1、教教 案案教学基本信息课题函数的单调性与导数学科数学学段： 高中年级高二教材书名：普通高中课程标准实验教科书 数学 选修 2-2 （A 版）出版社：人民教育出版社出版日期：2007年 1 月教学设计参与人员姓名单位设计者刘嘉北京市朝阳外国语学校实施者刘嘉北京市朝阳外国语学校指导者王文英北京市朝阳区教育研究中心课件制作者刘嘉北京市朝阳外国语学校教学目标及教学重点、难点1.结合实例， 借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系； 会利用导数求函数的单调区间。2.通过对“函数的单调性与其导函数的关系”的探究，经历由直观到抽象，由特殊到一般的过程，感悟蕴含其中的数形结合思想；3.通过图象、函数单调
2、性的定义与导数方法研究函数性质的比较，体会导数方法在研究函数性质时的一般性、有效性和优越性，感受数学自身发展的一般规律.重点：会用导数公式求函数的单调区间.难点：了解函数的单调性与导数的关系.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图复习【活动 1】请同学们根据基本初等函数的导数公式填空.( )f xc，c为常数，则( )_fx( ),nf xx nQ，则( )_fx( )sinf xx，则( )_fx( )cosf xx，则( )_fx导数的运算是利用导数研究函数单调性的必备知识.通过设置填空练习帮助学生从记忆中回忆提取相关知识( )xf xa，则( )_fx( )exf x ，则(
3、)_fx( )logaf xx，则( )_fx( )lnf xx，则( )_fx【活动 2】请同学们根据导数的运算法则填空. ( )( )_f xg x ( )( )_f xg x ( )_( )f xg x 引入好了，复习完了相关求导公式后，我们便来开始今天的学习吧。我们依然从高台跳水说起。左边这幅图是高台跳水运动员高度h随时间t变化的函数图象；右边是其速度v随时间t变化的函数图象.通过前面的学习，我们应该已经知道了( )v t就是( )h t的导数了吧.从起跳点到最高点和从最高点到落水点，运动员的运动状态有什么特点呢？【预设】从起跳点到最高点，高度增加，速度大于 0；从最高嗲到落水点高度在
4、减小，速度小于 0.高台跳水这个情景贯穿整个导数章节.对学生来说是熟悉的情景了.新课【观察】请同学们观察从( )v t和( )h t单调性有什么关系？【预设】(0, )ta时，( )0v t ，( )h t单调递增；( , )ta b时，( )0v t ，( )h t单调递减；【猜想】由于( )v t恰好是( )h t的导数，由此请同学们猜想，函数的单调性和导数具有什么样的关系呢？【预设】在某区间( , )a b内，如果( )0fx，那么( )f x单调递增；在某区间( , )a b内，如果( )0fx，那么( )f x单调递减.【操作确认】这种情况是否具有一般性呢？请同学们再举一些函数的例子
5、确认一下.通过观察、归纳、猜想、操作确认、解释说明等环节，探究函数的单调性和导数的关系.一方面加深对导数概念的理解，体会数形结合，掌握研究问题的一般思路.【预设 1】函数( )f xx在区间(,) 上，( )0fx，( )f x单调递增.猜想成立.【预设 2】函数2( )f xx在区间(,0)上，( )0fx，( )f x单调递减；在区间(0,)上，( )0fx，( )f x单调递增.猜想成立.【预设 3】函数3( )f xx在区间(,0)上，( )0fx，( )f x单调递增；在区间(0,)上，( )0fx，( )f x单调递增.猜想成立.【预设 4】函数1( )f xx在区间(,0)上，(
6、 )0fx，( )f x单调递减；在区间(0,)上，( )0fx，( )f x单调递减.猜想成立.猜想有可能正确，也有可能不正确，培养学生对于猜想要有验证的意识.可以通过列举熟悉的函数进行检验.通过不同类型的函数的操作确认，使学生在情感上接受函数的单调性和导数的关系。为进一步理解这种关系做好铺垫【解释说明】通过操作确认，我们的猜想都符合.那么同学们能否借助导数的几何意义或者从函数单调性定义和导数定义的角度解释说明一下为什么函数的单调性和导数会有这样的关系呢？【预设 1】函数( )f x在0 xx的导数，就是( )f x过这点的切线的斜率。如果在0 x处导数大于 0，那么这点的切线就是从左下往右
7、上方向的，( )f x在这点附近单调递增。 如果( )f x整个区间内导数都大于 0，那么在这个区间内的每一个点附近，( )f x都单调递增，因此在整个区间内单调递增。同理，如果在0 x处导数小于 0，那么这点的切线就是从左上往右下方向的，( )f x在这点附近单调递减。 如果( )f x整个区间内导数都小于 0，那么在这个区间内的每一个点附近，( )f x都单调递减，因此在整个区间内单调递增。这是一种直观的说明。【预设 2】( )f x在区间( , )a b内单调递增意味着12xx和12( )()f xf x是同号的，即1212()()0f xf xxx.其几何意义即为在区间内任意两点连成的
8、割线斜率大于 0.也就是要说明( )f x在区间( , )a b内单调递增，只需要说明研究数学不能仅仅停留在操作确认的程度。通过这个活动使学生认识到，数学中推理论证，解释说明是必要的借助几何直观，使学生理解函数的单调性和导数的关系借助单调性的定义在这个区间内任意两点连成割线的斜率大于 0 就可以了。而同学们，从图象上我们可以直观的发现一个事实，即每条割线，总有一条切线和它平行的。因此( )f x在某区间内导数恒大于 0 的话，那么此区间内任意两点连成割线的斜率就一定大于 0，原函数在此区间内一定单调递增.【问题 1】 这样， 我们便正是得到了函数的单调性与导数的关系。请同学们回忆我们得到这个结
9、论的过程。概况一下我们主要的研究方法和思路。【预设】我们是通过观察，归纳，猜想，操作确认，解释说明等环节一步步接近正确答案的。这也是我们探究问题的一种常用的方法。在以后的学习过程中还会多次用到.【问题 2】请同学们思考，在某区间内如果导数恒为 0，原函数在此区间内有什么特征？【预设】原函数在此区间内为常值函数.【问题 3】 导函数在某区间内大于等于 0 恒成立， 能否得出原函数在这个区间内单调递增？【预设】不能，常值函数就是反例.和导数的定义，加深学生对函数的单调性和导数关系的理解概况研究方法，为进一步研究函数变化快慢和导数的关系作方法储备通过设问，加深学生对函数的单调性和导数关系的理解.例题
10、【例 1】 利用今天所学的知识，研究函数3( )3f xxx的单调性.【分析】根据今天探究所得结论，只要知道导函数的符号，就能分析原函数的单调性了。因此我们只需求出导函数，解出导数大于 0 的区间和小于 0 的区间即可.【解答】2( )33,fxxxR.因为( )0fx在R上恒成立，所以( )f x在R上单调递增.【反思】同学们还有别的想法吗？【预设】不用导数也能解决这个问题，观察可知3x和3x都是R上的增函数， 因此它们的和肯定也在R上单调递增啊。学以致用，巩固对函数的单调性和导数关系的理解通过对比研究函数的确，在处理某些特殊的函数的单调性问题上，也许有比利用导数研究函数单调性更好的方法。但
11、是在处理一般的函数单调性问题时，利用今天我们探究的结论，一定是很有优势的。【例 2】求函数( )sin,(0, )f xxx x的单调区间.【分析】我们哪些方法可以尝试呢？【预设 1】观察，在(0,)2上sin x和x都在单调递增，因此sin xx的单调性不能在简单观察出了.【预设 2】在区间(0, )内任取12xx.此时121221( )()sinsinf xf xxxxx也不太好处理.【预设 3】利用导数来研究其单调性.( )cos1,(0, )fxxx.因为( )0fx在(0, )上恒成立，所以( )f x在(0, )上单调递减.【反思】通过本题，你有什么体会？【预设】利用函数的单调性和
12、导数的关系，通过导数来研究函数的单调性，较以往研究单调性的方法有优势.【例 3】研究函数32( )23241f xxxx的单调性.【分析】同学们采用什么方法呢？【预设】求导得22( )66246(4)fxxxxx.由( )0fx可得1172x 或1172x ；由( )0fx可得11711722x .所以( )f x的单调递增区间是117(,)2 和117(,)2 ;减区间是117117(,)22 .【反思】能否说( )f x的单调递增区间是117117(,)(,)22 呢？【预设】不能，如图可知在此范围呢存在12xx，的单调几种方法，让学生体会到导数在研究函数单调性问题时的优越性.经过上一个例
13、题，学生已经体会到导数方法在研究函数单调性中的优越性了。此处让学生独立选择解题方法，巩 固 对 知 识 的 理解。但是12( )()f xf x.【方法小结】通过刚才 3 个例题，请同学们概况利用导数研究函数单调性的一般方法.【预设】1.求导以及定义域；2. 研究导数符号；3. 根据导数符号和原函数单调的关系求解单调区间.【例 4】水以恒定的速度注入下列四种底面积相同的容器之中.请分别找出各容器对应的水面高度h和时间t的函数图象.【分析】由于单位时间注入的水的体积相同，因此高度变化与底面积相关.容器 2 下粗上细， 因此开始水面升高较慢，以后高度增加越来越快。反映在图象上，A 符合上诉情况。【
14、预设】1 对 B，2 对 A，3 对 D，4 对 C【反思】过例 4 我们发现，增减有快慢之分，图象有陡缓之别， 那么这跟导数又有什么关系呢？ 同学们能自己设计方案来探究一下这个问题吗？【预设】观察、归纳、猜想、确认、解释等提示细节：单调区间一般不能写成并集的形式.从特殊问题到一般问题，完成方法的提炼.进一步理解函数的单调性和导数的关系，并且为引出函数变化快慢与导数的关系作铺垫.使学生对函数变化的快慢有个直观的感知利用探究函数的单调性和导数关系的方法探究函数变化快 慢 和 导 数 的 关系，体会研究问题的一般思路.学生通过探究发现， 函数在某个范围内到手的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化较
15、快吗，图象比较陡峭。反之比较平缓。总结【总结】请同学们总结一下1. 本节课学到了哪些知识？2. 如何获得这些知识的？3. 有什么体会等等？【预设】1. 本课学习函数的单调性导数的关系，函数变化变快慢和导数绝对值大小的关系.2. 学习了一种研究函数单调性的新方法，即利用导数研究函数的单调性。这种方法和以往的方法比较有较大的优势.3. 我们是通过观察、归纳、猜想、操作确认、解释说明等环节获得这些知识的。这也是研究问题的一般方法.引导学生完成课堂小结，梳理知识、方法、体会等.作业1. 求下列函数的单调区间.（）( )exf xx（）32( )f xxxx2.函数( )f x的图象如图所示，试画出其导函数( )fx的图象.3.学完本课后，谈谈你的个人学习感想.比如你觉得哪个知识最重要，最有用，需要注意的关键之处等.
