1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 东至二中东至二中 2019-20202019-2020 学年第一学期高二年级学年第一学期高二年级 6 6 月月考月月考 数学学科测试卷数学学科测试卷 一一. .选择题选择题( (本大题共本大题共 1212 小题，共小题，共 6060 分分) ) 1.已知复数z满足(12i)z34i，则|z|（） A. 2 B. 5 C. 5 D. 5 2 【答案】C 【解析】 【分析】 利用复数模的运算性质及其计算公式即可得出. 【详解】(12i)z34i， |12i|z|34i|， 则|z| 22 22 ( 3)4 12 5. 故选：C. 【点
2、睛】本题主要考查的是复数的四则运算，以及复数模的求法，是基础题. 2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数 fx，如果 0 0fx，那么 0 xx是函 数 fx的极值点因为函数 3 f xx在0 x 处的导数值 00 f ，所以0 x 是函数 3 f xx的极值点以上推理中（） A. 小前提错误B. 大前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确 【答案】B 【解析】 【分析】 对大前提，小前提，推理形式与结论进行判断 【详解】大前提：对于可导函数 fx，如果 0 0fx，那么 0 xx是函数 fx的极值点， 错误，极值点的定义中除要求 0 0fx，还需要在 0 x两侧的导数的符号相反虽然小
3、前提 正确，推理形式正确，但结论是错误的， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 故选：B 【点睛】本题考查三段论推理，三段论推理的结论是正确的前提条件是大前提、小前提、推 理形式都正确 3.观察下列各式：a+b=1.a 2+b2=3，a3+b3=4 ，a4+b4=7,a5+b5=11,，则 a10+b10=（ ） A.28B. 76C. 123D. 199 【答案】C 【解析】 【详解】由题观察可发现， 347,4711,71118， 11 1829,182947， 294776,4776123， 即 1010 123ab , 故选 C. 考点：观察和归纳推理能力.
4、 4.函数 4 1 ( ) 2 x f xxe在-2，2的图象大致为（） A.B.C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 结合图象，根据函数的奇偶性，函数的单调性，以及特殊点的位置，即可利用排除法解出 【详解】因为 fxf x，所以函数 4 1 ( ) 2 x f xxe为偶函数,而 2 280fe， 所以可排除选项A；当02x时， 44 11 ( ) 22 xx f xxeex， 3 2 x fxxe 2 01,120,2160ffefe ， 0 (1,2)x，使得 0 0fx， 所以函数 4 1 ( ) 2 x f xxe
5、在1,2上存在极小值点，排除B选项； 2 216fe， 而 333 222 2732727 032 4244 fe ，所以 3 2 2 ff ，排除选项D 故选：C 【点睛】本题主要考查函数的图象的识别，涉及导数在研究函数性质中的应用，属于中档题 5.用数学归纳法证明 42 2 123 2 nn n ，则当1nk时，左端应在nk的基础 上加上（） A. 2 1k B. 2 1k C. 2 22 121kkkD. 42 11 2 kk 【答案】C 【解析】 【分析】 首先分析题目求用数学归纳法证明 1+2+3+n 2= 42 2 nn 时， 当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础 上加上的式
6、子，可以分别使得 n=k，和 n=k+1 代入等式，然后把 n=k+1 时等式的左端减去 n=k 时等式的左端，即可得到答案 【详解】当 n=k 时，等式左端=1+2+k 2， 当 n=k+1 时，等式左端=1+2+k 2+k2+1+k2+2+（k+1）2，增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3） +（k+1） 2 故选 C 【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./ 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 6. 2 2 1 41 (1 (1) ln2 xdx x （） A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据定积分的性质，微积
7、分基本定理，以及定积分的几何意义即可求出 【详解】 因为 22 22 11 44 1 (1)1 (1)xdxxdx ， 而 2 2 1 1 (1)xdx 等于以1,0为 圆心，半径为1的 1 4 个圆的面积，所以 2 2 1 44 1 (1)1 4 xdx ； 因为 22 2 1 11 1111 ln|1 ln2ln2ln2 dxdxx xx ， 所以 222 22 111 4141 (1 (1)1 (1)1 12 ln2ln2 xdxxdxdx xx 故选：B 【点睛】本题主要考查定积分的性质，微积分基本定理，以及定积分的几何意义的应用，属 于基础题 7.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变
8、化.每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组 成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦.共有多少种重卦.（） A. 12B. 16C. 32D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】 按照分步乘法计数原理，即可求出 【详解】因为每一行都有 2 个爻供选择，根据分步乘法计数原理，所以六行共可组成 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 2 2 2 2 2 264 种重卦 故选：D 【点睛】本题主要考查分步乘法计数原理的应用，属于容易题 8.已知 5 (1)(1)mxx的展开式中 2 x的系数为 5，则m（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】A 【解析】 【
9、分析】 求出 5 (1) x和 5 (1)mxx展开式中 2 x的系数，即可列式解出 【详解】因为 5 (1) x展开式中 2 x的系数为 2 5 C， 5 (1)mxx展开式中 2 x的系数为 1 5 mC， 所以 21 55 5CmC，解得1m 故选：A 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题 9.若 10210 01210 (2)(3)(3)(3)xaa xaxax，则 8 a=（） A. 45B. 120C.10D.120 【答案】A 【解析】 【分析】 直接计算 10 10 231xx 其展开式中含 8 3x的系数，即可得解； 【详解】解：因为 10210 01210 (2
10、)(3)(3)(3)xaa xaxax 又 10 10 231xx 其展开式中含 8 3x的系数为 2 2 10 145C 即 8 45a ， 故选：A 【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题. 10.某次数学获奖的 6 名高矮互不相同的同学站成两排照相，后排每个人都高于站在他前面的 同学，则共有多少种站法（） 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - A. 36B. 90C. 360D. 720 【答案】B 【解析】 【分析】 6 个高矮互不相同的人站成两排，后排每个人都高于站在他前面的同学的站法数为 222 3 642 3 3 3 C C C A A ，由此能求
11、出结果 【详解】解：6 个高矮互不相同的人站成两排， 后排每个人都高于站在他前面的同学的站法数为 222 3 426 3 3 3 90 C C C A A ， 故选：B 【点睛】本题考查简单的排列组合问题，属于基础题. 11.设函数( ),yf x xR的导数为( )fx ，且( )(),( )( )f xfxfxf x ，则下列不等式 成立的是（） A. 12 (0)(1)(2)fefe f B. 12 (1)(0)(2)effe f C. 21 (2)(1)(0)e feff D. 21 (2)(1)(0)e feff 【答案】B 【解析】 【分析】 构造函数 x g xef x ，通过求
12、其导函数，结合题目给出的 fxf x，得到函数 g x的单调性，然后在函数 g x的解析式中分别取0 x ，1，2，利用函数单调性即可得 到结论. 【详解】构造辅助函数，令 x g xef x ， 则 xxx gxef xefxefxf x ， fxf x， 0gx， 函数 x g xef x 为实数集上的减函数， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 则 201ggg. 0 000ge ff， 1 11ge f ， 2 22ge f， 又 fxf x， 2 22ge f， 12 (1)(0)(2)effe f ， 故选：B. 【点睛】本题考查了利用导函数判断原函数的
13、单调性，考查了不等关系与不等式，训练了函 数构造法，解答此题的关键是结合选项的特点，正确构造出辅助函数，属于中档题. 12.已知对0,x ，不等式ln1 n xm x 恒成立，则 m n 的最大值是 () A. 1B.1C. e D.e 【答案】C 【解析】 不 等 式ln1 n xm x 可 化 为 ln10ln1 nn xmF xxm xx ，令， 则 22 1nxn Fx xxx ，所以当xn时， min ln2Fxnm，即 ln202ln (0)nmmn n， 所 以 2lnmn nn ， 令 2lnn G n n ， 则 令 2 1 ln 0 n G n n 可得 1 n e ，故
14、max 2 1 1 Gne e ，即 2lnmn e nn ，应选答案 C 点睛：解答本题的思路是将不等式ln1 n xm x 可化为ln10 n xm x ，然后再构造函 数 ln1 n F xxm x ，并对其进行求导，求出函数 ln1 n F xxm x 的最小值为 ln2nm，即ln20nm，然后求出目标函数 2lnn G n n 的最大值为e，即 2lnmn e nn ，所以求出 m n 的最大值是e 二二. .填空题填空题( (本大题共本大题共 4 4 小题，共小题，共 2020 分分) ) 13.已知 9239 01239 (23 )xaa xa xa xa x，则 1239 2
15、39aaaa_ 【答案】27 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 对原式两边同时求导，再令1x ，即可求出结果. 【详解】对 9239 01239 (23 )xaa xa xa xa x两边同时求导，得到 8 1239 28 27(23 )239xaa xa xa x， 令1x ，则 123 8 9 23927(23)27aaaa . 故答案为：27. 【点睛】本题主要考查导数的运算，以及求二项展开式中部分项的系数和，属于常考题型. 14.将5名学生分配到3个社区参加社会实践活动，每个社区至少分配一人，则不同的分配方 案有_种 （用数字填写答案）
16、 【答案】150 【解析】 【分析】 根据人数先进行分组，有 3，1，1 或 2，2，1 两种情况，求出每一种的情况数目，结合分步 计数原理，即可求解， 【详解】当一个社区 3 人其他社区各有 1 人时，方案有 33 53 60C A （种） ；当一个社区 1 人其 他社区各2人时，方案有 122 3 542 3 2 2 90 C C C A A （种） ，故不同的分配方案共有150种. 【点睛】本题考查排列组合的应用，结合条件先分组，再分配，属基础题 15.把正整数按一定规律排成了如图所示的三角形数表 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6
17、 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 设 * ( ,) ij a i jN是位于这个三角形数表中从上到下数第i行、 从左到右数第j个数， 如 42 8a， 若 2020 ij a ，则ij_ 【答案】68 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 根据三角形数表的规律：第n行有n个数，假设 2020 是第n行最后一个数，根据等差数列的 前n项和公式，则 1 2020 2 n n ，然后对n赋值，得到 2020 所在的行，然后再得到上一 行最后一个数，进而得到其所在的行第一个数，然后用等差数列的通项公式得到是第几个数. 【详解】由三角形数表可得：第一
18、行 1 个数，第二行 2 个数，第三行 3 个数，则第n行有n 个数， 假设 2020 是第n行最后一个数，则 1 2020 2 n n ， 当63n 时， 1 2020 2 n n ，当 64n 时， 1 2020 2 n n ， 所以 2020 在第 64 行，且第 63 行最后一个数为 63 63 1 2016 2 ， 则第 64 行第一个数为 2017， 所以20202017(1) 1j， 解得 4j ， 所以68ij. 故答案为：68 【点睛】本题主要考查等差数列的通项及前n项和公式，还考查了观察分析求解问题的能力， 属于中档题. 16.已知, , ,a b c dR且满足 33 2
19、 alnad bc 1，则 22 ()()acbd的最小值为_. 【答案】 9 5 ln 2 2 3 e 【解析】 【分析】 将( , )P a b，( , )Q c d分别看成函数3lnyxx与 23yx 上任意一点，问题转化为曲线 上的动点P与直线上的动点Q之间的最小值的平方问题. 【详解】因为 33 1 2 alnad bc ， 所以可将( , )P a b，( , )Q c d分别看成函数3lnyxx与 23yx 上任意一点， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 问题转化为曲线上的动点P与直线上的动点Q之间的最小值的平方问题， 设( ,3)M t tlnt
20、是曲线3lnyxx的切点，因为 3 1y x 故点M处的切斜的斜率 3 1k t ， 由题意可得 3 12 t ，解得3t ， 也即当切线与已知直线 23yx 平行时，此时切点(3,33ln3)M到已知直线 23yx 的 距离最近， 最近距离 633 3363 3 55 lnln d ， 也即 22 222 9(2ln3)9 ()()ln 553 e acbd . 故答案为： 9 5 ln2 2 3 e 【点睛】本题考查导数的几何意义、两点间的距离公式、曲线的切线，考查函数与方程思想、 转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 三三. .解答题解答题( (本大题共本大题共
21、 6 6 小题，小题，1717 题题 1010 分其余每题分其余每题 1212 分，共分，共 7070 分分) ) 17.已知 2 1 2 n x x 的展开式的二项式系数和比(31)nx的展开式的二项式系数和大 992，求 2 1 2 n x x 的展开式中. （1）二项式系数最大的项， （2）系数的绝对值最大的项. 【答案】 （1）8064（2） 4 15360 x 【解析】 【分析】 （1）根据 2 1 2 n x x 的展开式的二项式系数和比(31)nx的展开式的二项式系数和大 992， 即可得到关于n的方程： 2 22992 nn ，求出n，根据二项式系数的性质即可求出二项式系 高考
22、资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 数最大的项 （2）利用两边夹定理，设出第1r 项为系数的绝对值最大的项，即可列出关于r的不等式 10111 1010 1019 1010 22 22 rrrr rrrr CC CC ，即可求解 【详解】解：依题意可得 2 22992 nn ，即232) 231)0 nn （，解得5n （1） 10 1 2)x x （的展开式中第 6 项的二项式系数最大 5 55 610 1 (2 )8064TCx x （2）设第1r 项的系数的绝对值最大 101010 2 11010 1 (2 )()( 1)2 rrrrrrr r TCxCx x
23、所以 10111 1010 1019 1010 22 22 rrrr rrrr CC CC 811 33 r 3r 故第 4 项的系数的绝对值最大， 3744 410 215360TCxx 【点睛】本题通过赋值法求出n，根据二项式系数的性质，同时利用两边夹定理进行求解，属 于中档题 18.设, ,a b c均为正实数，反证法证明： 111 ,abc bca 至少有一个不小于 2. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 假设结论反面成立，即 111 ,abc bca 全部小于 2.然后推理出矛盾结论 【详解】证明：假设 111 ,abc bca 全部小于 2.即 111 2,2,2abc bc
24、a ， 则 111 6abc bca ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 又 111111 ()()()abcabc bcaabc 111 2226abc abc ， 当 且仅当1abc时等号成立， 与矛盾，所以假设错误原命题为真 所以 111 ,abc bca 至少有一个不小于 2. 【点睛】本题考查反证法掌握反证法这个方法是解题基础反证法是假设结论的反面成立， 然后作为条件进行推理，得出矛盾的结论，可与已知条件矛盾，可能推理过程得出矛盾的结 论，可与已知的定义、定理、公理等矛盾从而说明假设错误，原命题正确 19.已知函数( )ln(1)(1) 1f xxk
25、 x. （1）求函数 ( )f x的单调区间； （2）若( )0f x 恒成立，试确定实数k的取值范围. 【答案】 （1）函数 ( )f x的递增区间为 1 (1,) k k ，函数 ( )f x的递减区间为 1 (1,) k ； （2）1k 【解析】 试题分析： （1）由已知得 x1， 1 1 fxk x ，对分类讨论，由此利用导数性质能求 出函数 f（x）的单调区间 （2）由 0f x 得 ln11 1 x k x ，即求 ln11 1 x y x 的最大值 试题解析： 解： （1）函数 f x的定义域为1,， 1 1 fxk x ， 当0k 时， 1 0 1 fxk x ，函数 f x的
26、递增区间为1,， 当0k 时， 1 1111 1111 k k x k xkxk k fxk xxxx ， 当 1 1 k x k 时， 0fx，当 1k x k 时， 0fx， 所以函数 f x的递增区间为 1 1, k k ，函数 f x的递减区间为 1 1, k . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - （2）由 0f x 得 ln11 1 x k x ， 令 ln11 1 x y x ，则 2 ln1 1 x y x ， 当12x时，0y ，当2x 时，0y，所以 ln11 1 x y x 的最大值为 21y， 故1k . 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问
27、题： （1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题； （2）若( )0f x 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 min ( )0f x，若( )0f x 恒成立，转化为 max ( )0f x; （3）若( )( )f xg x恒成立，可转化为 minmax ()( )f xg x. 20.已知函数 ln0 xa fxaxa x （）求此函数的单调区间及最值； （）求证：对于任意正整数n，均有 1 1 2 1 3 1 n ln ! n e n （e 为自然对数的底数） 【答案】 （）当时，函数在(0, )a上是减函数，在( ,)a 上是增函数， 2 min(
28、 ) ( )lnfxf aa，无最大值; 当时，函数在(, )a上是减函数，在( ,0)a上是增 函数， 2 min( ) ( )lnfxf aa，无最大值； （）见解析 【解析】 试题分析： （）求导可得 2 ( ) xa fx x ,分0a 与0a 分别求( )0fx 与( )0fx 的解 集 ， 从 而 得 到 其 单 调 区 间 及 受 益 人 最 值 ； （ ）（ ） 由 （ ） , 取1a 可 得 1 ( )ln(1)0 x f xxf x ，所以有 1 1 lnln e x xx ，令，代入不等式 并相加可证结论成立. 试题解析： （1）解：由题意 2 ( ) xa fx x 当
29、时，函数的定义域为，此时函数在(0, )a上是减函数，在( ,)a 上是 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 增函数， 2 min( ) ( )lnfxf aa，无最大值 当时，函数的定义域为，此时函数在(, )a上是减函数，在( ,0) a 上是增 函数， 2 min( ) ( )lnfxf aa，无最大值 （2）取，由知，故， 取1,2,3,xn，则 考点：1导数与函数的单调性、最值；2函数与不等式 21.已知函数 1 ( ) x e f xa x . （1）判断 ( )f x极值点的个数； （2）若x0 时， x e ( )f x恒成立，求实数a的取值范围
30、【答案】 （1）0 （2）(,0 【解析】 【分析】 （1）求导，根据导数与函数单调性及极值的关系，分别求得函数f（x）极值点的个数； （2）e xf（x） ， （x0） ，可化为（1x）ex+ax10设 h（x）（1x）e x+ax1， （x 0） ，则问题等价于当x0 时，h（x）0 ，根据函数h（x）的性质，分类讨论，即可求得 实数a的取值范围 【详解】 （1）由f（x） 1 x e x a，得f（x） 2 11 x xe x x0； 设g（x）（x1）e x+1，则 g（x）xe x， 当x（，0）时，g（x）0，所以g（x）在（，0）上是减函数， 当x（0，+）时，g（x）0，所以g
31、（x）在（0，+）上是增函数， 所以g（x）g（0）0，所以 0fx ， 所以f（x）在定义域上是增函数，f（x）极值点个数为 0 （2）e xf（x） （x0） ，可化为（1x）ex+ax10 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 令h（x）（1x）e x+ax1， （x0） ，则问题等价于当 x0 时，h（x）0 h（x）xe x+a， 令m（x）xe x+a，则 m（x）在（0，+）上是减函数 当a0 时，m（x）m（0）a0 所以h（x）0，h（x）在（0，+）上是减函数 所以h（x）h（0）0 当a0 时，m（0）a0， m（a）ae a+aa（1ea）0
32、， 所以存在x0（0，a） ，使m（x0）0 当x（0，x0）时，m（x）0，h（x）0，h（x）在（0，x0）上是增函数 因为h（0）0，所以当x（0，x0）时，h（x）0，不满足题意 综上所述，实数a的取值范围是（，0 【点睛】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性及极值的关系，考查利用导数研 究函数的性质，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于难题 22.已知函数( )(21)ln1f xxxx. （1）求曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程； （2）求证：( )1f x . 【答案】 （1）22yx； （2）见解析 【解析】 【分析】 (1)求导得直线的斜率利用点斜式得
33、方程 (2)求导构造新函数证明( )1 min f x 即可 【详解】 （1） 由( )(21)ln1f xxxx， 得 1 ( )2ln3fxx x ，(1)2(1)0ff， 则切线方程为22yx. （2） 1 ( )2ln3,(0,)fxxx x ，令 1 ( )2ln3,(0,)h xxx x ， 22 2121 ( )0 x h x xxx ，故( )h x在(0,)上单调递增. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - 又 1 (1)20, ( )1 ln4ln0 24 e hh ，又( )h x在(0,)上连续， 0 1 ( ,1) 2 x使得 0 ()0h
34、 x，即 0 ()0fx， 0 0 1 2ln30 x x .（*） ( ),( )fxf x随x的变化情况如下： x 0 (0,)x 0 x 0 (,)x ( )fx 0 ( )f x 极小值 min0000 ( )()(21)ln1f xf xxxx. 由（*）式得 0 0 13 ln 22 x x ，代入上式得 min0000 00 1313 ( )()(21)()12 2222 f xf xxxx xx . 令 131 ( )2,( ,1) 222 t xxx x ， 22 1(12 )(12 ) ( )20 22 xx t x xx ，故( )t x在 1 ( ,1) 2 上单调递减.( )(1)t xt，又 (1)1t ，. 即 0 ()1f x( )1f x . 【点睛】本题考查导数的集合意义,考查导数证明不等式,转化为求函数最值是解题的关键,考 查推理及变形能力,是中档题 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 -
