1、探索勾股定理教学设计探索勾股定理教学设计“数学核心素养”在数学教学中的运用一、聚焦问题一、聚焦问题为了落实学生发展核心素养为宗旨，引导学生探索勾股定理定理，聚焦以下问题：1探索勾股定理2. 在勾股定理的探究活动中，引导学生体会割补法与数形结合思想的应用。3让学生从已有知识经验出发，从一般到特殊，再由特殊到一般，培养学生合情推理探索数学规律的数学思考能力；4在勾股定理的探究活动中，培养学生探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感二、需要解决的核心问题二、需要解决的核心问题1探索勾股定理2. 在勾股定理的探究活动中，引导学生体会割补法与数形结合思想的应用。三、核心分
2、解问题三、核心分解问题分解问题分解问题 1：等腰直角三角形的三边向外作正方形，三个正方形的面积之间有什么关系？分解问题分解问题 2：一般直角三角形的三边向外作正方形，三个正方形的面积之间还有上述关系吗?分解问题分解问题 3：对于所有的直角三角形都有这样的关系吗?四、教学过程四、教学过程创设情境、引出课题创设情境、引出课题【问题引领】教师引导学生以三角形边的数量关系：任意一个三角形，三边的数量关系为：等腰三角形等边三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边AB=ACAB=AC=BC【活动探究】当角特殊时，得到直角三角形：此时三边的数量关系是什么呢？探讨这个问题，我们回到特殊三角形，等腰直角三角
3、形：如何来研究等腰直角三角形呢？对于直角三角形，我们在前面接触最多的是什么呢？引导学生考虑直角三角形的面积的算法：SABC=12AC BC =12AB CD即：12ab =12ch由 h =12c,得到：ab =12c2得到 2ab = c2,因为 a=b,所以 c2= 2a2= a2+ b2【目标达成】通过直角三角形的特殊情况，用等面积算两次得到a2+b2=c2，顺利过渡到引入学生探究一般直角三角形的边的数量关系.探索分解问题探索分解问题 1：【问题引领】 ：刚刚推导了等腰直角三角形的边的数量关系，现在让学生利用方格来进一步验证这个数量关系，等腰直角三角形的三边向外作正方形，三个正方形的面积
4、之间有什么关系？三角形两直角边分别用 a，b 表示，斜边用 c 表示；两直角边所作的正方形面积用 A，B 表示，斜边所作的正方形面积用 C 表示。【活动探究】1让学生在方格纸上画等腰直角三角形，并以该三角形的三边向外作正方形，并想办法找出三个正方形面积 A,B,C 之间的关系，从而得出a2，b2，c2之间的关系；2收集各小组所作的图形集中作展示，引导学生思考不同边长的等腰直角三角形做出的图形三个面积 A,B,C 之间的关系有什么共同点3小组讨论，代表发言【目标达成】1学生采用直接数方格的办法， （怎么数？）容易得到正方形 A、B 的面积，通过割补可得到面积 C得到：面积 A+面积 B=面积 C
5、即a2+b2=c22提高学生动手能力和强化建模思想探索分解问题探索分解问题 2：【问题引领】 ：一般直角三角形三边向外作正方形，三个正方形面积之间还有上述关系吗?【活动探究】4让学生在方格纸上画直角三角形，并以该三角形的三边向外作正方形，并想办法找出三个正方形面积 A,B,C 之间的关系，从而得出a2，b2，c2之间的关系；5收集各小组所作的图形集中作展示，引导学生思考不同边长的直角三角形做出的图形三个面积 A,B,C 之间的关系有什么共同点6小组讨论，代表发言【目标达成】1仍采用直接数方格的办法，容易得到正方形 A、B 的面积，并引导学生通过割补等方法可得到面积 C得到：面积 A+面积 B=
6、面积 C即a2+b2=c22能够通过多种边长不同的三角形，能形成归纳总结意识探索分解问题探索分解问题 3：【问题引领】对于所有的直角三角形都有这样的关系吗?【活动探究】教师几何画板演示多种不同边长的直角三角形，然后由学生操作，最后小组讨论，学生代表发言接着，各小组用分解 2 所得到的图形进行讨论，证明：【目标达成】1. 组长带领大家一起讨论，提出解决问题的办法；时间 3 分钟2组长带着本组的想法跟其余组进行交流；时间 2 分钟3. 小组长回到自己的小组，和自己的组员整理出解决方案，并和大家分享解决办法时间 5 分钟证明过程（本质上利用等面积方法，算两次进行等量代换） ：bcaS正 ABDE=
7、c2S正 ABDE=12ab 4 + a b2c2=12ab 4 + a b2即：c2= a2+ b2部分学生会有补全的证明：S正 CMNF= a + b2S正 CMNF=12ab 4 + c2a + b2=12ab 4 + c2即：c2= a2+ b2当然，学生还有其他很多证法，本节课重点介绍割补法的应用.通过不同的情况总结得到只要是直角三角形，总有：a2+b2=c2（a,b 为直角边，c 为斜边） ，重难点得以突破.【设计意图设计意图】本环节既是这节课的重点，也是这节课的难点本环节安排了三个设问，从特殊到一般层层推进，既遵循了学生的认知规律，也体现了知识的发生、发展过程在这个环节中，让学生
8、观察、实验、交流，自主建构了知识的意义，同时发展了空间观念和推理能力归纳总结：归纳总结：引导学生总结勾股定理，并实现符号语言、文字语言和图形语言的互相转化实现符号语言、文字语言和图形语言的互相转化勾股定理：勾股定理：如果直角三角形两直角边为 a,b 斜边为 c，那么a2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方【归纳过程】1教师引导学生总结勾股定理，并尝试转化为符号语言，文字语言和图形语言2教师对学生整理出的三种语言进行规范化总结【目标达成】1学生掌握勾股定理的符号语言、文字语言和图形语言的准确表达和书写定理理解与应用：定理理解与应用：如何利用勾股定理解题1.快速计算下列直角三角形
9、的第三边长：【习题探究】如图，已知长方形 ABCD 中 AB=8 cm,BC=10 cm,在边 CD 上取一点 E，将ADE 折叠使点 D 恰好落在BC 边上的点 F，求 CE 的长.学生小组讨论总结运用勾股定理解决解直角三角形的方法，代表发言【目标达成】 1及时反馈、及时巩固，同时培养学生应用数学的意识和能力2在直角三角形中，已知两边，会求第三边将翻折问题展现给学生，结合轴对称图形的性质，并将勾股定理作为解题的工具介绍给学生，让学生感受勾股定理的用途.课堂小结布置作业课堂小结布置作业知识内容小结知识内容小结：勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为 a ，b 斜边为 c，那么a2+b2=c2问
10、题解决：在直角三角形中，已知两边，会求第三边探索方法小结探索方法小结：探索勾股定理的方法：从一般到特殊，再从特殊到一般，最后又从特殊到一般，归纳，总结。思想方法小结思想方法小结：1建模思想：实际问题- 建立模型（a2+b2=c2）-解决问题；2面积割补法；3数形结合思想【设计意图设计意图】在分组讨论的基础上，引导学生从知识和方法两个层面进行小结知识小结有利于新知识条理化、简洁化，并将纳入学生原有的图形与公式的数学认知体系中；方法小结则突破当前的知识层面，带领学生站在更高的角度来理解数学知识，领悟数学的思想和方法课外拓展：课外拓展：勾股定理的丰厚文化底蕴及历史探索历程史料介绍：史料介绍：中国在勾
11、股定理方面的成就“我国在勾股定理方面的成就” ：用图 2 验证勾股定理的方法，据载最早是三国时期数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的，我国历史上将图 2 弦上的正方形称为弦图 .2002 年的数学家大会（ICM-2002）在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的弦图，这既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！中国勾股定理发展简史：公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五” 。 周髀算经中记录着商高同周公的一段对话。商高说： “故折矩，勾广三，股修四，经隅五。 ”意为：当直角三角形的两条直角边分别为 3（勾）和 4（股）时，径隅（弦）则
12、为 5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五” ，根据该典故称勾股定理为商高定理。公元三世纪，三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，记录于九章算术中“勾股各自乘，并而开方除之，即弦” ，赵爽创制了一幅“勾股圆方图” ，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。后刘徽在刘徽注中亦证明了勾股定理。在中国清朝末年，数学家华蘅芳提出了二十多种对于勾股定理证法。【设计意图设计意图】：（1）介绍与勾股定理有关的历史，激发学生的爱国热情；（2）学生加强了对中国数学史的了解，培养学习数学的兴趣激发爱国情感；国际方面在勾股定理方面的成就国际方面在勾股定理方面的成就在公元前约三千年的古巴
13、比伦人就知道和应用勾股定理，他们还知道许多勾股数组。美国哥伦比亚大学图书馆内收藏着一块编号为“普林顿 322”的古巴比伦泥板，上面就记载了很多勾股数。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时，也应用过勾股定理。公元前六世纪，希腊数学家毕达哥拉斯证明了勾股定理，因而西方人都习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理。公元前 4 世纪，希腊数学家欧几里得在几何原本 （第卷，命题 47）中给出一个证明。1876 年 4 月 1 日，加菲尔德在新英格兰教育日志上发表了他对勾股定理的一个证法。1940 年毕达哥拉斯命题出版，收集了 367 种不同的证法。勾股定理与第一次数学危机勾股定理与第一次数学危机
14、.约公元前 500 年，毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形边长是 1，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比，这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何两个线段都可以公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数学危机由此爆发.据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海。第一次数学危机一直持续到19 世纪实数的基础建立以后才圆满解决.我们将在下一章学习有关实数的知识.作业：收集整理其他证明或验证勾股定理的方法。作业：收集整理其他证明或验证勾股定理的方法。
