1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 20192020 学年高二级学年高二级 11 月期中考数学试题月期中考数学试题 本试卷共本试卷共 4 4 页，页，2222 小题，满分小题，满分 150150 分分. .考试用时考试用时 120120 分钟分钟. . 注意事项：注意事项： 1.答卷前答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名姓名、考号考号、座位座位 号等相关信息填写在答题卡指定区域内号等相关信息填写在答题卡指定区域内. 2.选择题每小题选出答案后选择题每小题选出答案后，用用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的
2、答案标号涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定答案必须写在答题卡各题目指定 区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不 准使用铅笔和涂改液准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁考生必须保持答题卡的整
3、洁. 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分分.在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设, a bR,命题“若1a 且1b ,则2ab ”的逆否命题是() A. 若1a 且1b,则2ab B. 若1a 或1b,则2ab C. 若2ab,则1a 且1b D. 若2ab,则1a 或1b 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用逆否命题的定义解答得解. 【详解】命题“若1a 且1b ,则2ab”的逆否命题是“若2ab,则1a 或 1b”，故答案为 D 【点睛】本
4、题主要考查逆否命题的定义和逻辑联结词的否定，意在考查学生对这些知识的掌 握水平和分析推理能力. 2. 椭圆 2 2 2 11 x ya a 的焦距为 2，则a （） A. 2 B.2C.5D. 5 【答案】A 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 【解析】 【分析】 由 2 2 2 11 x ya a 可得椭圆的焦点在x轴上且1b ，由焦距22c 可得：1c ，代入公 式即可得解. 【详解】由 2 2 2 11 x ya a ，设短轴长为2b， 可知：椭圆的焦点在x轴上，且1b ， 由焦距22c 可得：1c ， 所以由 222 +1 12abc ， 所以 2a ， 故
5、选：A. 【点睛】本题考查了椭圆的基本量的运算，考查了椭圆的基本性质，是概念题，属于基础题. 3. 万众瞩目的北京冬奥会将于 2022 年 2 月 4 日正式开幕，继 2008 年北京奥运会之后，国家 体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一 个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知 大椭圆的长轴长为 40cm，短轴长为 20cm，小椭圆的短轴长为 10cm，则小椭圆的长轴长为 （）cm A.30B.20C.10D.10 3 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意先求大椭圆离心率为 3 2 e ，根据两个椭圆的离
6、心率相同，小椭圆的离心率为 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 3 2 e ，再根据小椭圆的短轴长为 10cm，代入公式即可得解. 【详解】由大椭圆和小椭圆扁平程度相同，可得两椭圆的离心率相同， 由大椭圆长轴长为 40cm，短轴长为 20cm， 可得焦距长为20 3cm，故离心率为 3 2 e ， 所以小椭圆离心率为 3 2 e ， 小椭圆的短轴长为 10cm，即210b cm， 由 2 2 1 b e a ，可得：10a cm， 所以长轴为20cm. 故选：B. 【点睛】本题考查了利用离心率求椭圆基本量的问题，考查了公式的理解应用，属于基础题. 4. 命题“p且q
7、”与命题“ p或q”都是假命题，则下列判断正确的是（ ） A. 命题“ p 且 q ”是真命题 B. 命题“ p ”与“ q ”至少有一个是假命题 C. 命题“ p ”与“q”真假相同 D. 命题“ p ”与“ q ”真假不同 【答案】A 【解析】 【分析】 由已知条件可知p、q均为假命题，再由复合命题的真假可判断各选项的正误. 【详解】由于命题“p且q”与命题“p或q”都是假命题，则p、q均为假命题. 所以，命题“ p 且 q ”是真命题，命题“ p ”与“ q ”都为真命题，命题“ p ”与 “q”真假不同，命题“ p ”与“ q ”真假相同. 故选：A. 【点睛】本题考查利用复合命题的真
8、假判断复合命题的真假，解题的关键就是判断出两个简 单命题的真假，考查推理能力，属于基础题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 5. 已知点P为椭圆 22 1 2516 xy 上的任意一点，O为原点，M满足 1 2 OMOP ，则点M的 轨迹方程是（） A. 22 1 10064 xy B. 22 4 1 254 xy C. 22 1 1004 xy D. 22 4 1 2564 xy 【答案】B 【解析】 【分析】 设P点坐标为 00 (,)xy，则有 22 00 1 2516 xy ，设 ( , )M x y，根据 1 2 OMOP ，可得： 00 2 ,2xx
9、 yy，代入椭圆方程即可得解. 【详解】设P点坐标为 00 (,)xy，则有 22 00 1 2516 xy ， ( , )M x y，根据 1 2 OMOP ， 可得： 00 2 ,2xx yy， 代入椭圆方程可得： 22 4 1 254 xy ， 故选：B. 【点睛】本题考查了相关点代入法求轨迹方程，题型相对比较典型，解题关键是根据条件联 系变量之间的关系，属于基础题. 6. 设a ，b 是两个非零向量，则使|a ba b 成立的一个必要非充分条件是（） A. ab B. ab C.(0)ab D. / /ab 【答案】D 【解析】 【分析】 利用向量的数量积求出两个向量的夹角即可推出结果
10、 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 【详解】解：a ，b 是两个非零向量，则|a ba b ， |cos,|a ba ba ba b ， cos,1a b ， ,0a b r r / /ab a ，b 是两个非零向量，则使|a ba b 成立的一个必要非充分条件是/ /ab 故选：D 【点睛】本题考查向量的数量积以及充要条件的判定，考查逻辑推理能力 7. 直线l过点 (1,1)P 与抛物线 2 4yx交于,A B两点，若P恰为线段AB的中点，则直线l的 斜率为（） A.2B.2C. 1 2 D. 1 2 【答案】A 【解析】 【分析】 利用点差法， 2 11 2
11、22 4 4 yx yx 两式相减，利用中点坐标求直线的斜率. 【详解】设 1122 ,A x yB xy， 2 11 2 22 4 4 yx yx ，两式相减得 22 1212 4yyxx， 即 121212 4yyyyxx， 当 12 xx时， 12 12 12 4 yy yy xx ， 因为点1,1P是AB的中点，所以 12 2yy，24k ， 解得：2k 故选：A 【点睛】本题考查中点弦问题，重点考查点差法，属于基础题型. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 8. 已知抛物线 2 2(0)ypx p的焦点 F 恰好是双曲线 22 22 10,0 xy ab
12、ab 的右焦点， 且两条曲线的交点的连线过点 F，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 2C. 21 D. 21 【答案】C 【解析】 试题分析：如图所示， ，两条曲线交点的连线过点，两条曲线交点为（） ，代入 双曲线方程得，又，化简得， ，故选 C. 考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质. 9. 已知椭圆 2 2 1 4 x y的两个焦点为 12 ,F F， 点P在椭圆上且满足 12 0PF PF ， 则 12 PFF的 面积为（） A. 3 3 B. 3 2 C.1D.2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，分析可得 12 2 FPF ，由椭圆的标准方程和定义可得 12 |
13、 24PFPFa， 222 12 |(2 )12PFPFc，将两式联立可得 12 | |PFPF的值，由三角形面积公式计算可 得答案 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 【详解】解：根据题意，点P在椭圆上，满足 12 0PF PF ， 12 2 FPF ， 又由椭圆的方程为 2 2 1 4 x y，其中 2 4 13 c ， 则有 12 | 24PFPFa， 222 12 |(2 )12PFPFc， 联立可得 12 | | 2PFPF ， 则 12 FPF的面积 12 1 | | 1 2 SPFPF； 故选：C 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及勾股定理与三角形的
14、面积，关键是掌握椭圆的几何 性质 10. 已知P为抛物线 2 4yx上一个动点，Q为圆 22 (8)(1)1xy上一个动点，那么点 P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点的距离之和的最小值是（） A. 5 2 B.8C.9D.7 【答案】B 【解析】 【分析】 根据图像，PD 准线1x 于D，设圆心O，坐标为(8,1)求P到点Q的距离与点P到抛 物线的焦点的距离之和的最小值， 根据抛物线的性质以及点和圆的位置关系， 可以转化为点P 到圆心O的距离和点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可得当, ,D P O三点共线时，距 离之和最小，代入数值即可得解. 【详解】 高考资源网（）您身边的高考专家 版
15、权所有高考资源网 - 8 - 如图，PD 准线1x 于D，设圆心M，坐标为(8,1) 求P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点的距离之和的最小值， 根据抛物线的性质以及点和圆的位置关系， 可以转化为点P到圆心M的距离和点P到抛物线的准线的距离之和的最小值， 由点到直线的距离垂线段最短， 可得当D P M, ,三点共线时，距离之和最小， 此时9MD ，此时点Q为MD与圆的交点， 所以P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点的距离之和的最小值 min 9 18d ， 故选：B. 【点睛】本题考查了抛物线和圆的最短距离问题，考查了抛物线的定义以及点和圆的位置关 系，主要考查了转化思想，计算量不大，属于基础题.
16、 11. 设 1 F、 2 F分别是椭圆 22 22 1 xy ab （0ab）的左、右焦点，若在直线 2 a x c 上存在 点P，使线段 1 PF的中垂线过点 2 F，则椭圆离心率的最小值为（） A. 1 3 B. 1 2 C. 2 2 D. 3 3 【答案】D 【解析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 【分析】 由线段 1 PF的中垂线过点 2 F得 212 2PFFFc， 设 2 a x c 交x轴于点M， 若在直线 2 a x c 上存在点P，使线段 1 PF的中垂线过点 2 F，则 22 | |PFMF，带值即可得解. 【详解】 由线段 1 PF的中
17、垂线过点 2 F得 212 2PFFFc， 设 2 a x c 交x轴于点M， 若在直线 2 a x c 上存在点P， 使线段 1 PF的中垂线过点 2 F，则 22 | |PFMF， 故 2 2 a cc c ，即 22 3ca ， 故 2 1 3 e ，即 3 3 e . 故选：D. 【点睛】本题考查了椭圆的离心率范围问题，考查了椭圆和几何关系的结合，关键点是正确 的把几何关系转化为数量关系，属于基础题. 12. 已知椭圆C的焦点为 12 ( 1,0),(1,0)FF，过 2 F的直线与C交于A B、两点.若 22 3 | 2 AFF B， 12 |2|BFBF，则C的方程为（） 高考资源
18、网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - A. 2 2 1 2 x yB. 22 1 32 xy C. 22 1 43 xy D. 22 1 54 xy 【答案】D 【解析】 【分析】 设 2 |2BFm，则 2 | 3AFm， 1 |4BFm，由椭圆定义知 1212 | | 6BFBFAFAFm，所以 1 | 633AFmmm，所以 12 | |AFAF，故 点A为椭圆的上（下）顶点，即(0, )Ab，由 22 3 2 AFF B ，得 52 ( ,) 33 Bb，代入椭圆方程 即可得解. 【详解】设 2 |2BFm，则 2 | 3AFm， 1 |4BFm， 由椭圆定义知 1
19、212 | | 6BFBFAFAFm， 所以 1 | 633AFmmm， 所以 12 | |AFAF， 故点A为椭圆的上（下）顶点，即(0, )Ab， 由 22 3 2 AFF B ，得 52 ( ,) 33 Bb， 点B在椭圆上，故 2 22 254 99 1 b ab ， 解得 2 5a ，又由1c ，可得2b ， 故椭圆方程为 22 1 54 xy . 故选：D. 【点睛】本题考查了椭圆基本量的运算，考查了椭圆的定义，关键点是把几何关系转化为数 量关系，考查了转化思想，有一定的计算量，属于基础题. 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满
20、分 20 分分. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 13. 抛物线 2 4yx的准线方程为_. 【答案】 1 16 y 【解析】 试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是 考点：抛物线方程 14. 双曲线 22 22 1 xy ab 的其中一条渐近线方程为 2yx，且焦点到渐近线的距离为2，则双 曲线的方程为_ 【答案】 2 2 1 4 y x 【解析】 【分析】 由双曲线的渐近线方程可得2 b a ，再由焦点到渐近线的距离为2可得2b ，即可得答案； 【详解】由题意得： 2, 1 2, b aa b ， 双曲线的方程为 2 2 1 4 y x ， 故答案为
21、： 2 2 1 4 y x . 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程和焦点到渐近线的距离为b，考查运算求解能力，属于 基础题. 15. 如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，水位下降 1 米后， 水面宽米. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 【答案】2 6米 【解析】 【详解】 如图建立直角坐标系，设抛物线方程为 2 xmy， 将 A（2，-2）代入 2 xmy， 得 m=-2， 2 2xy ，代入 B 0, 3 x 得 0 6x ， 故水面宽为2 6米，故答案为2 6米 考点：抛物线的应用 16. 圆O的半径为定长r，A是圆O所在
22、平面上与P不重合的一个定点，P是圆上任意一点， 线段PA的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是 _ 椭圆；双曲线；抛物线；圆；一个点 【答案】 【解析】 【分析】 由题设条件线段的垂直平分线的性质，结合圆锥曲线的定义，分类讨论，即可求解. 【详解】 （1）因为A为圆O内的一定点，P为O上的一动点， 线段AP的垂直平分线交半径OP于点M， 可得,MAMPMAMOMPMOOPr， 即动点M到两定点,O A的距离之和为定值， 当,O A不重合时，根据椭圆的定义，可知点M的轨迹是：以,O A为焦点的椭圆； 当,O A重合时，点M的轨迹是圆； 高考资源网（）您身边的高考专家
23、 版权所有高考资源网 - 13 - （2）当A为圆O外的一定点，P为O上的一动点， 线段AP的垂直平分线交半径OP于点M， 可得,MAMPMAMOMPMOOPr， 即动点M到两定点,O A的距离之差为定值， 根据双曲线的定义，可得点M的轨迹是：以,O A为焦点的双曲线； （3）当A为圆O上的一定点，P为O上的一动点，此时点M的轨迹是圆心O. 综上可得：点M的轨迹可能是点、圆、椭圆和双曲线. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了椭圆、双曲线和圆的定义及其应用，其中解答中熟练应用线段垂直 平分线的性质，以及椭圆和双曲线的定义是解答的关键，着重考查推理与论证能力，以及转 化思想的应用. 三三、解答题解
24、答题：本大题共本大题共 6 小题小题，满分满分 70 分分.解答须写出文字说明解答须写出文字说明、证明过程和演算证明过程和演算 步骤步骤. 17.ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c， 已知 2 7a ，2b ，sin A cos A30. （1）求边c； （2）设D为BC边上的一点，且ADAC，求ABD的面积. 【答案】 （1）4c ； （2） 3. 【解析】 【分析】 （1）由sin A cos A30，求得 2 3 A ，在ABC中，由余弦定理列出方程，即可求解； （2） 在ABC中， 由余弦定理求得cosC， 再在Rt ADC中， 利用正弦定理， 求得 7CD ，
25、得到点D是BC的中点，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】 （1）因为sin A cos A30，所以tan3A ，因为0,A，所以 2 3 A ， 在ABC中，因为2 7,2ab， 由余弦定理 222 2cosabcbcA ，可得 2 22 2 2 724cos 3 cc ， 解得4c ，或6c （舍去）. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - （2）如图所示，在ABC中， 由余弦定理，可得 222 cos 2 abc C ab 2 22 2 724 2 7 722 72 在Rt ADC中， 2 DAC ，所以 2 7 sincos2 7 7 ACAC CD
26、 ADCC ， 所以D是BC的中点，所以ABD的面积 111 sin3 222 ABC SSAB ACBAC . 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三 角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题 18. 已知数列 n a为等比数列，首项 1 4a ，数列 n b满足 2 log nn ba，且 123 12bbb. （）求数列 n a的通项公式； （）令 1 4 nn nn ca bb ，求数列 n c的前n项和 n S. 【答案】 （）4n n a （） 4
27、(41) 13 n n n S n 【解析】 【分析】 （I）设等比数列的公比为q，运用对数的运算性质和等比数列的通项公式，解方程即可得到 公比，可得所求通项公式； （）bnlog2anlog24 n2n， n 1 4 nn bb an 1 1n n 4 n 11 1nn 4 n，运用分组求和 和裂项相消求和，化简可得所求和 【详解】 （）由 2 log nn ba和 123 12bbb得 2123 log12a a a， 12 123 2a a a . 设等比数列 n a的公比为q， 1 4a 26312 123 4 4422a a aqqq， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资
28、源网 - 15 - 计算得出4q 1 4 44 nn n a （）由（1）得 2 log 42 n n bn， 41 44 2211 nn n c nnn n 11 4 1 n nn 设数列 1 1n n 的前n项和为 n A，则 11111 1 2231 n A nn 1 n n 设数列 4n的前n项和为 n B，则 4444 41 1 43 n n n B ， 4 41 13 n n n S n 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和 和裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题 19. 如图，在三棱锥SABC中, 侧面SAB与侧面SAC均为
29、等边三角形,90 ,BACO为BC 中点. （）证明：SO 平面;ABC （）求二面角ASCB的余弦值. 【答案】 （）SO 平面;ABC （）二面角ASCB的余弦值为 3 . 3 【解析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - 【详解】证明： （）由题设 AB=AC=SB=SC=SA. 连结 OA，ABC 为等腰直角三角形，所以 OA=OB=OC= 2 2 SA，且 AOBC. 又SBC 为等腰三角形，故 SOBC， SO= 2 2 SA， 从而 OA2+SO2=SA2， 所以SOA 为直角三角形，SOAO. 又 AOBC=O， 所以 SO平面 ABC. （）解法
30、一： 取 SC 中点 M, 连结 AM,OM, 由（）知,SOOC SAAC, 得 OMSC，AMSC. OMA为二面角ASCB的平面角. 由 AOBC，AOSO，SOBCO得 AO平面 SBC， 所以 AOOM. 又 3 2 AMSA ，故 26 sin, 33 AO AMO AM 所以二面角ASCB的余弦值为 3 . 3 解法二： 以O为坐标原点， 射线 OB、 OA分别为x轴、 y轴的正半轴， 建立如图的空间直角坐标系.Oxyz 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - 设 B(1,0,0)，则( 1,0,0),(0,1,0), (0,0,1).CAS SC 的中
31、点 11 ,0, 22 M 11 ,0, 22 MO 11 ,1, 22 MA ( 1,0, 1),SC 0MO SC ，0MA SC . 故 MOSC，MASC，,MO MA 等于二面角ASCB的平面角. 3 cos, 3 MO MA MO MA MO MA 所以二面角ASCB的余弦值为 3 . 3 20. 设抛物线 2 :2(0)C xpy p的焦点为F，( ,1)M p p 是抛物线C上的点. （1）求抛物线C的方程； （2）若过点(0,2)的直线l与抛物线C交于不同的两点,A B，且13AF BF ，求直线l的 方程. 【答案】 （1） 2 4xy； （2）2yx . 【解析】 【分析
32、】 （1）由( ,1)M p p 是抛物线C上的点，代入方程可得抛物线的方程； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 - （2）设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，联立直线AB和抛物线方程，利用韦达定理和抛物线的定义求 出直线的斜率，进而得出直线方程 【详解】 （1）因为( ,1)M p p 是抛物线C上的点，所以 2 2 (1)pp p， 又0p ，解得2p ，则抛物线 C 的方程为 2 4xy. （2）设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，设直线AB方程为2ykx 由 2 2 4 ykx xy 得 2 480 xkx 2 16320k
33、， 1212 4 ,8xxk x x 由抛物线的定义知 12 1,1AFyBFy 则 1212 1133AF BFyykxkx 22 1212 3 ()94913k x xk xxk 解得1k ，所以直线l的方程为2yx 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的方程和定义，属于中档题 21. 甲、乙两地相距 S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 c 千米/时已知汽车 每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v(千米/时)的 平方成正比、比例系数为 b；固定部分为 a 元 (1)把全程运输成本 y（元）表示为速度 v（千米/时）的函数，并指
34、出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 【答案】(1),(0, a ySbvvc v (2)见解析 【解析】 【详解】解： （）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 s v ， 全程运输成本为 2 SSa yabvSbv vvv 故所求函数及其定义域为,(0, a ySbvvc v ()依题意知 S，a，b，v 都为正数，故有2 a SbvSab v 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 19 - 当且仅当 a bv v 即 a v b 时上式中等号成立 若 a c b ，则当 a v b 时，全程运输成本 y 最小， 若 a c b
35、 ，则由于 ,(0, ab ySbSbc ,当(0, a v b 时为减函数，则 a ySbv v 在(0, vc上为减函数 当 v=c 时，全程运输成本 y 最小 综上知，为使全程运输成本 y 最小，当 ab c b 时行驶速度应为 ab v b ；当 ab c b 时行 驶速度应为 v=c 22. 已知椭圆 22 1 22 :10 xy Cab ab 的左、右焦点为 1 F、 2 F， 12 2 2FF ，若圆Q方 程 2 2 211xy，且圆心Q满足 12 2QFQFa. （1）求椭圆 1 C的方程； （2）过点0,1P的直线 1 l交椭圆 1 C于A B、两点，过P与 1 l垂直的直线
36、 2 l交圆Q于CD、两 点，M为线段CD中点，求 MAB 的面积的取值范围. 【答案】 （1） 22 1 42 xy ； （2） 2 5 (,2 3 MAB S . 【解析】 【分析】 （1）利用椭圆的焦点坐标以及圆心Q满足 12 2QFQFa求得椭圆的标准方程； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 20 - （2） 若 1 l的斜率不存在， 则 1 l与y轴重合， 则 2 l过圆心Q， 点M与点Q重合， 可求出 MAB 的面积； 1 l的斜率存在时，设 1: 1lykx，与椭圆方程联立，分别求出弦长AB和点Q到 1 l 的距离d，代入面积公式中，利用k的范围求出 MAB
37、 的面积的取值范围 【详解】 （1）由题意可知： 1 2,0F ， 2 2,0F， 2,1Q 2222 12 2( 22)1( 22)14aQFQF ，故2a ， 从而 2c ， 222 2bac ，椭圆 1 C的方程为 22 1 42 xy （2）若 1 l的斜率不存在，则 1 l与y轴重合，则 2 l过圆心Q，点M与点Q重合， 此时 1 (2 2)22 2 ABMABQ SS 1 l的斜率存在时，设 1: 1lykx，设 11 ,A x y， 22 ,B xy， 由 22 1 24 ykx xy ，消y，得 22 1 2420kxkx， 222 168 213280kkk ， 12 2 4
38、 12k k xx ， 12 2 2 12k x x ， 2 1 :1yxl k ，直线 2 l与椭圆相交，故 2 |2| 1 1 kk k ，即 2 1k 2 22 12 2 328 11 12 k ABkxxk k ，M为线段CD中点，MQCD， 又 12 ll，/MQAB， MABQAB SS ，又点Q到 1 l的距离 2 2 1 k d k ， 22 2 241 1 212 MAB kk SAB d k 22 22 4(14) (12) kk k 令 2 12tk ，则3t ， 2 2 22 2(1)(21)2(231)11 2( )3( )2 MAB tttt S tttt 令 11 (0, ) 3 u t ， 2 32yuu在 1 (0, ) 3 单调递减，故 2 5 (,2) 3 MAB S 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 21 - 综上， 2 5 (,2 3 MAB S 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式和面积公式，考查换元法求最值， 属于中档题
