1、中国教育学会中学数学教学专业委员会 课 题 名 称 ：函数的概念教学设计 设计者姓名 ：王建武 设计者单位 ：甘肃省白银市实验中学 联 系 电 话 ：13893036624 邮箱： 函数名称由清代数学家李善兰翻译引入，取“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”之意，也 即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。“变化”之意偏重初 中数学描述性定义，而“包含”则更多蕴含高中数学对应思想。 （说文解字中的“函”字，原意匣、盒子。） 函数的概念教学设计 王建武 （甘肃省白银市实验中学，白银，730900） 一、教学内容解析一、教学内容解析 函数是描述客观世界变化规律的重要数
2、学模型。 高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系， 同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终。 1 “新课标”内容标准要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要 数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作 用；了解构成函数的要素；从学生已掌握的具体函数和函数的描述性定义入手，引导学生联系自己 的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数，构建函数的一般概念。 1 据此，本节课教学内容内涵应为函数基于集合与对应语言的概念之理解和运用，教学内容反映 了对应思想、函数思想。本节教学内容中，函数三要素属
3、于事实性知识、函数的定义属于概念性知 识、求定义域及判断函数相等属于程序性知识、认识到自己的认知需要不断发展并激励自己不断求 知属于元认知知识。为此本节课设定的教学重点是教学重点是“函数定义的形成函数定义的形成”。 函数知识的学习和函数概念的认知是一个不断反复、循序渐进的过程，本节课教学内容的上位 知识为初中数学已经学习的函数概念及具体函数形式；下位知识则是函数表示法、指数及对数函数 等知识。 本节课教学中，需要从生活实例出发，引导学生经历基于集合及对应语言的函数概念形成过程， 然后利用这一概念分析具体函数形式，体会概念应用的同时进一步加深对概念的理解。这一过程体 现了数学研究“特殊一般特殊”
4、之路径及数学知识应用之价值。 二、学生学情分析二、学生学情分析 在之前的学习中，学生已经初步具备了生活中函数实例的基本经验，能简单运算有关一次、二 次和反比例函数模型的问题，初步体会了归纳能力及基于变量关系认知的函数思想，通过“集合” 知识的学习，对集合思想的认识也日渐清晰。以上知识为函数概念学习提供了认知基础。同时，这 一年龄段的学生普遍思维活跃、求知欲较强、自我表现欲望较强。以上因素为本节课教学提供了非 认知基础。 理解高中数学“执牛耳者”函数概念，需要学生掌握的知识、掌握的技能和具备的情绪能 力比较复杂。学生需要具备丰富的生活中观察函数关系的经验、需要能较熟练的操作二次函数运算、 需要较
5、强的抽象思维能力，同时还需要坚韧的品质和稳定的意志力。 上述需求与学生既有学习条件相比，高一新生在生活认知、二次代数式运算能力、概括归纳能 力方面还有欠缺，意志力和情绪稳定性维度也显不足。这些欠缺和不足中，生活认知的不足可以通 过教师提供生活实例及小组讨论方式弥补、二次函数运算能力可以通过课前预习提醒复习学生自主 化解、意志力和情绪稳定性维度的欠缺可以通过课堂鼓励和分解教学难度得到初步化解，抽象思维 能力的不足是最难化解的难题。据此本节课设定的教学难点为教学难点为“函数符号函数符号( )yf x的理解的理解，函数概函数概 念的整体性认识念的整体性认识”。 二、教学目标设置二、教学目标设置 依据
6、“课程目标-单元目标-课堂教学目标”的层级性特征，在“课标”的“总体目标”和“内 容与要求”的指导下，结合学情分析，对本节课教学目标做如下设置。 1正确理解函数的定义，能用集合与对应语言刻画具体函数。通过实例分析，体会对应关系在 刻画函数概念中的作用。 2理解函数三要素，会判断两个函数是否相等，认识函数概念的整体性。 3理解符号( )f x的含义，能解释( )yf x与( )yf a的区别与联系。体会函数思想，代换 思想。 三、三、教学策略分析教学策略分析 依据本节课教学内容、学情实际和教学目标要求，设计以下教学策略。 1.本节课以“人教社 A 版（必修 1）第一章第二节第一课时”之内容为主体
7、组织教学，并依据 学生实际和认知特点对教材内容顺序做了两点调整。一是将教材中函数的定义给出后紧接的具体函 数分析（一元一次函数、一元二次函数和反比例函数）调整到本节教学的最后，直接通过例题求定 义域和理解函数概念整体性，便于学生深入理解函数定义。二是将教材中区间概念的教学调整到第 二课时，保证函数概念教学的连贯性和课堂教学内容的精炼。 2.本节课为概念教学，依据上述学情分析，为激发、调动学生学习兴趣和主动性，教学中计划 采用问题式教学和探究式教学。 3.本节课教学重点为“函数定义的形成”，问题串要围绕学生函数定义的递进认知为中心进行 设计。具体通过三个实例中变量对应关系（对应法则）的认知及自变
8、量取值的限定范围（定义域）， 引导学生递进理解、归纳出函数的概念。继而设计若干对应关系，通过是否为函数的判断，帮助学 生深入理解“并非所有对应都是函数”及“定义中的关键词”、“三要素”和“值域与集合 B 的关 系”等难点问题。最后通过分析具体函数形式，巩固基于集合与对应的函数定义之理解。 4.本节课教学中，计划在小组合作及教师针对指导中帮助认知基础较差学生的学习，通过引领 小组讨论和思考较难问题的方式满足认知基础较好学生的发展需求。 5.本节课教学中，计划通过小组回答问题及教师观察等方式及时反馈学习情况。 四、四、教学过程教学过程设计设计 为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，计划将教学
9、过程设计为七个阶段： 学生自主探究，分析三个实例 创设问题情景，引入课题、明确目标 （一）创设问题情景，引入课题、明确目标（一）创设问题情景，引入课题、明确目标 问题问题 1 1.初中阶段，函数的定义是什么？ 师：启发学生回忆初中学习过的函数定义。 生：回忆并思考上述问题。 【设计意图】 复习函数的动态定义，便于本节课教学以此为基础抽象基于集合与对应思想的函数定义。 说明：回顾函数定义，联系已有知识，为后续学习提供知识基础。 （二）学生自主探究，分析三个实例（二）学生自主探究，分析三个实例 问题问题 2 2.对教材中的实例 1，你能得出炮弹飞行 1s,5s,10s,20s 时距地面多高吗？其中
10、 t 的变化范围 是多少？ 师：制作动画动态演示炮弹高度 h 关于炮弹发射时间 t 的函数。启发学生观察、思考、讨论，这个 实例是不是一个函数关系？尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系：在 t 的变化范围内， 任给一个 t，按照给定的解析式，都有唯一的一个高度 h 与之相对应。 同时分解难度，引出对应。 生：计算、观察并尝试用集合与对应语言描述变量间的依赖关系。 【设计意图】 体会用解析式刻画变量之间的对应关系，关注 t 和 h 的范围。 通过一元一次、一元二次和反比例函数的分析巩固函数定义的认知 课堂小结， 综合说明函数两种定义的联系。 布置作业。 问题问题 3 3.对教材中的实例
11、2，你从图中可以看出哪一年的臭氧空洞面积最大？哪些年的臭氧空洞面积 大约为 1500 万平方千米？其中 t 的取值范围是什么？ 师：引导学生看图，启发学生观察、思考、讨论，这个实例是不是一个函数关系？尝试用集合与对 应的语言描述变量之间的依赖关系：在 t 的变化范围内，任给一个 t，按照给定的图象，都有唯一的 一个臭氧空洞面积 S 与之相对应。 同时分解难点，引出对应用 f 表示。 生：共同读表，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。 【设计意图】 体会用图像刻画变量之间的对应关系，关注 t 和 s 的范围。 问题问题 4 4.对教材中的实例 3，恩格尔系数与时间的关系是否和前两个实例
12、中的两变量之间的关系相 似？如何用集合与对应的语言描叙这一对关系？ 师生：共同读表然后用对应的语言描述关系。 同时降低难度，引出 f(x)的形式。 【设计意图】 体会用表格刻画变量之间的对应关系。 （三）通过学生讨论、教师引导，归纳函数概念（三）通过学生讨论、教师引导，归纳函数概念 问题问题 5 5：以上三个例子我们都是从集合与对应的语言描述函数以上三个例子我们都是从集合与对应的语言描述函数，在这三个例子中在这三个例子中，集合体现在哪里集合体现在哪里， 这三个实例，它们有什么共同特点和不同点？这三个实例，它们有什么共同特点和不同点？ 师：巡查指导学生小组讨论。 生：分组讨论三个实例的共同特点和
13、不同点，并在全班交流。 【设计意图】 通过回答不同实例中的集合，进一步清晰函数可以看做两集合的对应关系这一初步印象，初步体验 函数概念。 问题问题 6 6： 函数能否看做是两个集合之间的一种对应呢？如果能函数能否看做是两个集合之间的一种对应呢？如果能， 怎样给函数重新下一个定义呢？怎样给函数重新下一个定义呢？ （在在 学生回答的基础上教师帮助归纳总结）学生回答的基础上教师帮助归纳总结） 师：引导学生顺势回答。 生：循序渐进对回答、补充完善函数定义。 【设计意图】 通过补充完善得出函数概念。 说明：1.通过教师渐进地引导成功凸显本节课教学重点：函数概念的形成。充分照顾学生认知 需要螺旋上升的特征
14、，逐步补充完善内容，引导学生体会数学的严谨性。 2.函数概念属于概念性知识，可以引导学生通过把握概念的关键词及概念内涵，加强理解。 （四）通过学生讨论、教师引导，判断若干对应是否为函数，加深函数定义的理解。（四）通过学生讨论、教师引导，判断若干对应是否为函数，加深函数定义的理解。 问题问题 7 7：以下五个对应是否为函数，为什么？：以下五个对应是否为函数，为什么？ 师：学生分组讨论后提问回答。 生：通过问题探究，深入理解并非所有的对应都是函数。 【设计意图】 通过构成要素及概念分析，深入理解函数概念中难点知识。 说明：1.通过判断，理解“关键词”、“函数构成要素”和“值域是集合 B 的子集”等
15、难点知 识。 2.函数概念属于概念性知识，进一步引导学生通过把握概念的关键词及概念内涵，加强理解。 （五）通过学生解答与讨论，理解并掌握定义域的求法。（五）通过学生解答与讨论，理解并掌握定义域的求法。 问题问题 8 8：一些复杂的函数，其代数式往往比较复杂，怎样求出它们的定义域呢？：一些复杂的函数，其代数式往往比较复杂，怎样求出它们的定义域呢？ 师：学生先自主解答，然后分组讨论，提问回答。 生：通过问题解答，掌握定义域的求法。 【设计意图】 通过定义域的求解，理解定义域既是“使代数式有意义的实数集合的交集”之实质。 说明：1.定义域是研究函数的第一步，要引导学生养成良好习惯。 2.函数定义域的
16、求法属于程序性知识，进一步引导学生理解并掌握基本步骤，快速准确求解。 （六）通过学生解答与讨论，理解并掌握函数相等的判断方法。（六）通过学生解答与讨论，理解并掌握函数相等的判断方法。 问题问题 9.9.下列函数中哪个与函数下列函数中哪个与函数xxf)(相等？相等？ （1） 2 )()(xxf（2） 33 xy （3） 2 xy （4） x x xf 2 )( 生：运用函数概念的三要素判断并交流讨论。 师：归纳总结。 【设计意图】 进一步加深对函数定义的理解，理解并掌握判断两个函数相等的程序。 说明：1.认识函数概念的整体性，即定义域、值域、对应法则虽是函数的三个部分，但却是一 个整体。同时认识
17、)(xf符号的意义，可以尝试在此处引导学生代入具体数值计算函数值，或者代入 变量a，通过比较)(xf和)(af加强抽象符号的认知。 2.理解 )(xf 意义属于本节课难点知识。教学中通过剖析 )(xf 构成、代入数值及辨析)(xf和 )(af 区别等方式加强理解。 3.函数三要素内容属于事实性知识，理解后记忆便可。 4.判断函数相等属于程序性知识，引导学生理解并掌握操作流程。 （七）运用函数概念分析一次、二次和反比例函数（七）运用函数概念分析一次、二次和反比例函数 问题问题 1010：请同学们根据今天学习的函数定义分析初中学习过的几个具体函数？：请同学们根据今天学习的函数定义分析初中学习过的几
18、个具体函数？ 师：归纳总结。 生：比较描述性定义和集合与对应刻画的定义。 【设计意图】 引导学生对函数的描述性定义上升到集合与对应刻画的定义，加深对函数概念的理解。 说明：运用函数概念分析具体函数属于程序性知识，引导学生理解并掌握操作流程。 （八）回归生活实例（八）回归生活实例 问题问题 11.11.生活中还有哪些函数的实例，同学们试着用函数定义分析你想到的例子，指出它们的三要生活中还有哪些函数的实例，同学们试着用函数定义分析你想到的例子，指出它们的三要 素。素。 生：思考举例并交流讨论。 师：点评。 【设计意图】 理解函数概念，回归生活，尝试应用。 说明：1.通过本节课学习，学生经历了“特殊
19、一般特殊”的研究历程，丰富了数学思 维，对比两种函数定义，上升了对函数的认知。 2.通过学习，体会到自己的认知需要、也可以不断发展，这属于元认知监控的范畴，即增强了 学生对认知本身的认知。 （九）课堂小结，布置作业（九）课堂小结，布置作业 课后作业。 参考文献 1中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准.北京:人民教育出版社，2003. 2 课程教材研究所.数学（必修 1）教师教学用书.北京:人民教育出版社，2014. 3 王尚志.普通高中数学课程分析与实施策略.北京：北京师范大学出版社 ，2010. 4 谢利民.教学设计应用指导.上海：华东师范大学出版社，2006. 5 罗伯特.J.马扎诺 著，高凌飚 译.教育目标的新分类学.北京：教育科学出版社，2012.
