1、教案教学基本信息课题利用导数研究存在性问题学科数学学段： 高中年级高二教材书名：普通高中课程标准实验教科书 数学 选修 2-2 （A 版）出版社：人民教育出版社出版日期：2007年 1 月教学设计参与人员姓名单位联系方式设计者陈旭北京市陈经纶中学实施者陈旭北京市陈经纶中学指导者王文英北京市朝阳区教育研究中心课件制作者陈旭北京市陈经纶中学教学目标及教学重点、难点1通过从不同角度分析，理解存在性问题等价转化的实质，形成有效利用导数解决存在性问题的方法，并能学以致用解决有关问题.2体会、对比存在性问题与恒成立问题，在解决问题中，体会特殊与一般、转化与化归、分类讨论、数形结合等数学思想方法，提升归纳、
2、类比、抽象和概括的能力3在探究和解决问题过程中，提升数学分析的能力，在严谨思维、努力钻研的过程中感受提出问题和解决问题的愉悦，提升数学学科素养.重点：理解存在性问题的内在逻辑，准确运用导数确定函数最值解决存在性问题.难点：理解存在性问题、恒成立问题的本质区别，构建恰当的函数解决存在性问题.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图知识点回顾【回顾】如何利用导数确定函数的最值？复习回顾导数确定函数最值得方法，为本节课做好知识铺垫.思考探究【思考 1】已知函数2( )2f xxx .【探究】是否存在00,3x ，使得0()0f x成立？是否存在00,3x ，使得0()2f x成立？【分析】对
3、于是否存在00,3x ，使得0()0f x成立，实际上只需要有一个满足就可以， 那么要满足( )0f x ， 关键要看( )f x在这通过判断、辨析问题是否成立，理解“存在”的含义，挖掘问题本质，归纳、提炼、转化为函数最值问题.思考探究段区间上的最小值. 如果最小值满足了，就存在了，若最小值都不满足，那就没有函数值能满足小于 0 这条件了。同样对于是否存在00,3x ，使得( )2f x 成立，关键是看函数在这段区间上的最大值.判断这两个说法是否正确的关键就是看函数的最值情况.由于是二次函数，我们可以利用导数也可以根据对称轴和开口方向确定函数单调性，从而确定函数的最值.【预设 1】求导函数(
4、)2 +2fxx ，定义域为令( )0fx ，解得1x，当 x 变化时，( )fx，( )f x的变化情况如下表：x0(0,1)1(1,3)3( )fx0( )f x0极大值3因为(0)0f，(3)3f ，所以max( )(1)1f xf，min( )(3)3f xf .2、对于二次函数2( )2f xxx ，其开口向下，对称轴为1x ，所以在区间0,1上( )f x单调递增，在区间1,3上( )f x单调递减.所以max( )(1)1f xf，min( )(3)3f xf .根据计算结果，可以判断说法是成立的，即存在00,3x ，使得0()0f x成立的。而对于说法是不成立的，是不存在00,
5、3x ，使得0()2f x成立的.3、将 0 看成0y ，它对应的图象是一条直线，也就是 x 轴；将 2看成2y ，它对应的图象是一条平行 x 轴的直线，借助函数图象结合题意解决问题.【反思提炼】1. 明确存在的含义， 准确判断到底是用函数的最小值还是最大值解决问题；2、可以从导数或者对称轴开口方向两个角度确定二次函数的最值.3、数形结合解决问题.【思考 2】已知函数3( )3f xxx，试判断下列说法是否正确.【探究】对于任意的0,2x，都有( )0f x 成立.存在00,2x ，使得0()0f x成立.存在00,2x ，使得0()1f x成立.【分析】（1）对于任意的0,2x，这里是全部，
6、所有的含义.是否都有( )0f x 成立，这是恒成立问题，所有的全部的，每一个0,2x，都要有( )0f x ，所以关键要看( )f x在这段区间上的最小值.但进一步掌握二次函数最值得确定.巩固利用导数研究三次函数的方法和过程，在准确确定三次函数的最值，并能借助函数最值解决“存在性”问题和“恒成立”问题.对于存在00,2x ，使得0()0f x成立，实际上只需要有一个满足就可以，关键要看( )f x在这段区间上的最大值，两者是有区别的.（2）研究函数在区间0,2上的性质，确定函数的最大值和最小值.【预设】3( )3f xxx，0,2x，2( )33fxx，令( )0fx ，解得11x ，21x
7、 当 x 变化时，( )fx，( )f x的变化情况如下表：x0(0,1)1(1,2)2( )fx0( )f x0极小值2因为(0)0f，(2)2f，所以max( )2f x，min( )(1)2f xf .由于最小值是小于 0 的数，所以对于说对于任意的0,2x，不是都有( )0f x 成立.由于函数的最大值是2是大于 0 的数， 所以对于说法存在00,2x ，使得0()0f x成立.由于函数的最大值时 2，所以不存在0,2x使得( )2f x ，说法是否存在00,2x ，使得0()2f x成立，是不存在的，实际上也就是对任意的0,2x，都有( )2f x 成立.【探究】若存在00,2x ，
8、 使得( )f xc成立， 试确定实数 c 的取值范围.若存在00,2x ，使得( )f xm成立，试确定实数 m 的取值范围.【分析】存在00,2x ，使得( )f xc成立，意思是有一个就行，有一个点的函数值满足就可以了，所以我们考虑函数在这段区间上的最大值即可. 若存在00,2x ，使得( )f xm成立，也就是存在一个函数值是小于 m 的就行， 所以我们考虑函数在这段区间上的最小值即可.【预设】一方面，对于若存在00,2x ，使得( )f xc成立，即max( )cf x即可，所以 c 的取值范围是(,2).另一方面，我们可以将( )f xc看成是函数( )yf x和常数函数yc之间的
9、关系，结合两个函数图像可以得到实数 c 的取值范围.【对比】若对任意的0,2x，都有( )f xc恒成立，实数 c 的取值范围是什么？【预设】对于一方面，若存在00,2x ，使得( )f xm成立，即min( )mf x即可，所以 m 的取值范围是( 2,).另一方面， ，我们可以将( )f xm看成是函数( )yf x和常数函数ym之间的关系， 结合两个函数图像可以得到实数 m 的取值范围.【对比】若对任意的0,2x，都有( )f xm恒成立，实数 m 的取值范围是什么？体会提炼在利用导数研究函数的性质时，我们常会遇到这样一些有关存在性问题，解决这类问题的基本思路仍然是：恰当构建函数，转化为
10、函数最值问题.图象是函数直观的表现，充分利用函数图象，数形结合会更方便解决问题.注意区别是“存在性”问题还是“恒成立”问题，存在x成立，有一个成立就可以，任意的 x 都成立，要所有的、每一个、全部都成立，两者是有本质区别的；两类问题都转化为函数的最值问题，但是是最大值还是最小值，想清楚，弄明白，选准确.归纳题型、提炼问题、 体会解法、激发进一步研究的兴趣典例剖析下面我们再通过两个例子进一步看一下如何利用导数确定函数最值进而更好的解决存在性问题.【例 题 1 】已 知函 数( )e2xf xxa，若 存在 实数0 x使0()0f x成立，求实数 a 的取值范围.【分析 1】存在实数0 x使0()
11、0f x的含义是，存在一个0 x，它的函数值小于 0 即可，有一个即可，所以只需考虑min( )0f x，所以只需研究函数( )f x在 R 上的性质，找到函数的最小值即可.【预设 1】( )e2xf xxa，定义域为 R，( )e2xfx ，令( )0fx ，解得ln 2x ，当 x 变化时，( )fx，( )f x的变化情况如下表：x(,ln2)ln2(ln2,)( )fx0( )f x极小值所以ln 2min( )(ln 2)e2ln 222ln 2f xfaa由题意存在0()0f x成立，等价于min( )0f x，所以22ln20a，即2ln22a ，所以 a 的取值范围是(,2ln
12、22).【分析 2】同学们换一个角度想一想，还有其它的解法吗？我们同样可以将参数 a 与 x 分离开， 转化为新函数的最值问题.【预设 2】存在xR使( )0f x 成立，等价于存在xR使2exax成立，令( )2exh xx，只需max( )ah x( )2 exh x ，定义域为 R令( )0h x ，解得：ln 2x ，巩固利用导数确定指数型函数的最值的方法；从不同角度思考解决“存在性”的问题，在解决问题过程中形成解决此类问题的通法，并通过对比两种方法，树立函数思想，体会不等式与函数的关系，恰当构建函数，合理转化，数形结合解决问题.典例剖析当 x 变化时，( )h x，( )h x的变化
13、情况如下表：x(,ln2)ln2(ln2,)( )h x0( )h x极大值所以max( )(ln2)2ln22h xh所以max( )ah x，即2ln22a ，所以 a 的取值范围是(,2ln22).【反思提炼】1、这是一道“已知不等式成立（有解）确定参数取值范围的问题”是存在性问题.2、解决这类问题我们可以采用以下两种方法：（1）直接转化为确定含待求参数的函数的最值问.存在0 xD使0()0f x成立，等价于min( )0f x；存在0 xD使0()0f x成立，等价于max( )0f x.（2）分离参数-将要求的参变量分离出来单独放在不等式一侧，另一侧看成一个新函数，将问题转化为新函数
14、的最值问题.分离参数后转化为： 存在0 xD使0()ah x成立max( )ah x；分离参数后转化为：存在0 xD使0()ah x成立min( )ah x.3、对于含有指数型的函数，利用导数确定其最值.【例题 2】已知函数1( )()2ln (R)f xa xx ax，( )ag xx ，至少存在一个01,ex ，使00()()f xg x成立，求实数 a 的取值范围.【分析 1】（1）对于式子00()()f xg x需要整理转换为000()()()h xf xg x至少存在一个01,ex ，使00()()f xg x成立，即在区间1,e上，至少存在一个0 x，使得0()0h x即可，只需即
15、可max( )0h x.（2）针对两个函数的特点，确定函数( )2lnh xaxx在区间1,e上的最值， 需要借助导数来完成.因为参数的不确定性， 会产生分类讨论.【预设 1】令( )( )( )2lnh xf xg xaxx，至少存在一个01,ex ，使00()()f xg x成立，即max( )0h x2( )h xax，因为1,ex，所以22 ,2xe当2ae时，( )0h x ，( )h x在1,e上单调递减，所以 max( )1h xha，因为要max( )0h x，所以max( )0h xa，所以20ea；巩固利用导数确定对数型函数的最值的方法；进一步从不同角度思考、解决、落实“存
16、在性”问题的解决，形成通法.进一步树立函数思想，体会不等式 与 函 数 的 关系，恰当构建函数，合理转化问题.在分类讨论中加强思维的严谨性、有序性，典例剖析当2a 时，( )0h x ，( )h x在1,e上单调递增，所以 max( )ee-2h xha，因为要max( )0h x，所以e-20a，即2ea ，所以2a ；当22ea时，令( )0h x ，解得2xa.当 x 变化时，( )h x，( )h x的变化情况如下表：x12(1,)a2a2( ,)ae( )h x0( )h xa极小值ae-2此时(1)0ha，(e)e20ha，符合题意，所以22ea，综上，a 的取值范围是(0,).【
17、分析 2】换个角度思考，这个问题我们可以用分离参变量的方法来解决如何减参数 a 与 x 分离？如何解决问题呢？【预设 2】至少存在一个01,ex ，使00()()f xg x成立，即至少存在一个01,ex 使1()2lnaa xxxx 成立，整理可得2ln xax在区间1,e上有解，令2ln( )xxx，只需min( )ax即可.2222ln2(1 ln )( )xxxxx，因为1,ex，所以( )0 x，所以( ) x在区间1,e上单调递增，所以min( )(1)0 x，因为min( )ax，所以实数 a 的取值范围是(0,).【回顾反思】1 、 对 于( )( )f xg x形 式 的函
18、数 我 们 通 常转 化 为 一 个 函数( )( )( )h xf xg x，但有时也会分别处理两个函数( )f x和( )g x；2、存在性问题的解决方法：（1）直接构造函数，转化为函数最之问题（2）分离参变量，构造函数，转化为函数最值问题转化为最小值还是最大值，与恒成立问题有区别，注意加以理解和准确区分.分离参变量有时会简化计算，但分离参变量时也要注意对 x 取值的考虑，不等号方向是否改变，新函数最值的确定等一些问题有时也容易造成错误判断.提升解决问题的能力.（3）导数是研究函数性质，确定函数最值重要的工具，本题的解法1在判断导函数的符号时由于参数的不确定性， 产生了分类讨论，结合导函数
19、师式子的结构特点，恰当选择分类讨论点，全面有序的讨论，不重不漏是解题的关键.课堂小结【总结】请同学们总结一下1、 本节课我们主要解决了什么样的问题？“由不等式恒成立确定参数范围问题”2、 解决此类问题的方法是什么？关键是什么？常用的两种方法：（1）直接构造函数，确定函数最值.（2）分离参数，构造新函数，确定新函数最值.解题的关键步骤是确定函数的最值，因为涉及不同的函数，导数起到重要的作用.3、 在解决问题过程中，运用了哪些数学的思想和方法？从函数的角度去看待不等式，用函数的思想解决问题，所以转化与化归无处不在；函数图像是最直观的表示，所以解决函数问题时往往会数形结合；因为参数的不确定性，很多时候我们会进行分类讨论.4、重视一题多解，体会解法特点，积累解题经验，提高方法识别与选择的能力.引导学生完成课堂小结，梳理知识、方法、体会等.反思回顾，提炼归纳解决此类问题的通性通法.体会解法特点，积累解题经验.作业1已知函数( )e (0)xf xaxa，若存在一个0 x，使0()0f x成立，求实数 a 的取值范围2已知函数21( )(1)ln2f xaxaxx,27( )28g xxbx.当14a 时，函数( )f x在(0,2上的最大值为 M，若存在1,2x，使得( )g xM成立，求实数b的取值范围.学以致用，课后巩固，熟练、提升.
