1、 ？ 高中数学必修第一册高中数学必修第一册 优化优化设计设计 精品课件精品课件 ？ 3.2.1单调性与最大(小)值 第第1课时课时函数的函数的单调性单调性 ？ 课标定位课标定位 素养阐释素养阐释 1.借助函数的图象借助函数的图象,会用符号语言表达函数的单会用符号语言表达函数的单 调性调性. 2.理解函数的单调性的作用和实际意义理解函数的单调性的作用和实际意义. 3.会用定义证明简单函数的单调性会用定义证明简单函数的单调性. 4.提升直观想象、数学抽象和逻辑推理能力提升直观想象、数学抽象和逻辑推理能力. 自主自主预习预习新知新知导学导学 合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑 易易 错错 辨辨 析析
2、随随 堂堂 练练 习习 ？ 自主自主预习预习新知导学新知导学 ？ 增函数增函数、减函数、单调区间的定义、减函数、单调区间的定义 【问题思考】【问题思考】 1.结合下列函数的图象结合下列函数的图象,分析其变化规律分析其变化规律,回答下列问题回答下列问题: (1)对于函数对于函数f(x)=2x,其定义域为其定义域为R.在区间在区间(-,+)内内,图象从左图象从左 到右是上升还是下降到右是上升还是下降?函数值随函数值随x的增大而增大还是减小的增大而增大还是减小? (2)对于函数对于函数f(x)=x2,其定义域为其定义域为R.在区间在区间(-,0)内内,图象从左到图象从左到 右是上升还是下降右是上升还
3、是下降?函数值随函数值随x的增大而增大还是减小的增大而增大还是减小?在区在区 间间(0,+)内内,图象从左到右是上升还是下降图象从左到右是上升还是下降?函数值随函数值随x的增大的增大 而增大还是减小而增大还是减小? 提示提示:(1)上升上升,增大增大;(2)下降下降,减小减小;上升上升,增大增大. ？ 2.(1) ？ (2)当函数当函数f(x)在它的定义域上单调递增时在它的定义域上单调递增时,称它是称它是增函数增函数;当当 函数函数f(x)在它的定义域上单调递减时在它的定义域上单调递减时,称它是称它是减函数减函数. (3)如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间D上上单调递增单调递增或或单调递
4、减单调递减,那么就说那么就说 函数函数y=f(x)在这一区间具有在这一区间具有(严格的严格的)单调性单调性,区间区间D叫做叫做y=f(x) 的的单调区间单调区间. ？ 答案答案:D ？ 【思考辨析】【思考辨析】 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打正确的在后面的括号内打“ ”,错误错误 的打的打“”. (1)如果如果f(-1)f(1).( ) (3)若函数若函数f(x)在区间在区间(1,2和和(2,3)内都单调递增内都单调递增,则函数则函数f(x)在在 区间区间(1,3)内单调递增内单调递增.( ) ？ 合作合作探究探究释疑解惑释疑解惑 ？ 探究探究一一 证明证明函
5、数的单调性函数的单调性 ？ 反思感悟反思感悟 用函数单调性的定义证明函数用函数单调性的定义证明函数f(x)在区间在区间D上单调递增上单调递增(单调单调 递减递减)的一般的一般步骤步骤 (1)取值取值: x1,x2D,且且x10时时,在在R上单调递增上单调递增;当当k0时时,在在R 上单调递减上单调递减; ？ (2)利用函数的图象利用函数的图象.对于分段函数对于分段函数,可以先画出函数的图象可以先画出函数的图象, 再结合图象观察分析得到其单调区间再结合图象观察分析得到其单调区间;对于含有绝对值的函对于含有绝对值的函 数数,通常可以转化为分段函数后再通过图象得到其单调区间通常可以转化为分段函数后再
6、通过图象得到其单调区间. ？ 【变式训练【变式训练2】 求下列函数的单调区间求下列函数的单调区间,并指出该函数在其并指出该函数在其 单调区间上单调递增还是单调递减单调区间上单调递增还是单调递减. ？ 解解:(1)函数函数 的单调区间为的单调区间为(-,0),(0,+),其在区间其在区间(-,0), (0,+)内都单调递增内都单调递增. (2)当当x1时时,f(x)单调递增单调递增;当当xf(5x- 6),则实数则实数x的取值范围为的取值范围为. 解析解析:(1)函数函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3图象的对称轴是图象的对称轴是直线直线 =-(a+1)=-a-1,依题意有依题意有-a-13
7、,解得解得a-4. (2)因为函数因为函数y=f(x)是区间是区间(-,+)上的增函数上的增函数,f(2x-3)f(5x-6), 所以所以2x-35x-6,解得解得x1.答案答案:(1)(-,-4(2)(-,1) ？ 将本例中的将本例中的(1)条件改为条件改为:函数函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在区间在区间(-,3 上不是单调函数上不是单调函数,则则a的取值范围又如何的取值范围又如何? 解解:由由(1)知其图象的对称轴为直线知其图象的对称轴为直线x=-a-1,则则-a-1-4. ？ 反思感悟反思感悟 1.研究二次函数的单调性研究二次函数的单调性,首先应明确二次函数图象的开口方首先应明
8、确二次函数图象的开口方 向向(二次项系数的正负二次项系数的正负)与二次函数图象的对称轴方程与二次函数图象的对称轴方程;已知二已知二 次函数在某一区间的单调性求参数的取值范围时次函数在某一区间的单调性求参数的取值范围时,通常根据通常根据 对称轴与区间端点的大小关系建立不等式求解对称轴与区间端点的大小关系建立不等式求解. 2.解抽象函数不等式问题的方法解抽象函数不等式问题的方法 利用函数的单调性解不等式主要依据函数单调性的定义和性利用函数的单调性解不等式主要依据函数单调性的定义和性 质质,首先将符号首先将符号“f”脱掉脱掉,列出关于未知量的不等式列出关于未知量的不等式(组组),然后求然后求 解解,
9、要注意函数的定义域要注意函数的定义域. ？ 【变式训练【变式训练3】 (1)若函数若函数f(x)是定义在区间是定义在区间0,+)上的减函上的减函 数数,且且f(2)=-1,则满足则满足f(2x-4)-1的实数的实数x的取值范围是的取值范围是() A.(3,+)B.(-,3) C.2,3)D.0,3) (2)已知函数已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2a2-1在区间在区间-2,2上是单调函数上是单调函数, 则实数则实数a的取值范围是的取值范围是() A.(-,-1B.-1,3 C.3,+)D.(-,-13,+) ？ 解析解析:(1)由题意知由题意知,f(2x-4)-1=f(2). 因为因为
10、f(x)在区间在区间0,+)上单调递减上单调递减, (2)因为函数因为函数f(x)=x2+2(a-1)x+2a2-1的图象开口向上的图象开口向上,对称轴方对称轴方 程为程为x=1-a,且且f(x)=x2+2(a-1)x+2a2-1在区间在区间-2,2上是单调函上是单调函 数数,所以所以1-a2或或1-a-2,解得解得a-1或或a3.故选故选D. 答案答案:(1)C(2)D ？ 易易 错错 辨辨 析析 ？ 混淆混淆“单调区间单调区间”与与“在区间上单调在区间上单调”致错致错 【典例】【典例】 若函数若函数y=|x-2a|在区间在区间(-,6上单调递减上单调递减,求实数求实数a的的 取值范围取值范
11、围. 错解错解:函数函数y=|x-2a|的图象如图所示的图象如图所示. 因为函数在区间因为函数在区间(-,6上单调递减上单调递减,所以有所以有2a=6,即即a=3. 以上解答过程中都有哪些错误以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么出错的原因是什么?你如何改你如何改 正正?你如何防范你如何防范? ？ 提示提示:错解是由于对错解是由于对“函数的单调区间是函数的单调区间是(-,6”和和“函数在区函数在区 间间(-,6上单调递减上单调递减”理解不清理解不清,将二者等同起来而导致的将二者等同起来而导致的,事事 实上实上,二者的含义是不同的二者的含义是不同的. 正解正解:函数函数y=|x-2a|的图
12、象如图所的图象如图所示示(见错解见错解),因为函数在区间因为函数在区间 (-,6上单调递减上单调递减,所以有所以有2a6,即即a3. ？ 防范措施防范措施 单调区间是一个整体的概念单调区间是一个整体的概念,例如函数的单调递减区间是例如函数的单调递减区间是D, 指的是函数递减的最大范围是区间指的是函数递减的最大范围是区间D,而函数在区间而函数在区间D上单调上单调 递减递减,则区间则区间D是相应单调递减区间的子区间是相应单调递减区间的子区间,在解决此类问在解决此类问 题时题时,一定要将两种不同的说法区分开来一定要将两种不同的说法区分开来. ？ 答案答案:m1 ？ 随随 堂堂 练练 习习 ？ 1.(
13、多选题多选题)下列说法正确的是下列说法正确的是() A.若存在若存在x1,x2R,当当x1x2时时,有有f(x1)f(x2),则则f(x)在在R上单调递上单调递 增增 B.函数函数 在在区间区间(0,+)内单调递减内单调递减 C.若函数若函数f(x)=x2-mx的单调递减区间是的单调递减区间是(-,1,则则m=2 D.若若g(x)在在R上单调递增上单调递增,则则g(-1)g(1) 解析解析:根据单调性的定义知根据单调性的定义知,A不正确不正确,BD正确正确;因为函数因为函数 f(x)=x2-mx的单调递减区间是的单调递减区间是(-,1,所以函数图象的对称轴所以函数图象的对称轴 为直线为直线x=
14、1,即即 ,故故m=2,故故C正确正确. 答案答案:BCD ？ 2.已知函数已知函数y=f(x)在区间在区间-2,2上的图象如图所示上的图象如图所示,则此函数的则此函数的 单调递增区间是单调递增区间是() A.-2,0B.0,1 C.-2,1D.-1,1 答案答案:C ？ 3.已知函数已知函数f(x)=2x2-ax+5在区间在区间1,+)内单调递增内单调递增,则实数则实数a的的 取值范围是取值范围是() A.(-,4B.(-,4) C.4,+)D.(4,+) 答案答案:A ？ 4.已知已知f(x)是定义在是定义在R上的增函数上的增函数,且且f(x2-2)f(-x),则则x的取值范的取值范 围是围是. 解析解析:由由题意知题意知,x2-2-x,即即x2+x-20,解得解得-2x1. 答案答案:(-2,1)
