1、函数模型的应用实例教学设计函数模型的应用实例教学设计 数学建模数学建模 郑州市第九中学郑州市第九中学郑敏郑敏 一、一、教学内容解析教学内容解析 数学建模是高中数学新课程中新增的研究性学习的内容， 课程标准中没有对数学建模的 内容做具体安排，只是建议将数学建模穿插在相关模块的教学中，要求通过数学建模，了解和经 历解决实际问题的全过程，体验数学与日常生活的联系.而以函数为模型的应用题是中学数学中 最重要的内容之一，从应用题中抽象出问题的数学特征，找出函数关系，解决实际问题也是中学 数学教学的重要任务之一.所以本节课从“3.2 函数模型应用实例”中选取一道生活中的建模实 例，借助图形计算器，综合分析
2、对比一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数在实际 生活中应用的优缺点，为以后的数学建模打基础，但未能使学生全面认识数学建模的全过程，于 是又在本题的基础上有所改编，从实际问题出发，通过分析探究、交流合作、小组展示、总结归 纳、深化反思等数学活动引导学生建立完整的数学模型解决实际问题，从而深化数学建模思想. 因此本节课是从函数出发，综合运用数学知识、思想和方法，尝试数学建模，让学生从不同的角 度理解数学的魅力. 二、二、学习目标设置学习目标设置 课程标准中关于本节课的描述有： 1.通过数学建模，了解和经历解决实际问题的全过程，体验数学与日常生活及其他学科的联 系. 2.每个学生可以根据自
3、己的生活经验发现并提出问题，对同样的问题，可以发挥自己的特长 和个性，从不同的角度、层次探索解决的方法，从而获得综合运用知识和方法解决实际问题的经 验，发展创新意识. 3.学生在发现和解决问题的过程中，应学会通过查询资料等手段获取信息；学生在数学建模 中应采取各种合作方式解决问题，养成与人交流的好习惯，并获得良好的情感体验. 在本节课中，根据布鲁姆教育目标分类标准，从知识分类、认知水平、学科内涵三个维度对 课标的分解为： 依据行为动词，我又从能力层次将课标进行了再分解，具体如下： 知识分类：知识分类：数学建模过程 认知水平：认知水平：了解 行为动词有行为动词有经历、归纳、探索、 学会、发现、体
4、验、提出、发挥 学科内涵学科内涵：通过生活实例，归纳数学建 模的全过程，体验数学与生活的联系， 体会归纳思想、建模思想. 根据课程标准 ，依据教材内容和学生情况，确定本节课的学习目标为： 1.通过将实际问题提炼成理想的数学问题，借助图形计算器，能找出合适的数学模型，初步总 结出数学建模的过程. 2.能根据实际情况检验数学模型，完善数学建模的过程，深化数学建模的思想. 3.经历数学建模解决实际问题全过程，从实际生活出发，思考数学建模的意义，体会数学来源 于生活又服务于生活的魅力. 三、三、评价任务评价任务 针对目标 1 的评价任务一：学生通过自主解决应用题、组内交流合作，借助图形计算器，通 过小
5、组讨论、交流合作，能找出合适的数学模型并初步总结出数学建模的过程. 针对目标 2 的评价任务二：通过对进一步变形的问题的探究，能说出选用模型的优缺点，能 用实际情况检验数学模型，完善数学建模的过程，深化数学建模的思想. 针对目标 3 的评价任务三：经历数学建模解决实际问题全过程，能选用合适的数学模型解决 跟踪训练一，通过小组交流合作举出生活中数学建模的例子，体会数学来源于生活又服务于生活 的魅力. 四、学生学情分析四、学生学情分析 1、学生已有的基础： 高一下学期的学生学习过一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数各自的函数特 点，基于学校的支持，学生对于图形计算器已经有一定的基础，知道
6、数形结合、转化化归、由特 殊到一般的思想方法，但对于如何建立数学模型尚不明确.从数学活动经验上来说，学生具备了 一定的数学活动经验，有主动参与数学活动的意识和小组合作学习的经验，好奇心强，学习比较 积极主动. 2、学生面临的问题： 本节课是数学建模的基础课，对学生来说是一个全新的认识，在认知方式和思维难度上对学 生有较高的要求，而学生的抽象概括能力比较薄弱，学生在建立数学模型及优化数学模型的过程 中会比较困难. 重点：数学建模的过程形成. 理解 掌握 了解、经历 通过实际例子，引出课题. 数学建模的过程 经小组讨论、合作交流，借助图 形计算器得出数学建模的过程 体 验 数学建模的实 际应用 探
7、索体验数学建模实际生活中 的应用 引入主题 创设情境 加深理解 自我总结 合作探究 发散思维 难点：数学建模在实际生活中的应用. 五、教学策略分析五、教学策略分析 从主导思想上：本节课依据“教评学一致性”的理念进行课堂教学设计，实施目标导引教学. 基于学习目标创设学习问题，激发学生的学习兴趣，基于目标设计与之匹配的评价设计和教学方 案，引导学生主动参与学习过程，动手动脑动口，在学习过程中逐步锻炼分析问题、抽象概括的 能力. 从内容上：本节课是数学建模的基础课，数学建模是高中数学新课程中研究性学习的内容， 课程标准中要求通过数学建模，了解和经历解决实际问题的全过程，体验数学与日常生活的 联系.所
8、以本节课从“3.2 函数模型应用实例”中选取一道生活中的建模实例，借助图形计算器， 对于选择数学模型这一难点，通过分析探究、交流合作、小组展示、师生释疑等环节，设计一系 列环环相扣的问题，引导学生思考、讨论、对比各自函数的特点，得出符合题意的数学模型，从 而突出本节课的重点.但在实际生活中，符合题意的数学模型不一定符合实际情况，于是在题目 的基础上加以修改，用实际问题去检验数学模型，不断拟合出最优的数学模型，让学生体会数学 建模的优化思想，引导学生建立完整的数学建模过程，深化数学建模思想，突破本节课的难点. 同时在本节课的学习中，在学习环节中渗透归纳、数形结合、建模等思想，注重培养学生的理性
9、精神. 六、教学过程六、教学过程 本节课我采取“目标、评价、教学一致性”的教学设计，同时采用“点拨式自主学习与合作 探究”的教学方法，将学生分成八人小组，每组由一名组长负责，借助五个环节实现本节课的学 习目标. 具体内容如下： 发现问题 探求新知 总结升华 师生交流 学习环节学习目标学习评价学习活动 一、创设 情境，引 入主题 通过常见 的例子引 入主题， 让学生对 数学建模 有初步的 认识 繁华的城市，有许多十字路口，每一个路口的红绿灯 时间设置是一样的吗？对于这个问题，我们可能思考过， 焦虑过，这些红绿灯秒数是如何设置的？一天中它们又是 如何变化的？ 这些内容其实跟许多因素都有关系，而核心
10、内容就是 数学中的数学建模知识. 设计意图 从实际生活出发，引入问题，让学生感受数学的应用价值；通过设疑，引入主题， 让学生初步认识数学建模. 二、问题 驱动，探 求新知 目标 1 目标 3 在探究过 程中，关注 学 生 是 否 积 极 参 与 讨论，是否 能 完 成 提 出 的 三 个 问题，是否 能 借 助 图 形计算器， 找 出 合 适 的 数 学 模 型，找出大 概 的 数 学 建模过程. 探究一 某公司为了实现 1000 万元利润的目标，准备制定一 个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到 10 万元时， 按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利 润x（单位：万元）的增加而
11、增加，但奖金总数不超过 5 万元，同时奖金不超过利润的%25.现有三个奖励模型： ,002. 1, 1log,25. 0 7 x yxyxy其中哪个模型能符合公 司的要求？ 我以下面三个问题为载体，让学生探求新知： 问题问题 1 1：你能把题里的三个文字条件变成数学语言吗？ 问题问题 2 2：画出 x yxyxy002. 1, 1log,25. 0 7 三个函数图 象？观察图象并结合计算你能判断出符合条件的函数模 型吗？ 问题问题 3 3：你能通过回顾寻找数学模型的过程自己总结出数 学建模的一般过程吗？ 分组活动，合作学习 活动活动 1 1：学生独立思考问题 1，老师提问检测 活动活动 2 2
12、：学生以小组为单位，一方面借助图形计算器合作 绘制出题里的三个函数图象，一方面通过计算交流探究出 合适的数学模型.讨论时间 5 分钟，讨论完进行小组展示， 展示时间 3 分钟，小组间车轮式评价，老师完善补充. 通过组内交流会找到符合题意的函数模型1log7xy 活动活动 3 3：学生独立思考，回答问题 3 在数学结果与可用结果之间缺少一个环节，通过设置问题 引导学生继续思考. 实际问题 提出问题 数学模型 数学结果 ？ 可用结果 N Y 设计意图 通过自主探索、合作学习不仅体现了学生的主体地位，而且可以让学生在探索 过程中体会到利用数形结合这一思想方法，同时概括出数学建模的基本过程，以实 现由
13、具体到抽象的升华。 三、深入 探究，加 深理解 目标 2 关注学生能 否说出 1log7xy 在实际生活 中的增长意 义，能否站 在领导的角 度选择合适 的 函 数 模 型，能否算 出具体的函 数模型 关注学生能 否发现已有 的函数模型 不符合实际 情况，能否 找到指数型 函数模型， 能否算出不 同的函数模 型 探究二 由实际情况出发，以下列两个问题为载体，让学生自己验 证1log7xy是否符合实际情况： 问题问题 1 1：请分析你得出函数模型的增长趋势，试想如果你 是这个公司的领导，你会不会选择如此的激励政策？ 问题问题 2 2：如果不合理你会选择什么增长趋势的函数模型？ (刚开始增长比较缓
14、慢，后期增长比较快速，提示学生联 想比较简单的函数模型.) 你能计算出符合实际情况的函数模型么？ （保留到小数点 后四位） 活动活动 1 1： 同桌讨论问题 1， 考虑选择的数学模型是否合适. （讨论时间 2 分钟） 活动活动 2 2：小组 8 人开始讨论问题 2（5 分钟） ，老师下台指 导学生并验收讨论结果， 讨论完学生自行展示自己的讨论 成果. （ 25 105xy 和 x y0016. 1） 设计意图：开放性的问题，让学生自己寻找合适的基本的 数学模型，培养学生初步的建模思想. 上述数学模型都是理想的基本初等函数型的模型， 实际生 活中的函数模型都是对基本初等函数变形之后的结果， 为
15、了引导学生用实际生活检验并优化数学模型，开始探究 三. 探究三 问题问题 1 1:把题中“在销售利润达到 10 万元时，按销售利润 开始进行奖励”这句话删掉，你得到的指数函数模型还符 合实际情况吗？如果不符合， 你能设计出符合题意的条件 么？（ x y0016. 1已经不符合题意了，因为当0 x时， 1y，让学生找出指数型函数模型) 1( x bay) 活动活动 1 1：小组 8 人开始讨论（3 分钟） ，讨论完自行展示讨 论成果，老师带领大家优化拟合最优数学模型. 设计意图：开放性问题，让学生自己体验数学建模中寻找 较复杂的数学模型的过程，培养学生数学建模的能力， 并 能完善数学建模的过程.
16、 关注学生是 否理解上述 两个问题的 含义，是否 知道在数学 建模过程中 加入 “检验” 这一环节 关注学生能 否用自己的 语言总结数 学建模的定 义 问题问题 2 2：你能根据以上问题，思考完善数学建模的过程 吗？ 活动活动 2 2：学生一起口答 问题问题 3 3： 根据数学建模的过程， 思考总结数学建模的定义. 活动活动 3 3：学生和同桌进行讨论总结，老师提问检测. 数学建模定义数学建模定义： 数学建模是运用数学思想、 知识和方法建 立数学模型来解决实际问题的过程. 设计意图 让学生通过探究活动的形式合作交流，一方面实现学生对数学建模的过程完善 并总结出数学建模的定义，一方面让学生在开放
17、、民主的教学氛围中发现问题、获 取新知. 四、反馈 练习，巩 固提升 目标 3 在反馈练习 中，关注学 生是否能大 致描绘出题 中的两个函 数图象，在 实际情况中 能否选择合 适的数学模 1.(2015(2015 年全国卷年全国卷 1,19)1,19)某公司为确定下一年度投入某种 产品的宣传费，需了解年宣传费x对年销售量y的影响， 对近 8 年的年宣传费 i x和年销售量 i y(i1，2，8) 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的 值. 实际问题 提出问题 数学模型 数学结果 检验 可用结果 N Y 型 关注学生能 否举出恰当 的数学建模 及真正理解 数学建模的 定义和过程 ()
18、根据散点图判断，bxay与xdcy哪一个适 宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给 出判断即可，不必说明理由) xdcy 2.你能举例说明身边的数学建模实例吗？ 设计意图 1.学习了数学建模的过程和定义，检验学生掌握情况，通过小组合作的形式，探究 出函数模型，并且结合图象找出合适的数学模型. 2.通过让学生举例说明身边的数学建模实例，让学生更加明白数学的实际意义，体 会数学来源于生活又服务于生活的魅力. 五、师生 交流、深 化反思 目标 3 关注学生能 否从学习方 法上和态度 上进行自我 反思和总结 在这一环节中，我会给学生 2 分钟的时间进行小组 交流，然后谈谈这节课的收获，最后
19、给学生 2 分钟时间 进行反思，把反思内容写到学历案上，引导学生不仅从 知识上总结，还要从学习方法和学习态度上进行自我评 价和反思. 由此引出总结语“生活并不缺少美，而是缺少发现美 的眼睛。处处留心皆学问，透过现象才能够寻数据、建 模型、现本质、解问题，这才是数学来源于生活又服务 于生活的真实写照。希望同学们通过本节课的学习，能 够学以致用，学好数学，才能生活不愁、学习无忧.” 设计意图培养学生及时总结的习惯， 小结的形式符合学生的认知规律， 能优化认知结构. 板书设计 3.2.2 函数模型的应用实例 学生展示作图成果 定义 数学建模过程 板书设计分为教师板书和多媒体两块内容，教师板书和学生作
20、图结果，我侧重将本节的主要 内容展示在黑板上，便于学生理解.本节课作为数学建模的入门课，关键是认识什么是数学建模， 会初步进行数学建模，于是我给学生展示数学建模的过程和定义，便于学生的掌握. 课后作业： 1.教材 106 页 A 组第 1 题；B 组第 2 题 2.繁华的十字路口，刚等过一个红灯，没走多远，又碰到一个红灯，又要等待几十秒， 对于这个问题，我们可能思考过，焦虑过，这些红绿灯秒数是如何设置的？一天中他们又是 如何变化的？请以小组为单位，查找相关数据，结合本节所学数学建模知识，撰写一个研究 性学习报告. 3.课外阅读： 数学建模入门 、 数学建模方法 七、教学反思 （一）突出重点、突
21、破难点的策略 数学建模是高中数学新课程中研究性学习的内容，数学建模的概念比较陌生和抽象，建立数 学模型的过程是本节课的难点.本节课从“3.2 函数模型应用实例”中选取一道生活中的建模实 例，借助图形计算器，通过分析探究、交流合作、小组展示、师生释疑等环节，设计一系列环环 相扣的问题，引导学生思考、讨论、对比各自函数的特点，得出符合题意的数学模型，从而突出 本节课的重点。但在实际生活中，符合题意的数学模型不一定符合实际情况，于是在题目的基础 上加以修改，用实际问题去检验数学模型，不断拟合出最优的数学模型，让学生体会数学建模的 优化思想，引导学生建立完整的数学建模过程，深化数学建模思想，突破本节课
22、的难点.这样的 处理符合学生的认知规律，从学生的最近发展区出发设计问题，能使他们更快更好地建立数学模 型. 本节课的设计主线为数学建模的过程，从设置问题情景、到抽象建模过程，到抽象概念、理 解概念、课堂检测、课后小结，贯穿始终. （二）评价方式 根据新课标的评价理念，教师在课堂中应尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需求，鼓 励学生探索方式、表达方式和解题方法的多样化.在教学活动中教师要关注学生的参与程度和表 现出来的思维水平，关注学生的讨论合作能力、抽象概括能力、对概念的理解应用水平.教学中 通过学生“小组合作、讨论探究”等活动情况和学生对课堂检测的完成情况，评价学生的认知状 况和能力水平.另外，对于学生的回答教师应给予恰当的评价和鼓励，帮助学生认识自我，建立 自信，发挥评价的教育功能.
