2n0=(,2,1). n0=(-,0,1)(,2,1)=0, 又 MQ平面 PCB,MQ平面 PCB. (2)设平面的 MCN 的法向量为 n=(x,y,z), 又=(-,-1,2),=(-,0,2), 则有: n(x,y,z)(-,-1,2)=0-x-y+2z=0, n(x,y,z)(-,0,2)=0-x+2z=0, 令 z=1,则 x=,y=1n=(,1,1). 又=(0,0,4)为平面 ABCD 的一个法向量. cos= , 又截面 MCN 与底面 ABCD 所成二面角为锐二面角, 截面
23、 MCN 与底面 ABCD 所成二面角的大小为 . (3)=(-,-1,0),所求的距离 d= CA n n = . 方法二:(1)取 AP 的中点 E,连接 ED,则 EDCN, 依题有 Q 为 EP 的中点,所以 MQED,所以 MQCN,又 MQ平面 PCB,CN平面 PCB, MQ平面 PCB. (2)易证:平面 MEN底面 ABCD, 所以截面 MCN 与平面 MEN 所成的二面角即为平面 MCN 与底面 ABCD 所成的角, 因为 PA平面 ABCD,所以 PA平面 MEN, 过 E 作 EFMN,垂足为 F,连接 QF,则由三垂线定理可知 QFMN, 由(1)可知 M,C,N,Q
24、 四点共面, 所以QFE 为截面 MCN 与平面 MEN 所成的二面角的平面角. 在 RtMEN 中,ME=,NE=1,MN=, 故 EF=,所以:tanQFE=,QFE= . 即所求二面角大小为 . (3)因为 EP 的中点为 Q,且平面 MCN 与 PA 交于点 Q,所以点 A 到平面 MCN 的距离 是点 E 到平面 MCN 的距离的 3 倍, 由(2)知:MN平面 QEF,则平面 MCNQ平面 QEF 且交线为 QF, 作 EHQF,垂足为 H,则 EH平面 MCNQ,故 EH 即为点 E 到平面 MCN 的距离. 在 RtEQF 中,EF=,QFE= ,故 EH= ,即原点 A 到平面 MCN 的距离是 . 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块文档返回原板块
