1、第2课时函数的最大(小)值 第三章3.2.1单调性与最大(小)值 1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. 2.能够借助函数图象的直观性得出函数的最值. 3.会借助函数的单调性求最值. 4.能够利用函数的单调性解决日常生活中的问题. 学 习 目 标 108这个数字大家也许并不陌生：封神榜里面总共有108位神仙； 在水浒传中，讲述的是齐聚水泊梁山的108位英雄好汉；在红 楼梦中，设置了108个章节，等等这些，足以说明108在古人心中认 为是数字之最，今天我们也来一次穿越，和古人一起探讨一下我们的 函数之最吧. 导 语 随堂演练课时对点练 一、直观感知函数的最大值和最小值 二、利用函数的单调
2、性求函数的最值 三、探究生活中的实际问题 内容索引 一、直观感知函数的最大值和最小值 问题1如图所示是函数yx22x，y2x1(x1，)，y f(x)的图象.观察并描述这三个图象的共同特征. 提示函数yx22x的图象有最高点A，函数y2x1，x1， )的图象有最高点B，函数yf(x)的图象有最高点C，也就是说，这 三个函数的图象的共同特征是都有最高点. 问题2你是怎样理解函数图象最高点的？ 提示图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值. 知识梳理 函数的最值 一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)xI，都有f(x) M； (2)x0I，使得 .那么，
3、我们称M是函数yf(x)的最大值. 一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)xI，都有f(x) M； (2)x0I，使得 . 那么，我们称M是函数yf(x)的最小值. f(x0)M f(x0)M 注意点：注意点：最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标；并不是所 有的函数都有最大(小)值，比如yx，xR；一个函数至多有一个 最大(小)值；研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性；对 于定义域内的任意x都满足f(x)M(f(x)M)，那么M不一定是函数f(x) 的最大(小)值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)M时，M才是函数 的最大(小)值，否则不是.比如f(
4、x)x23成立，但3不是f(x)的最大值， 0才是它的最大值. 例1已知函数f(x) 求f(x)的最大值、最小值. 解作出函数f(x)的图象，如图. 由图象可知， 当x1时，f(x)取最大值为f(1)f(1)1. 当x0时，f(x)取最小值为f(0)0， 故f(x)的最大值为1，最小值为0. 反思感悟图象法求函数最值的一般步骤 跟踪训练1已知函数f(x) 求函数f(x)的最大值、最小值. 解作出f(x)的图象如图. 由图象可知，当x2时，f(x)取最大值为2； 二、利用函数的单调性求函数的最值 问题3若函数yf(x)在区间a，b上单调递增，则f(x)在区间a，b上 的最大值与最小值分别是多少？
5、 提示最大值为f(b)，最小值为f(a). 问题4若f(x)x2的定义域为1,2，则f(x)的最大值和最小值一定 在端点上取到吗？ 提示不一定，需要考虑函数的单调性. 所以x2x10，且(2x11)(2x21)0， 所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)， (2)求函数f(x)在1,5上的最值. 解由(1)知，函数f(x)在1,5上单调递减， 反思感悟(1)利用单调性求最值的一般步骤 判断函数的单调性.利用单调性写出最值. (2)函数的最值与单调性的关系 若函数在闭区间a，b上单调递减，则f(x)在a，b上的最大值为f(a)， 最小值为f(b). 若函数在闭区间a，b上单调递增，则
6、f(x)在a，b上的最大值为f(b)， 最小值为f(a). 求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最 大(小)值. 跟踪训练2已知函数f(x)x . (1)求证f(x)在1，)上单调递增； 证明设1x1x2， 1x1x2，x1x21， x1x210， 即f(x1)400时，f(x)60 000100 x单调递减， f(x)60 00010040025 000. 当x300时，f(x)max25 000. 即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元. 反思感悟本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解 决实际问题的能力.解应用题的步骤是审清题意；建立数学
7、模型， 将实际问题转化为数学问题；总结结论，回归题意. 跟踪训练3将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个， 已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售 价应为多少元？最大利润为多少？ 解设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x50)元，销量减少10(x50)个， 销量为50010(x50)(1 00010 x)个， 则y(x40)(1 00010 x)10(x70)29 000. 故当x70时，ymax9 000. 即售价为70元时，利润最大，最大利润值为9 000元. 1.知识清单： (1)函数的最大值、最小值定义. (2)求解函数最值的方法. 2.方
8、法归纳：配方法、分类讨论法、数形结合法. 3.常见误区： (1)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域. (2)求含参数的二次函数的最值时不要忘记按对称轴与区间的位置分类 讨论. 课堂小结 随堂演练 1234 1.函数f(x)的图象如图所示，则其最大值、最小值分别为 1234 2.设函数f(x)2x1(x0)，则f(x) A.有最大值 B.有最小值 C.既有最大值又有最小值 D.既无最大值又无最小值 解析f(x)在(，0)上单调递增， f(x)f(0)1. 1234 3.函数yx22x，x0,3的值域为 A.0,3 B.1,0 C.1，) D.1,3 解析函数yx22x(x1)21，x0,3
9、， 当x1时，函数y取得最小值为1， 当x3时，函数y取得最大值为3， 故函数的值域为1,3. 1234 4.用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面 积最大，则隔墙的长度为_ m.3 解析设隔墙长度为x m，场地面积为S m2， 所以当x3时，S有最大值. 课时对点练 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 1.设函数f(x)的定义域为R，以下三种说法：若存在常数M，使得对任 意xR，有f(x)M，则M是f(x)的最大值；若存在x0R，使得对任 意xR，有f(x)f(x0)，则f(x0)是f(x)的最大值；若存在x0R，使得 对任意xR，
10、且xx0，有f(x)f(x0)，则f(x0)是f(x)的最大值.其中正确 说法的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 解析由函数最大值的概念知正确. 2.下列函数在1,4上最大值为3的是 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析选项B，C在1,4上均单调递增， 选项A，D在1,4上均单调递减，代入端点值，可知A正确. 12345678910 11 12 13 14 15 16 f(x)f(0)，f(4)0,6. 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为 L1x221x和L22x(其中
11、销售量单位：辆).若该公司在两地共销售 15辆，则能获得的最大利润为 A.90万元 B.60万元 C.120万元 D.120.25万元 解析设公司在甲地销售x辆， 则在乙地销售(15x)辆，公司获利为 Lx221x2(15x)x219x30 当x9或10时，L最大值为120万元. 12345678910 11 12 13 14 15 5.函数f(x)x23x2在区间(5,5)上的最大值、最小值分别为 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.(多选)若函数f(x)x24x1在定义域A上的值域为3,1，则区间A 可能为 A.0,4 B.2,4 C.1,4 D.3,5
12、12345678910 11 12 13 14 15 16 解析函数f(x)x24x1的图象是开口向上的抛物线，以直线x 2为对称轴， 函数f(x)在区间(，2)上单调递减，2，)上单调递增. 当x0,4时，函数的最小值为f(2)3，最大值为f(0)f(4)1，得 函数的值域为3,1； 当x2,4时，函数的最小值为f(2)3，最大值为f(4)1，得函数的 值域为3,1； 当x1,4时，函数的最小值为f(2)3，f(1)2f(5)6， 最大值为f(3)22， 得函数的值域为3,22. 根据以上的讨论可得区间A不可能为3,5. 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.函数y
13、ax1在区间1,3上的最大值为4，则a_. 解析若a0，则函数yax1在区间1,3上单调递减， 并且在区间的左端点处取得最大值， 即a14，解得a3，不满足a0，则函数yax1在区间1,3上单调递增， 并且在区间的右端点处取得最大值， 即3a14，解得a1. 综上，a1. 1 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.函数f(x) ，x1,2，则f(x)的最大值为_，最小值为_. 1 12345678910 11 12 13 14 15 16 9.已知函数f(x) (x0). (1)求证：f(x)在(0,1上单调递增； 证明设x1，x2是区间0,1上的任意两个实数，且x1
14、x2， 当0 x10，x1x210， f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)， f(x)在(0,1上单调递增. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)求函数f(x)的最大值和最小值. 解当1x10，x1x210， f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)， f(x)在1，)上单调递减. 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商 品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如 下关系： (1)确定x与y的一个一次函数关系式yf(x)(注明函数定义域)；
15、 x4550 y2712 12345678910 11 12 13 14 15 16 解因为f(x)是一次函数，设f(x)axb(a0)， 所以yf(x)3x162. 又y0，所以30 x54， 故所求函数关系式为y3x162，x30,54. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式， 并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？ 解由题意得， P(x30)y(x30)(1623x) 3x2252x4 860 3(x42)2432，x30,54. 当x42时，日销售利润最大，最大值为432， 即
16、当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润. 12345678910 11 12 13 14 15 综合运用 16 解析f(x)(x1)22， f(x)min2，f(x)max3， 且f(1)2，f(0)f(2)3， 1m2. 11.已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是 A.1，) B.0,2 C.(，2 D.1,2 12345678910 11 12 13 14 15 16 13.已知函数f(x)2x2ax1，x1，a，且f(x)的最大值为f(a)，则 实数a的取值范围为 A.(，4 B.(，12，) C.2，) D.4，) 12345678910 1
17、1 12 13 14 15 16 当10时，要使f(x)的最大值为f(a)， 则f(a)f(1)，即2a2a212a1，解得a1(舍)或a2. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 14.用mina，b表示a，b两个数中的最小值.设f(x)minx2，10 x(x0)，则f(x)的最大值为_.6 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析在同一个平面直角坐标系内画出函数yx2 和y10 x的图象. 根据minx2,10 x(x0)的含义可知，f(x)的图象应 为图中的实线部分. 其最大值为交
18、点的纵坐标， 所以f(x)的最大值为6. 解方程x210 x，得x4，此时y6，故两图象的交点为(4,6). 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 15.(多选)已知f(x)x，g(x)x22x，F(x) 则F(x)的最值情况是 A.最大值为3 B.最小值为1 C.无最小值 D.无最大值 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由f(x)g(x)得0 x3； 由f(x)g(x)，得x3， 作出函数F(x)的图象(图略)， 可得F(x)无最大值，无最小值. 16.已知函数f(x)对任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，
19、f(x)0，f(1) . (1)求证：f(x)是R上的减函数； 12345678910 11 12 13 14 15 16 证明设x1，x2是任意的两个实数，且x10， 因为当x0时，f(x)0， 所以f(x2x1)0， 又因为x2(x2x1)x1， 所以f(x2)f(x2x1)x1)f(x2x1)f(x1)， 所以f(x2)f(x1)f(x2x1)0， 所以f(x2)f(x1). 所以f(x)是R上的减函数. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)求f(x)在3,3上的最小值. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解由(1)可知f(x)在R上是减函数， 所以f(x)在3,3上单调递减， 所以f(x)在3,3上的最小值为f(3). 所以函数f(x)在3,3上的最小值是2. 本课结束 更多精彩内容请登录：
